Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 85, № 6 (2021)
- Год: 2021
- Статей: 8
- URL: https://bakhtiniada.ru/1607-0046/issue/view/7553
Статьи
Памяти Петра Сергеевича Новикова и Сергея Ивановича Адяна
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021;85(6):3-4
3-4
Веса точных пороговых функций
Аннотация
Мы рассматриваем точные пороговые булевы функции, задаваемые линейными уравнениями, и, в более общем виде, многочленами степени $d$. Мы доказываем верхние и нижние оценки на величину (абсолютное значение) коэффициентов, необходимых для реализации таких функций. Эти оценки очень близки друг к другу. В частности, в линейном случае они почти совпадают. Рассматриваемая величина совпадает с максимальной величиной целых коэффициентов линейного уравнения, необходимой для задания любого возможного пересечения гиперплоскости в $\mathbb R^n$ с булевым кубом $\{0,1\}^n$ и, в общем случае, пересечения гиперповерхности степени $d$ в $\mathbb R^n$ и булевого куба $\{0,1\}^n$. В процессе доказательства мы строим новое семейство плохо обусловленных матриц. Мы также рассматриваем вариант задачи (в линейном случае) с дополнительным параметром размерности $k$ аффинного подпространства, порождаемого решениями, и доказываем верхние и нижние оценки также и в этом случае. Эти оценки в терминах $k$ имеют существенный зазор, что составляет предмет дальнейших исследований.Библиография: 33 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021;85(6):5-26
5-26
О спектральной последовательности для действия группы Торелли рода $3$ на комплексе циклов
Аннотация
Группа Торелли замкнутой ориентированной поверхности $S_g$ рода $g$ – это подгруппа $\mathcal{I}_g$ группы классов отображений $\operatorname{Mod}(S_g)$, состоящая из всех классов отображений, которые тривиально действуют на гомологиях поверхности $S_g$. Одна из самых интересных открытых проблем, касающихся групп Торелли, – вопрос, является ли группа $\mathcal{I}_3$ конечно определенной. Один из возможных подходов к этой проблеме – изучение второй группы гомологий группы $\mathcal{I}_3$ при помощи спектральной последовательности $E^r_{p,q}$ для действия группы $\mathcal{I}_3$ на комплексе циклов. В настоящей работе мы получаем частичный результат в направлении гипотезы, что группа $H_2(\mathcal{I}_3;\mathbb{Z})$ не является конечно порожденной и, следовательно, группа $\mathcal{I}_3$ не является конечно определенной. А именно, мы доказываем, что член $E^3_{0,2}$ упомянутой спектральной последовательности не конечно порожден, т. е., что группа $E^1_{0,2}$ остается бесконечно порожденной после факторизации по образам дифференциалов $d^1$ и $d^2$. Если бы в дальнейшем удалось доказать, что она остается бесконечно порожденной и после факторизации по образу дифференциала $d^3$, это завершило бы доказательство того, что $\mathcal{I}_3$ не является конечно определенной.Библиография: 28 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021;85(6):27-103
27-103
Конечно порожденные подгруппы ветвящихся групп и подпрямые произведения минимально бесконечных групп
Аннотация
Целью работы является описание структуры конечно порожденных подгрупп некоторого семейства ветвящихся групп, содержащего группу Григорчука и $3$-группу Гупта–Сидки. Это затем используется, чтобы показать, что все элементы указанного семейства – группы с отделимыми подгруппами (LERF-группы).Эти результаты получены как следствия более общего структурного утверждения о подпрямых произведениях минимально бесконечных групп.Библиография: 34 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021;85(6):104-125
104-125
Конечно определенная нильполугруппа: комплексы с равномерной эллиптичностью
Аннотация
Работа является первой в цикле, посвященном конструкции конечно определенной бесконечной нильполугруппы, удовлетворяющей тождеству $x^9=0$. Эта конструкция отвечает на проблему Л. Н. Шеврина и М. В. Сапира.В первой части цикла (настоящей работе) построена последовательность вложенных комплексов, состоящих из квадратов (4-циклов) со следующим набором геометрических свойств.1) Равномерная эллиптичность. Пространство называется равномерно-эллиптическим, если можно выбрать константу $\lambda>0$ такую, что в множестве кратчайших путей, соединяющих любые две точки $A$ и $B$, на расстоянии $D$ можно выбрать два пути, удаленных друг от друга на расстояние $\lambda D$. При этом расстояние между путями с общим началом и концом определяется как максимум расстояний между соответствующими точками. 2) Вложенность. Комплекс $n+1$ уровня получается на основе комплекса $n$ уровня добавлением нескольких вершин и ребер по определенным правилам.3) Локальная преобразуемость. Пусть разрешено преобразовывать пути, заменяя путь по двум сторонам минимального квадрата на путь по другим двум сторонам. Два кратчайших пути с общими концами локально преобразуются друг в друга, если концы путей принадлежат вершинам одного квадрата вложенного комплекса.Геометрические свойства построенной последовательности комплексов в дальнейшем используются для задания конечно определенных полугрупп.Библиография: 62 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021;85(6):126-163
126-163
Модели теории множеств, в которых теорема отделимости неверна
Аннотация
Произведение минимальных форсингов по Йенсену с конечной поддержкой использовано для построения модели теории множеств, в которой теорема отделимости нарушается для проективных классов $\mathbf{\Sigma}^1_n$ и $\mathbf{\Pi}^1_n$, для данного $n\ge3$.Библиография: 41 наименование.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021;85(6):164-204
164-204
Диофантовы проблемы в классических матричных группах
Аннотация
В этой работе мы исследуем диофантовы проблемы в классических матричных группах $\mathrm{GL}_n(R)$, $\mathrm{SL}_n(R)$, $\mathrm{T}_n(R)$, $\mathrm{UT}_n(R)$, $n \geq 3$, над ассоциативным кольцом с единицей $R$. Мы показываем что если $G_n(R)$ – это одна из выше перечисленных групп, то диофантова проблема в $G_n(R)$ полиномиально по времени эквивалентна (эквивалентна по Карпу) диофантовой проблеме над $R$. В случае, когда $G_n(R)=\mathrm{SL}_n(R)$, мы предполагаем, что кольцо $R$ коммутативно. Аналогичные результаты верны для $\mathrm{PGL}_n(R)$ и $\mathrm{PSL}_n(R)$ в случае если в $R$ нет делителей нуля (для $\mathrm{PGL}_n(R)$, кольцо $R$ необязательно коммутативно).Библиография: 66 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021;85(6):205-244
205-244
Решетка определимости (редуктов) для целых чисел с операцией следования
Аннотация
В статье описана решетка определимости для структуры целых чисел с операцией следования (операцией $y=x+1$). Элементы решетки, также называемые редуктами, образуют три (естественно задаваемых) бесконечных серии отношений. Доказательство использует вариант теоремы Свенониуса для специального вида структур.Библиография: 17 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021;85(6):245-258
245-258