Representation of solutions of the Cauchy problem for a one dimensional Schrödinger equationwith a smooth bounded potential by quasi-Feynman formulae

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider the Cauchy problem for a Schrödinger equation whose Hamiltonian is the difference of the operatorof multiplication by the potential and the operator of taking the second derivative. Here the potential is a realdifferentiable function of a real variable such that this function and its derivative are bounded. This equationhas been studied since the advent of quantum mechanics and is still a good model case for variousmethods of solving partial differential equations. We find solutions of the Cauchy problem in the form of quasi-Feynman formulae by using Remizov's theorem. Quasi-Feynman formulae are relatives of Feynmanformulae containing multiple integrals of infinite multiplicity. Their proof is easier than that of Feynman formulae butthey give longer expressions for the solutions. We provide detailed proofs of all theorems and deliberately restrict thespectrum of our results to the domain of classical mathematical analysis and elements of real analysis trying to avoidgeneral methods of functional analysis. As a result, the paper is long but accessible to readers whoare not experts in the field of functional analysis.

About the authors

Denis Valerievich Grishin

Moscow Technical University of Communications and Informatics

without scientific degree, no status

Yan Yurievich Pavlovskiy

Bauman Moscow State Technical University

References

  1. Ф. А. Березин, М. А. Шубин, Уравнение Шредингера, Изд-во МГУ, 1983, 392 с.
  2. O. G. Smolyanov, A. G. Tokarev, A. Truman, “Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula”, J. Math. Phys., 43:10 (2002), 5161–5171
  3. R. P. Feynman, “Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics”, Rev. Modern Physics, 20:2 (1948), 367–387
  4. R. P. Feynman, “An operator calculus having applications in quantum electrodynamics”, Phys. Rev. (2), 84 (1951), 108–128
  5. Я. А. Бутко, “Формулы Фейнмана для эволюционных полугрупп”, Наука и образование, 2014, № 3, 95–132
  6. O. G. Smolyanov, “Feynman type formulae for quantum evolution and diffusion on manifolds and graphs”, Quantum bio-informatics III, QP-PQ: Quantum Probab. White Noise Anal., 26, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2010, 337–347
  7. O. G. Smolyanov, “Schrodinger type semigroups via Feynman formulae and all that”, Quantum bio-informatics V, QP-PQ: Quantum Probab. White Noise Anal., 30, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2013, 301–313
  8. O. G. Smolyanov, “Feynman formulae for evolutionary equations”, Trends in stochastic analysis, London Math. Soc. Lect. Note Ser., 353, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2009, 283–302
  9. A. S. Plyashechnik, “Feynman formula for Schrödinger-type equations with time- and space-dependent coefficients”, Russ. J. Math. Phys., 19:3 (2012), 340–359
  10. A. S. Plyashechnik, “Feynman formulas for second-order parabolic equations with variable coefficients”, Russ. J. Math. Phys., 20:3 (2013), 377–379
  11. I. D. Remizov, “Solution of a Cauchy problem for a diffusion equation in a Hilbert space by a Feynman formula”, Russ. J. Math. Phys., 19:3 (2012), 360–372
  12. I. D. Remizov, “Solution to a parabolic differential equation in Hilbert space via Feynman formula – I”, Модел. и анализ информ. систем, 22:3 (2015), 337–355
  13. I. D. Remizov, “Explicit formula for evolution semigroup for diffusion in Hilbert space”, Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top., 21:4 (2018), 1850025, 35 pp.
  14. I. D. Remizov, “Quasi-Feynman formulas – a method of obtaining the evolution operator for the Schrödinger equation”, J. Funct. Anal., 270:12 (2016), 4540–4557
  15. И. Д. Ремизов, “Решение уравнения Шрeдингера с помощью оператора сдвига”, Матем. заметки, 100:3 (2016), 477–480
  16. И. Д. Ремизов, М. Ф. Стародубцева, “Квазифейнмановские формулы дают решение многомерного уравнения Шрeдингера с неограниченным потенциалом”, Матем. заметки, 104:5 (2018), 790–795
  17. И. Д. Ремизов, “Новый метод получения функций Чернова”, Дифференц. уравнения, 53:4 (2017), 573–576
  18. И. Д. Ремизов, “Фейнмановские и квазифейнмановские формулы для эволюционных уравнений”, Докл. РАН, 476:1 (2017), 17–21
  19. I. D. Remizov, “Approximations to the solution of Cauchy problem for a linear evolution equation via the space shift operator (second-order equation example)”, Appl. Math. Comput., 328 (2018), 243–246
  20. I. D. Remizov, “Solution-giving formula to Cauchy problem for multidimensional parabolic equation with variable coefficients”, J. Math. Phys., 60:7 (2019), 071505, 8 pp.
  21. I. D. Remizov, “Formulas that represent Cauchy problem solution for momentum and position Schrödinger equation”, Potential Anal., 52:3 (2020), 339–370
  22. В. Ж. Сакбаев, “Усреднение случайных блужданий и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов”, ТМФ, 191:3 (2017), 473–502
  23. В. Ж. Сакбаев, “Случайные блуждания и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов и поворотов”, Дифференциальные уравнения. Математическая физика, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 140, ВИНИТИ РАН, М., 2017, 88–118
  24. Л. А. Борисов, Ю. Н. Орлов, В. Ж. Сакбаев, “Формулы Фейнмана для усреднения полугрупп, порождаемых операторами типа Шредингера”, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 2015, 057, 23 с.
  25. Ю. Н. Орлов, В. Ж. Сакбаев, О. Г. Смолянов, “Формулы Фейнмана как метод усреднения случайных гамильтонианов”, Избранные вопросы математической физики и анализа, Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Василия Сергеевича Владимирова, Тр. МИАН, 285, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2014, 232–243
  26. M. S. Buzinov, “Feynman and Quasi-Feynman formulae for higher order Schrödinger equation”, International conference-school “Infinite-dimensional dynamics, dissipative systems, and attractors”. Book of abstracts (N. Novgorod, 2015), Lobachevsky State Univ., N. Novgorod, 2015, 23–24
  27. М. С. Бузинов, Я. А. Бутко, “Формулы Фейнмана для параболического уравнения с бигармоническим дифференциальным оператором в конфигурационном пространстве”, Наука и образование, 2012, № 8, 135–154
  28. Д. В. Гришин, Я. Ю. Павловский, И. Д. Ремизов, Е. С. Рожкова, Д. А. Самсонов, “О новой форме представления решения задачи Коши для уравнения Шредингера на прямой”, Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2017, № 1, 26–42
  29. V. V. Dobrovitski, E. R. Rakhmetov, B. Barbara, A. K. Zvezdin, “Quantum tunnelling of magnetization in uniaxial magnetic clusters”, Acta Phys. Polon. A, 92:2 (1997), 473–476
  30. A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Appl. Math. Sci., 44, Springer-Verlag, New York, 1983, viii+279 pp.
  31. K.-J. Engel, R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations, Grad. Texts in Math., 194, Springer-Verlag, New York, 2000, xxii+586 pp.
  32. K.-J. Engel, R. Nagel, A short course on operator semigroups, Universitext, Springer, New York, 2006, x+247 pp.
  33. P. R. Chernoff, “Note on product formulas for operator semigroups”, J. Funct. Anal., 2:2 (1968), 238–242
  34. В. И. Богачев, О. Г. Смолянов, Действительный и функциональный анализ, Университетский курс, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ижевск, 2009, 724 с.
  35. Ю. Н. Орлов, В. Ж. Сакбаев, О. Г. Смолянов, “Неограниченные случайные операторы и формулы Фейнмана”, Изв. РАН. Сер. матем., 80:6 (2016), 141–172
  36. O. G. Smolyanov, H. V. Weizsäcker, O. Wittich, “Chernoff's theorem and discrete time approximations of Brownian motion on manifolds”, Potential Anal., 26:1 (2007), 1–29
  37. А. Я. Хелемский, Лекции по функциональному анализу, МЦНМО, М., 2004, 552 с.
  38. С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1950, 255 с.
  39. H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Universitext, Springer, New York, 2011, xiv+599 pp.
  40. L. C. Evans, Partial differential equations, Grad. Stud. Math., 19, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, xxii+749 pp.
  41. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 5, 2-е изд., Физматгиз, М., 1959, 655 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Гришин Д.V., Павловский Я.Y.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».