On proper motions of the flat cosserat type structure

全文:

1. Введение. Научное наследие А.А. Ильюшина [1$–$3] является важной частью российской (советской) науки и истории. Объединяя теоретические исследования с тонко поставленными опытными наблюдениями, при больших организаторских способностях, Алексею Антоновичу удалось решить сложнейшие технические проблемы XX в., достигнуть существенного продвижения в науке. С его именем связан необычайно широкий спектр исследуемых задач и проблем [3$–$5], в частности фундаментальные исследования, направленные на развитие основ моделирования и методики описания сложных структур и сред [3, 4, 6, 7].

А.А. Ильюшин обратил внимание на проблемы феноменологического описания сложных сред, уделил особое внимание топологии микроструктуры представительного объема и возможным внутренним взаимодействиям частиц среды, включая моментные [4, 6, 7]. Подходы и методы, разработанные Алексеем Антоновичем, нашли своёприменение и развитие в работах его учеников, научной школы и в последние годы активно используются исследователями: при построении моментных теорий [8, 9], моделей гетерогенных сред с разнотипными фазами [10], в том числе с различными степенями свободы [11$–$14], в построении уравнений состояния нелокальных сред [15, 16] и др.

Метод механического моделирования, предложенный в работе [17], был реализован в исследовании процессов в теплообменниках атомных электростанций, в построении неклассических моделей сплошной среды [9, 13, 14, 18]. Продолжая работу по изучению неклассических моделей сред, с учетом интереса в отечественной и зарубежной литературе [19$–$21] к данному типу, нами было решено вернуться к более детальному изучению модели, рассмотренной в работе [9], на примере задачи о собственных колебаниях конструкции типа Коссера при отсутствии внешних сил и моментов.

2. Постановка задачи. В плоских движениях при малых деформациях и поворотах система уравнений (относительно неизвестных перемещений и угла поворота), описывающих плоские движения коссератовского континуума (осредненной модели исходной дискретной конструкции), имеет вид [9]:

$\begin{array}{c}{E}_{{\text{mat}}_1}\frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial x_1^2}+\left[G_{\text{mat} }+2\left(G_r-G_{\text{mix} }\right)\right]\frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial x_2^2}-\rho \frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial t^2}+\\ +G_{\text{mat} }\frac{{\partial }^2{u}_2}{\partial x_1\partial x_2}+2\left(G_{\text{r}}-G_{\text{mix} }\right)\frac{\partial \phi }{\partial x_2}+\rho f_{{\text{ex}}_1}=\mathrm{0,}\end{array}$

$\begin{array}{c}{E}_{{\text{mat}}_2}\frac{{\partial }^2{u}_2}{\partial x_2^2}+\left[G_{\text{mat} }+2\left(G_{\text{r}}+G_{\text{mix}}\right)\right]\frac{{\partial }^2{u}_2}{\partial x_1^2}-\rho \frac{{\partial }^2{u}_2}{\partial t^2}+\\ +G_{\text{mat}}\frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial x_1\partial x_2}-2\left(G_{\text{r}}+G_{\text{mix}}\right)\frac{\partial \phi }{\partial x_1}+\rho f_{{\text{ex}}_2}=\mathrm{0,}\end{array}$                                (2.1)

$\begin{array}{c}{H}_1\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_1^2}+H_2\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_2^2}-\rho j\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}-4G_r\phi -\\ -2\left(G_r-G_{\text{mix}}\right)\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+2\left(G_r-G_{\text{mix}}\right)\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\rho g_{{\text{ex}}_3}=\mathrm{0,}\end{array}$

где j $–$ массовая плотность момента инерции включений относительно оси Ox₃, ρ $–$ средняя плотность массы ячейки (принимается в качестве массовой плотности модели среды в актуальной конфигурации), f_ex1, f_ex2, g_ex3 $–$ соответствующие проекции внешних сил и моментов, E_mat1 = E₁b₁Δl₁/Δl₂, E_mat2 = E₂b₂Δl₂/Δl₁, G_mat = 2C_fr /(Δl₁Δl₂), G_r = (C₁ + C₂)/(2Δl₁Δl₂), G_mix = (C₁ $–$ C₂)/(2Δl₁Δl₂), H₁ = = Δ₁Δl₁/Δl₂, H₂ = Δ₂Δl₂/Δl₁ $–$ константы плоской модели среды, отвечающие свойствам исходной дискретной конструкции, а именно здесь C_fr = (2/(E₁b₁³Δl₁²)) + (2/(E₁b₁³Δl₁²))^$–$1 $–$ жесткость каркаса на сдвиг, C_i $–$ жесткость упругого шарнира крепления диска$–$включения к полустержню i-го направления (i = 1, 2), Δ_i $–$ жесткость ременной передачи i-го направления, E_i $–$ модуль Юнга материала стержня i-ого направления, b_i $–$ отношение толщины в плане к длине i-ого стержня, Δl_i $–$ длина i-го стержня на ячейке. Будем считать все указанные здесь константы дискретной конструкции положительными числами.

3. Частные случаи плоских движений, неограниченной рассматриваемой среды при отсутствии внешних сил и моментов. Рассмотрим задачу о собственных колебаниях конструкции (континуальной модели) при отсутствии внешних сил и моментов в плоскости Ox₁x₂, где x₁ направлена горизонтально.

Случай 1. Пусть перемещения и повороты включений зависят только от времени, т.е. u = u(t) и φ = φ(t). Тогда система (2.1) принимает вид:

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2{u}_1}{{\partial }^{2}t}=\mathrm{0,}\\ \frac{{\partial }^2{u}_2}{{\partial }^{2}t}=\mathrm{0,}\\ \rho j\frac{{\partial }^2\phi }{{\partial }^{2}t}+4G_r\phi =0.\end{array}$                                                                                     (3.1)

Отсюда следует, что

$\begin{array}{c}u=v_{0}t+u_0,\\ \phi =A_1\text{sin}\sqrt{\frac{4G_r}{\rho j}}t+A_2\text{cos}\sqrt{\frac{4G_r}{\rho j}}t,\end{array}$                                                         (3.2)

где v₀, u₀, A₁ и A₂ задаются начальными условиями.

Случай 2. Теперь пусть перемещения и повороты включений зависят от времени и координаты x₁, т.е. u = u(x₁, t) и φ = φ(x₁, t), кроме того, потребуем, чтобы u₂ = 0. Тогда система (2.1) принимает вид:

$\begin{array}{c}{E}_{{\text{mat}}_1}\frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial x_1^2}-\rho \frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial t^2}=\mathrm{0,}\\ \frac{\partial \phi }{\partial x_1}=\mathrm{0,}\\ H_1\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_1^2}-\rho j\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}-4G_r\phi =0.\end{array}$                                                               (3.3)

Разрешая эту систему, получим:

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}{u}_1\left(x_1,t\right)=f_1\left(x_1-a_{1}t\right)+f_2\left(x_1+a_{1}t\right),\hfill \\ \phi \left(x_1,t\right)=A_1\text{sin}\sqrt{\frac{4G_r}{\rho j}}t+A_2\text{cos}\sqrt{\frac{4G_r}{\rho j}}t,\hfill \end{array}\hfill \end{array}$ (3.4)

где f₁ и f₂ $–$ произвольные функции, a₁ ≡ (E_mat1 /r)^1/2 $–$ скорость распространения продольных волн.

Случай 3. Пусть перемещения зависят от времени и координаты x₁, т.е. u = u(x₁, t), а повороты включений зависят от времени и координаты x₂, т.е. φ = φ(x₂, t), кроме того, потребуем, чтобы u₂ = 0. Тогда система (2.1) принимает вид:

$\begin{array}{c}{E}_{{\text{mat}}_1}\frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial x_1^2}-\rho \frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial t^2}+2\left(G_r-G_{mix}\right)\frac{\partial \phi }{\partial x_2}=\mathrm{0,}\\ H_2\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_2^2}-\rho j\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}-4G_r\phi =0.\end{array}$                                                            (3.5)

Решая систему, получим:

$\begin{array}{c}{u}_1\left(x_1,t\right)=f_1\left(x_1-a_{1}t\right)+f_2\left(x_1+a_{1}t\right)+C_1\frac{\rho j}{4G_r}\text{sin}\sqrt{\frac{4G_r}{\rho j}}t+C_2\frac{\rho j}{4G_r}\text{cos}\sqrt{\frac{4G_r}{\rho j}}t,\\ \phi \left(x_2,t\right)=\left(A_1+\frac{C_1}{2\left(G_r-G_{mix}\right)}{x}_2\right)\text{sin}\sqrt{\frac{4G_r}{\rho j}}t+\\ +\left(A_2+\frac{C_2}{2\left(G_r-G_{mix}\right)}{x}_2\right)\text{cos}\sqrt{\frac{4G_r}{\rho j}}t.\end{array}$    (3.6)

Если φ(∞,t) < ∞, то C₁ = C₂ = 0 в (3.6), а значит, выражения для φ и u₁ совпадают с (3.4).

Случай 4. Рассмотрим одномерные плоские сдвиговые движения среды при отсутствии внешних сил и моментов. Будем считать, что u = (u₁(x₂, t),0,0) и φ = φ(x₂, t). Для краткости далее под x и u будем понимать x₂ и u₁. С учетом сказанного система (2.1) принимает вид:

$\begin{array}{c}{N}_a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_{\text{}}^2}+N_b\frac{\partial \phi }{\partial x_{\text{}}}-\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\mathrm{0,}\\ H_2\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_{\text{}}^2}-N_c\phi -N_b\frac{\partial u}{\partial x_{\text{}}}-\rho j\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}=0.\end{array}$                                                           (3.7)

Здесь использованы следующие обозначения: N_a ≡ G_mat + 2(G_r $–$ G_mix), N_b ≡ 2(G_r $–$ G_mix), N_c ≡ 4G_r .

Решение системы уравнений (3.7) ищем в виде пары функций [22]:

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}u\left(x,t\right)=A_1\text{cos}\left(px+\omega t\right)+A_2\text{sin}\left(px+\omega t\right),\hfill \\ \phi \left(x,t\right)=B_1\text{cos}\left(px+\omega t\right)+B_2\text{sin}\left(px+\omega t\right).\hfill \end{array}\hfill \end{array}$                                                        (3.8)

Подставим выражение (3.8) в (3.7):

$\begin{array}{c}\text{cos}(px+\omega t)(-N_a{p}^2{A}_1+\rho {\omega }^2{A}_1+N_{b}p{B}_2)+\\ +\text{sin}(px+\omega t)(-N_{b}p{B}_1-p^2{N}_a{A}_2+\rho A_2{\omega }^2)=\mathrm{0,}\\ \text{cos}(px+\omega t)(-H_2{p}^2{B}_1-N_c{B}_1-p{N}_b{A}_2+\rho j{\omega }^2{B}_1)+\\ +\text{sin}(px+\omega t)(N_{b}p{A}_1-H_2{p}^2{B}_2-N_c{B}_2+\rho j{\omega }^2{B}_2)=0.\end{array}$                                  (3.9)

Так как равенства выполняются при любых x и t, получаем системы уравнений для A₁, B₂ и A₂, B₁:

$\begin{array}{l}\begin{array}{c}(-N_a{p}^2+\rho {\omega }^2)A_1+N_{b}p{B}_2=\mathrm{0,}\\ N_{b}p{A}_1-(H_2{p}^2+N_c-\rho j{\omega }^2)B_2=\mathrm{0,}\end{array}\hfill \end{array}$                                                        (3.10)

$\begin{array}{l}\begin{array}{c}-(p^2{N}_a-\rho {\omega }^2)A_2-N_{b}p{B}_1=\mathrm{0,}\\ -p{N}_b{A}_2-(H_2{p}^2+N_c-\rho j{\omega }^2)B_1=0.\end{array}\hfill \end{array}$                                                   (3.11)

Нетривиальное решение каждой из этих систем существует при условии

$\text{det}\left(\begin{array}{cc}-N_a{p}^2+\rho {\omega }^2& p{N}_b\\ p{N}_b& -N_c-H_2{p}^2+j\rho {\omega }^2\end{array}\right)=0.$                                        (3.12)

Откуда

$j{\rho }^2{\omega }^4-(p^2{H}_2+N_c+j{p}^2{N}_a)\rho {\omega }^2+p^2{N}_a{N}_c+H_2{p}^4{N}_a-p^2{N}_b^2=0.$    (3.13)

Введя следующие обозначения a ≡ φr², b ≡ (- φρp²N_a $–$ ρN_c $–$ H₂p²ρ), c ≡p²N_aN_c + H₂ p⁴N_a $–$ p²N_b², (3.13) перепишем в виде:

$a{\omega }^4+b{\omega }^2+c=0.$                                                                                     (3.14)

Заметим, что старший член уравнения (3.14) всегда положителен, член при ω² отрицателен, если

$\frac{1}{2}(N_c+H_2{p}^2\text{}/(j{p}^2)+G_{\text{mat} }+2G_r)>G_{\text{mix} },$

а свободный член (3.14) положителен при p²N_aN_c + H₂ p⁴N_a > p²N_b². Уравнение (3.14) имеет положительный дискриминант как квадратное уравнение относительно ω² при (jp²N_a + N_c + H₂p²)² > 4jp²(N_aN_c + H₂p²N_a $–$ N_b²). Если все эти условия выполнены, тогда положительные корни (3.13) можно записать в виде

${\omega }_{\mathrm{1,2}}\left(p\right)=\sqrt{-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}}}$                                                              (3.15)

Примем без ограничения общности в (3.15), что 0 < ω₁(p) < ω₂(p). При p → ∞ и предположении, что H₂ > jN_a, корень ω₁ имеет асимптоту $p\sqrt{N_a/\rho }$, а корень ω₂ имеет асимптоту $p\sqrt{H_2/(j\rho )}.$

В терминах фазовой скорости (v_ɸ ≡ ω/p) решение (3.15) может быть переформулировано:

$v_{{\varphi }_{\mathrm{1,2}}}=\sqrt{-\frac{b}{2a{p}^2}\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{2a{p}^2}\right)}^2-\frac{c}{a{p}^4}}}.$                                                       (3.16)

Корни (3.15) можно записать в виде групповой скорости волны, когда v_g ≡  ∂ω/∂p. Фазовая и групповая скорости волны имеют две одинаковые асимптоты при p → ∞, а именно: (N_a/ρ)^1/2 для v_g1, v_ɸ1 и (H₂/( jρ))^1/2 для v_g2, v_ɸ2.

Соответственно уравнения движения (3.7) имеют два решения вида (3.8):

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}{u}_i=A_{1i}\text{cos}\left(px+{\omega }_{i}t\right)+A_{2i}\text{sin}\left(px+{\omega }_{i}t\right),\hfill \\ {\phi }_i=B_{1i}\text{cos}\left(px+{\omega }_{i}t\right)+B_{1i}\text{sin}\left(px+{\omega }_{i}t\right),\hfill \end{array}\hfill \end{array}$                                                  (3.17)

где i = 1, 2, причем A_1i, B_2i находятся из системы (3.10) при ω = ω_i, а A_2i, B_1i $–$ из системы (3.11) при ω = ω_i . Из этих систем получим:

$B_{1i}=A_{2i}{\text{κ}}_i,$                                                                                                    (3.18)

$B_{2i}=-A_{1i}{\text{κ}}_i,$

где

${\text{κ}}_i{}_{ }\equiv -\frac{\rho {\omega }_i^2-p^2{N}_a}{p{N}_b}=\frac{p{N}_b}{-N_c-H_2{p}^2+j\rho {\omega }_i^2}.$                                                (3.19)

Проанализируем величины ϰ₁ и ϰ₂. Введем обозначение ξ = H₂ p² + N_c и подставим (3.15) в (3.19), тогда

$\begin{array}{l}-\frac{\rho {\omega }_1^2-p^2{N}_a}{p{N}_b}=\frac{\xi -j\rho p{N}_a-\sqrt{{\left(\xi -j\rho p{N}_a\right)}^2+4j\rho p^2{N}_b}}{-2jp{N}_b},\hfill \\ -\frac{\rho {\omega }_2^2-p^2{N}_a}{p{N}_b}=\frac{\xi -j\rho p{N}_a+\sqrt{{\left(\xi -j\rho p{N}_a\right)}^2+4j\rho p^2{N}_b}}{-2jp{N}_b}.\hfill \end{array}$                               (3.20)

Справедлива оценка

$\frac{{\text{κ}}_1}{p}=-\frac{\rho {\omega }_1^2-p^2{N}_a}{p^2{N}_b}<\frac{1}{p^2{N}_b}\left(\xi -j{p}^2{N}_a-|\xi -j{p}^2{N}_a|\right) \le \mathrm{0,}$                         (3.21)

$\frac{{\text{κ}}_2}{p}=-\frac{\rho {\omega }_2^2-p^2{N}_a}{p^2{N}_b}>\frac{1}{p^2{N}_b}\left(\xi -j{p}^2{N}_a+|\xi -j{p}^2{N}_a|\right)\ge 0.$

Следовательно, ϰ₁/p < 0, ϰ₂/p > 0 при N_b > 0. Кроме того, заметим, что если умножить ϰ₁ (ω₁ подставляем в левую часть (3.19)) на ϰ₂ (ω₂ подставляем в правую часть (3.19)), то подобные множители сократятся, и в итоге получим

${\text{ϰ}}_1\cdot {\text{ϰ}}_2=-\frac{1}{j},$                                                                                                      (3.22)

что означает существование связи между параметрами ϰ₁ и ϰ₂.

Аналогичный результат может быть получен в работе [12]:

${\tilde{a}}_1=-\frac{\tilde{J}}{\tilde{\rho }}\cdot {\left({\tilde{a}}_2\right)}^{-1},$                                                                                                 (3.23)

где $\tilde{\rho }$ $–$ удельная плотность массы конструкции, $\tilde{J}$ $–$ удельный момент инерции включений, ${\tilde{a}}_i$ $–$ соответствует введенному обозначению в работе [12].

Учитывая соотношения (3.17) и (3.18) получим:

$u_i=A_{1i}\cos \left(px+{\omega }_{i}t\right)+A_{2i}\sin \left(px+{\omega }_{i}t\right),$

${\phi }_i={\text{κ}}_{ }{}_i\left(A_{2i}\cos \left(px+{\omega }_{i}t\right)-A_{1i}\sin \left(px+{\omega }_{i}t\right)\right).$                                                    (3.24)

Отсюда легко заметить, что

${\phi }_i\left(x,t\right)=\frac{{\text{κ}}_{ }{}_i}{p}\frac{\partial u_i(x,t)}{\partial x}=\frac{{\text{κ}}_{ }{}_i}{{\omega }_i}\frac{\partial u_i(x,t)}{\partial t}.$        (3.25)

Из (3.22) и соотношения (3.25) следует, что при движениях с меньшей частотой $\text{sign}\left({\phi }_1(x,t)\right)=-\text{sign}\left(\partial u_1(x,t)/\partial x\right),$ и значит, повороты включений сонаправлены со смещением полосы, а при движениях с большей частотой $\text{sign}\left({\phi }_2(x,t)\right)=\text{sign}\left(\partial u_2(x,t)/\partial x\right),$ направление поворота включений противонаправлено смещению полосы.

Система уравнений (3.7) является линейной относительно u(x, t) и φ(x, t) и однородной. Следовательно, линейные комбинации функций u_i(x, t) и φ_i(x, t) из (3.24), соответствующие разным p и i, также являются решениями системы.

4. Моделирование сдвига полосы. Применим полученный выше результат для изучения собственных колебаний бесконечной в направлении оси Ox₁ полосы ширины l (рис. 1). Сохраняя введенные выше обозначения, зададим граничные условия при x = 0 и x = l положим u(0, t) = 0 и u(l, t) = 0, а также потребуем, чтобы ∂φ/∂x(0, t) = 0 и ∂φ/∂x(l, t) = 0.

 

Рис. 1. Рассматриваемая бесконечная полоса в отсчетной конфигурации.

 

Для данных граничных условий будем искать решение (3.7) в виде суммы двух выражений вида (3.24): первое соответствует волновому числу p, второе $–$p. Для удобства записи далее опустим индекс i, помня, что волновым числам ±p по формулам (3.15) соответствуют частоты ω₁ и ω₂, ω₁( p) = ω₁($–$p) и ω₂( p) = ω₂($–$p). Тогда

$\begin{array}{c}u\left(x,t\right)=\text{cos}\left(\omega t\right)\left(A_1\text{cos} px+A_2\text{sin} px+B_1\text{cos} px-B_2\text{sin} px\right)+\\ +\text{sin}\left(\omega t\right)\left(-A_1\text{sin} px+A_2\text{cos} px+B_1\text{sin} px+B_2\text{cos} px\right),\\ \phi \left(x,t\right)=\frac{\text{κ}}{p}\frac{\partial u\left(x,t\right)}{\partial x}.\end{array}$                                   (4.1)

Учитывая первую пару граничных условий, получим:

$\begin{array}{c}{A}_1\text{cos} pl+A_2\text{sin} pl+B_1\text{cos} pl-B_2\text{sin} pl=\mathrm{0,}\\ -A_1\text{sin} pl+A_2\text{cos} pl+B_1\text{sin} pl+B_2\text{cos} pl=\mathrm{0,}\\ A_1+B_1=\mathrm{0,}\\ A_2+B_2=0.\end{array}$                                                          (4.2)

Отсюда

$\begin{array}{c}{A}_1=-B_1,\\ A_2=-B_2,\\ 2B_1\text{sin} pl=\mathrm{0,}\\ 2B_2\text{sin} pl=0.\end{array}$                                                                                                              (4.3)

Нетривиальное решение этой системы получается при

$p=p^{\left(k\right)}=\frac{\pi k}{l},\text{\hspace{0.33em}где\hspace{0.33em}}k\in \mathbb{N}.$                                                                                      (4.4)

В случае, когда k = 0, решение системы уравнений (3.7) с учетом граничных условий имеет вид:

$\begin{array}{c}u=\mathrm{0,}\\ \phi =A_1\text{sin}\sqrt{\frac{4G_r}{\rho j}}t+A_2\text{cos}\sqrt{\frac{4G_r}{\rho j}}t.\end{array}$                                                                             (4.5)

Также отметим, что из (3.15) при p = 0

${\omega }_1^{(0)}=\mathrm{0,}{\omega }_2^{(0)}=\sqrt{\frac{4G_r}{\rho j}}.$                                                                                             (4.6)

Вторая пара граничных условий также будет выполняться при волновых числах (4.4), поскольку

$\frac{\partial \phi }{\partial x}=\frac{\text{ϰ}}{p}\frac{\partial {\text{}}^{2}u}{\partial {\text{}}^{2}x}=-\text{ϰ}pu(x,t).$                                                                                       (4.7)

Таким образом, собственные сдвиговые колебания полосы из рассматриваемого материала Коссера при заданных граничных условиях описываются функциями:

$\begin{array}{l}\begin{array}{c}{u}_i^{(k)}(x,t)=\text{sin}(p^{(k)}x)(A_{1i}^{(k)}\text{sin}{\omega }_i^{(k)}t+A_{2i}^{(k)}\text{cos}{\omega }_i^{(k)}t),\\ {\phi }^{(k)}(x,t)=\frac{k_i^{(k)}}{p^{\left(k\right)}}\frac{\partial u_i^{(k)}}{\partial x}.\end{array}\hfill \end{array}$                                                   (4.8)

Общее решение рассматриваемой задачи можно записать в виде:

$\begin{array}{r}\hfill \begin{array}{c}u(x,t)={\displaystyle \sum }_{i=1}^2{\displaystyle \sum }_k\text{sin}\left(p^{(k)}x\right)\left(A_{1i}^{(k)}\text{sin}{\omega }_i^{(k)}t+A_{2i}^{(k)}\text{cos}{\omega }_i^{(k)}t\right),\\ \phi \left(x,t\right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^2{\displaystyle \sum }_k\frac{{\text{κ}}_i^{(k)}}{p^{(k)}}\frac{\partial u_i^{(k)}}{\partial x},\end{array}\end{array}$                                       (4.9)

где A_1i^(k), A_2i^(k) $–$ произвольные константы (i = 1, 2).

Если A_1i^(k), A_2i^(k) $–$ ненулевые константы, то движение (4.9) определяется не двумя различными ϰ_i^(k), а зависит лишь от одной из них, так как по формуле (3.22) можно выразить одну через другую.

5. Пример численного расчета конструкции. Выбор числовых значений констант параметров модели очень деликатное дело, особенно в связи с рассмотрением неклассических сред. В ряде работ такие константы определяются из эксперимента [23], [24], в других работах числовые значения констант выбираются на основе теоретических предположений, аналогий между классичеcкими и неклассическими средами [10], [12], [14], [18], [22], [24$–$31]. В качестве примера возьмем следующие значения параметров модели [9]: G_mat = 6 · 10⁷ [Па/м], G_r = 3 · 10⁷ [Па/м], H₂ = 99 [Па/м], ρ = 2259 [кг/м³], j = 9.99 · 10^$–$3 [м²], G_mix = 0 [Па/м].

 

Рис. 2. Графики зависимости собственных частот от k: (а) линейный масштаб, (b) логарифмический масштаб.

 

На рис. 2 изображены зависимости собственных частот среды от параметра k, определяющего волновое число (черная сплошная линия). Здесь и далее на графиках: для областей, где рассматриваемый параметр не определен, примем серую заливку, асимптоты функций обозначаются серым штрихом, а сами функции черными сплошными линиями (значения функции дискретны и определены при натуральных k). На бесконечности верхняя ветвь, соответствующая ω₂, ведется себя как p(H₂ /(jρ))^1/2 (серая пунктирная линия), а нижняя ветвь, соответствующая ω₁, $–$ как p(N_a /ρ)^1/2. Из графика видно, что при k = 0, частоты ω₁, ω₂ достигают минимальных значений.

 

Рис. 3. Графики зависимости фазовых скоростей от k: (а) линейный масштаб, (b) логарифмический масштаб.

 

На рис. 3 изображена фазовая скорость от параметра k (черная сплошная линия). Ветвь, соответствующая ω₂, расположена выше ветви, соответствующей ω₁. Ветвь v_φ2^(k) на бесконечности подходит к своей асимптоте сверху (H₂ /( jρ))^1/2, ветвь v_φ1^(k) на бесконечности $–$ к (N_a /ρ)^1/2 сверху. Отметим, что область изменения v_φi^(k)  распадается на три части: ветвь v_φ2^(k) ограничена сверху значением при k = 1 (на рис. 3, b черная пунктирная линия) и асимптотой на бесконечности (серая пунктирная линия), аналогично v_φ1^(k) со своими значениями.

 

Рис. 4. Графики зависимости групповых скоростей от k: (а) линейный масштаб, (b) логарифмический масштаб.

 

На рис. 4 показана зависимость групповой скорости от волнового числа (черная сплошная линия). При этом ветвь, соответствующая ω₂ при k = 1, расположена ниже ветви, соответствующей ω₁. Однако на бесконечности ветвь, соответствующая ω₂, расположена выше ветви, соответствующей ω₁. Обратим внимание, что ветвь v_g2^(k) на бесконечности подходит к своей асимптоте снизу (H₂/( jρ))^1/2, как и v_g1^(k) к (N_a /ρ)^1/2 тоже снизу, однако последняя вначале пересекает асимптоту, имеет точку перегиба и только после этого уходит на бесконечность снизу к своей асимптоте. Особенно отчетливо это видно в логарифмическом масштабе на рис. 4, b.

 

Рис. 5. Графики зависимости собственных частот от k при H₂ = 0: (а) линейный масштаб, (b) логарифмический масштаб.

 

Заметим, что параметр H₂ входит в выражение для асимптоты ω₂. Предположим, что H₂ = 0. Это соответствует тому, что у исходной конструкции отсутствует жесткость ременной передачи в направлении x₂. У собственных частот появляется область, где значение ω_i^(k) не определено (рис. 5). Кроме того, видно, что все собственные частоты ω₁^(k) расположены ниже ω₂^(k). Асимптотой у ветви, соответствующей ω₂^(k), является прямая $p\sqrt{N_a/\rho },$ а у ветви низкой частоты асимптотой является комбинация констант $\sqrt{N_a{N}_c-N_b^2}\text{}/\sqrt{j\rho N_a}.$

Ветвь фазовой скорости v_φ1^(k) асимптотически приближается к нулю сверху при стремлении k к бесконечности (рис. 6). Асимптотой для v_φ2^(k) является $\sqrt{N_a/\rho }.$ При этом область изменения v_φi^(k) распадается на две части.

 

Рис. 6. Графики зависимости фазовых скоростей от k при H₂ = 0: (а) линейный масштаб, (b) логарифмический масштаб.

 

Рис. 7. Графики зависимости групповых скоростей от k при H₂ = 0: (а) линейный масштаб, (b) логарифмический масштаб.

 

Аналогичным образом ведет себя групповая скорость v_gi^(k) (рис. 7). При стремлении волнового числа к бесконечности ветвь v_g1^(k) асимптотически приближается к нулю сверху, а ветвь v_g2^(k) имеет асимптоту $\sqrt{N_a/\rho },$ приближаясь к ней снизу.

Рассмотрим движения, соответствующие первой моде колебаний с k = 1, положив для наглядности A_2i^(k) = 0 (i = 1, 2). В этом случае существуют ровно две формы колебаний. Примем A₁₁⁽¹⁾ = 0.0872 для первой формы колебаний с частотой ω₁⁽¹⁾, а для второй формы колебаний с частотой ω₂⁽¹⁾ примем A₁₂⁽¹⁾ = 0.0872. Согласно (4.9) получим для первой и второй форм колебаний:

$\begin{array}{l}{u}_1^{\left(2\right)}=A_{11}^{\left(1\right)}\text{sin}\left(\pi x/l\right)\text{sin}{\omega }_1^{\left(1\right)}t,{\phi }_1^{\left(1\right)}={\text{\hspace{0.33em}ϰ}}_1^{\left(1\right)}{A}_{11}^{\left(1\right)}\text{cos}\left(\pi x/l\right)\text{sin}{\omega }_1^{\left(1\right)}t,\\ u_2^{\left(1\right)}=A_{12}^{\left(1\right)}\text{sin}\left(\pi x/l\right)\text{sin}{\omega }_2^{\left(1\right)}t,{\phi }_2^{\left(1\right)}={\text{ϰ}}_2^{\left(1\right)}{A}_{12}^{\left(1\right)}\text{cos}\left(\pi x/l\right)\text{sin}{\omega }_2^{\left(1\right)}t.\end{array}$                                    (5.1)

 

Рис. 8. Первая форма колебаний: (а) перемещения u₂⁽¹⁾ в зависимости от времени t, (b) повороты φ₂⁽¹⁾ в зависимости от времени t.

 

На рис. 8, a и 9, а изображены перемещения в зависимости от поперечной координаты и времени t в соответствии с (5.1). На рис. 8, b и 9, b изображены повороты включений. Первая форма колебаний (с низкой частотой $–$ ω₁) соответствует поворотам включений, которые сопутствуют продольному смещению полосы. Вторая форма (с высокой частотой $–$ ω₂) соответствует «встречным» (противоположным по знаку) поворотам включений.

 

Рис. 9. Вторая форма колебаний: (а) перемещения u₂⁽¹⁾ в зависимости от времени t, (b) повороты φ₂⁽¹⁾ в зависимости от времени t.

 

Таким образом можно сделать вывод, что при колебаниях с низкой частотой включения «содействуют» продольному смещению полосы, а при колебаниях с более высокой частотой $–$ «препятствуют». Схематически это изображено на рис. 10, где черными стрелками обозначены повороты включений, серыми стрелками направления перемещения точек полосы. Математически данный эффект объясняется тем, что k_i^(k) связаны друг с другом и отличаются знаком, поэтому в (5.1) j_i^(k) всегда разного знака.

5. Заключение. В работе продолжено развитие структурного (механического) метода моделирования сложных свойств сопротивления материалов деформированию, предложенного А.А. Ильюшиным [17]. Решена задача о собственных колебаниях бесконечной полосы, механические свойства которой описываются моделью [9].

 

Рис. 10. Формы колебания полосы в зависимости от частоты (верхний рисунок – с частотой ω₁, нижний рисунок – с частотой ω₂).

 

Получен общий вид решения в предположении, что функции u₁ и j зависят только от координаты x₂ и времени t, а перемещения u₂ отсутствуют. Формулы (4.9) показывают существенную особенность решения, состоящую в том, что каждому волновому числу, определяемому числом k, соответствуют ровно две частоты и две формы колебаний.

Проведены численные расчеты для конкретной конструкции. На графиках в линейном и логарифмическом масштабах представлены зависимости собственных частот, фазовых и групповых скоростей от волнового числа, указаны соответствующие особенности, в том числе асимптотическое поведение. Показано, что при H₂ = 0 на графиках появляются области, через которые не проходят дисперсионные кривые. Отмечено, что групповая скорость низкой собственной частоты стремится к нулю при больших значениях параметра k, в отличие от случая, когда H₂≠0.

Приведены рисунки, иллюстрирующие первую моду колебаний в зависимости от времени. Рассмотрено поведение полосы и включений при каждой из частот, сделан вывод, что при колебаниях с низкой частотой включения сопутствуют продольному смещению полосы, а при колебаниях с более высокой частотой $–$ препятствуют. В случае, когда A_i^(k) $–$ ненулевые константы, показано, что собственные движения конструкции определяется не двумя различными ϰ_i^(k), а зависят лишь от одного из них.

作者简介

G. Brovko

Lomonosov Moscow State University

编辑信件的主要联系方式.
Email: glb@mech.math.msu.su
俄罗斯联邦, Moscow

V. Kozhukhov

Lomonosov Moscow State University

Email: vladislav.kozhukhov@student.msu.ru
俄罗斯联邦, Moscow

E. Martynova

Lomonosov Moscow State University

Email: glb@mech.math.msu.su
俄罗斯联邦, Moscow

参考

补充文件