Brittle fracture of an elastic layer with a defect in the form of a circle under biaxial loading

Толық мәтін

Введение. Для плоской задачи о нагружении материального слоя с отверстиями возможно получение аналитических решений [1–3], среди которых выделим задачу о нагружении кругового отверстия в бесконечной среде. Рассматривая одноосное нагружение на бесконечности, приходим к задаче Кирша [4] решение которой приводит к нахождению коэффициента концентрации напряжений равному трем, который не зависит от радиуса отверстия. Принимая максимальное главное напряжение в качестве критерия разрушения приходим к тому, что вне зависимости от радиуса отверстия разрушение образца должно происходить при одной нагрузке. Однако экспериментальные данные свидетельствуют о существенной нелинейной зависимости [5–7], при которой для малых значений радиуса отверстия образец практически не реагирует на дефект, а при увеличении радиуса отверстия имеет место асимптотическая сходимость к постоянному значению. Объяснение данному экспериментальному факту в работах [6–8] дается посредством введения в модель сплошной среды линейного размера (ЛР). В статьях [6, 7] ЛР определяется исходя из решений механики трещин. В статье [8] относительно ЛР рассматривается влияние радиуса кривизны кругового отверстия на эффективный поток энергии растягивающих напряжений. Поток энергии в рамках дуги взаимодействия (ДВ) приводит к разрушению для относительно больших радиусов кривизны при значении внешней нагрузки, найденной по классическому решению задачи Кирша. В данной работе предлагается рассмотреть комбинированное нагружение [9] бесконечного материального слоя с круговым отверстием. На основе экспериментальных данных статьи [7] по критическому значению параметра нагружения для различных круговых вырезов определен ЛР исследуемого материала.

1. Постановка задачи. Рассматривается комбинированное нагружение линейно упругой среды с круговым отверстием согласно схеме рис. 1.

Рис. 1. Схема нагружения кругового отверстия.

Сжимающая распределенная нагрузка $P_2=-k_{2}p$ вдоль оси $x_2$ и растягивающая распределенная нагрузка $P_1=k_{1}p$ вдоль оси $x_1$ линейно связаны с параметром нагружения $p$, принимаемым положительной величиной. Соответствующая схема нагружения была реализована для материала дигидрат сульфата кальция (двухводного гипса) приготовленного из водного раствора высокопрочного гипса марки ГВВС-16 в работе [7] для отверстий диаметра $2a$, равных 1, 2, 5, 10, 15 и 20 мм при $k_1=0.143$, $k_2=0.764$. Методика эксперимента представлена в работе [9]. Предел прочности бездефектного исследуемого материала при сжатии составил C₀=34.11 МПа, а при растяжении – C₁=5.38 МПа [7]. Результаты эксперимента показывают влияние диаметра отверстия на локальную прочность материала. В работе [7] объяснение данного результата строится на основе подхода механики конечных трещин. Рассмотрим полученный результат исходя из анализа потока удельной свободной энергии через ДВ [8], определив при этом соответствующий ЛР – ${\delta }_0$ исследуемого материала.

Напряженное состояние на контуре кругового отверстия $r=a$ при двухосном растяжении запишем в виде [10]:

${\sigma }_{\text{r}r}\text{=}{\sigma }_{\text{r}\theta }\text{=\hspace{0.33em}}{\sigma }_{\theta \theta }{P}_{\text{1}}+P_{\text{2}}-\text{2}\left(P_{\text{1}}-P_{\text{2}}\right)\text{cos\hspace{0.33em}}2\theta$, (1.1)

где $r, \theta$ – полярные координаты, показанные на рис. 1.

Из (1.1) выпишем отличную от нуля компоненту тензора напряжений с учетом рассматриваемых граничных условий:

${\sigma }_{\theta \theta }=p\left(\left(k_1-k_2\right)-2\left(k_1+k_2\right)\cos 2\theta \right)=p\left(b_1+b_2\cos 2\theta \right)$, (1.2)

где $b_1=-0.621; b_2=-1.814$.

Из (1.2) приходим к двум экстремальным значениям, соответствующим четырем значениям полярного угла ${\sigma }_{\theta \theta }\left(0\right)={\sigma }_{\theta \theta }\left(\pi \right)=-2.435p;$ ${\sigma }_{\theta \theta }\left(\pi /2\right)={\sigma }_{\theta \theta }\left(3\pi /2\right)=cp=1.193p,$ где $c=b_1-b_2$ С учетом заявленных прочностных характеристик материала, при которых предел прочности на сжатие более чем в шесть раз превышает предел прочности на растяжение, получаем, что процесс разрушения на окружном вырезе будет локализоваться в окрестности значений полярного угла $\theta =\mathrm{\pi }/2$ и $\theta =3\mathrm{\pi }/2$ Без ограничения общности рассмотрим ДВ в окрестности значения $\theta =\mathrm{\pi }/2$ определяемую углом раствора $\alpha$, согласно рис. 1.

2. Нахождение потока энергии через дугу взаимодействия. Следуя работе [8], определим угол раствора следующим образом

$\alpha =2\arcsin {\delta }_0/2a$, (2.1)

где ${\delta }_0$ – линейный размер.

Распределение удельной свободной энергии вдоль контура отверстия согласно (1.2) запишем в виде

$\Psi =\frac{p^2}{2\widehat{E}}{\left(b_1+b_2\cos 2\theta \right)}^2$, (2.2)

где $\hat{E}=E$ в случае плоского напряженного состояния; $\hat{E}=E\left(1-v^2\right)$ при плоской деформации; $E$ – модуль Юнга; $v$ – коэффициент Пуассона.

Определим поток удельной свободной энергии через дугу взаимодействия в направлении вектора e₂ в виде:

$2\gamma =-{\int }_{\left(\pi -\alpha \right)/2}^{\left(\pi +\alpha \right)/2}{\mathbf{e}}_2\cdot \mathbf{n\Psi }ad\theta ={\int }_{\left(\pi -\alpha \right)/2}^{\left(\pi +\alpha \right)/2}a\mathbf{\Psi }\sin \theta d\theta$, (2.3)

где n – единичный вектор внешней нормали к дуге взаимодействия; $·$ – скалярное умножение.

В результате интегрирования (2.3) получаем

$2\gamma =\frac{p^2{\delta }_0{c}^2}{2\widehat{E}}\left(1+\frac{b_2}{3c}{\left(\frac{{\delta }_0}{a}\right)}^2+\frac{1}{20}{\left(\frac{b_2}{c}\right)}^2{\left(\frac{{\delta }_0}{a}\right)}^4\right)$. (2.4)

Из (2.4) при ${\delta }_0=2a$ получаем $2\gamma =0.8222\frac{p^2{\delta }_0{c}^2}{2\hat{E}}$, в случае ${\delta }_0\ll a-2\gamma =\frac{p^2{\delta }_0{c}^2}{2\hat{E}}$ – .

Таким образом при одинаковом значении параметра нагружения поток удельной свободной энергии в случае ${\delta }_0=2a$ практически на 20% меньше потока в случае ${\delta }_0\ll a$.

Положим, что разрушение охватывает ДВ, когда поток удельной свободной энергии через нее достигает критического значения [8]

$2\gamma =2{\gamma }_c$. (2.5)

Из (2.4) и (2.5) приходим к выражению для критического значения параметра нагружения

$p_c=\frac{2}{c}\sqrt{\frac{{\gamma }_c\widehat{E}}{{\delta }_0}}{\left(1+\frac{b_2}{3c}{\left(\frac{{\delta }_0}{a}\right)}^2+\frac{1}{20}{\left(\frac{b_2}{c}\right)}^2{\left(\frac{{\delta }_0}{a}\right)}^4\right)}^{-1/2}$. (2.6)

Критическое значение параметра нагружения найдем из решения (1.2) положив достижение окружного напряжения при $\theta =\mathrm{\pi }/2$ равным пределу прочности на растяжение $p_c=C_1/c$. Приравняв последнее выражение к значению (2.6) в случае ${\delta }_0\ll a$ приходим к выражению критического потока через энергетическое произведение [11]

$2{\gamma }_c=\frac{C_1^2}{2\widehat{E}}{\delta }_0$. (2.7)

Из (2.6), (2.7) получаем

${\widehat{p}}_c=\frac{1}{c}{\left(1+\frac{b_2}{3c}{\left(\frac{{\delta }_0}{a}\right)}^2+\frac{1}{20}{\left(\frac{b_2}{c}\right)}^2{\left(\frac{{\delta }_0}{a}\right)}^4\right)}^{-1/2}$, (2.8)

где ${\hat{p}}_c=p_c/C_1$.

В случае ${\delta }_{\text{0}}=\text{2}a$ ${\widehat{p}}_c\approx \mathrm{0.92,}$ а в случае ${\delta }_0\ll a$ ${\widehat{p}}_c\approx \mathrm{0.83.}$Экстремальное максимальное значение функции (10) ${\widehat{p}}_c\approx 1.26$ находится в точке ${\delta }_0/a=\sqrt{-10A/3b_2}\approx \mathrm{1.48.}$ Используем точку экстремума функции (10) для определения ЛР.

3. Нахождение линейного размера. На рис. 2 приведем экспериментальные данные работы [7], отнеся их к пределу прочности при растяжении образца. На рис. 2 непрерывной линией приведена аппроксимирующая кривая, построенная на основе экспоненциальной функции $n_1{e}^{n_2{x}_1}+n_3$, где $n_1, n_2, n_3$ – постоянные, определяемые методом наименьших квадратов. Экспериментальные данные работы [7] на рис. 2 выделены кругами. Точечной линией построена прямая ${\hat{p}}_c=0.83$.

Рис. 2. Данные эксперимента и их интерпретация. Размерность оси абсцисс в мм.

Для нахождения ЛР проведем прямую ${\hat{p}}_c=1.26$ пересечения с аппроксимирующей кривой. Из точки пересечения М опустим перпендикуляр до пересечения с осью абсцисс. Данное значение диаметра $2a\text{'}$ отверстия после нормирования будет определять ЛР материала ${\delta }_0=\sqrt{(-10c/(3b_2\left)\right)}\left(2a^{\text{'}}\right)/2$.

По представленной на рис. 2 зависимости находим $2a\text{'}\approx 4$ мм. Таким образом получаем ${\delta }_0=3$ мм. На рис. 2 пунктирной линией построена кривая (2.8) с найденным ЛР. В этом случае допустимый радиус отверстия, для которого возможно проводить расчет предельной нагрузки в рамках предложенного критерия разрушения будет определяться диапазоном $0\ge a\text{'}$.

Заключение. Показано, что формулировка условия прочности в виде достижения потоком удельной свободной энергии через ДВ критического значения позволяет получить зависимость критического состояния от радиуса отверстия и ЛР в упругом слое при комбинированном нагружении на бесконечности. При этом ЛР является характеристикой материала, связывающей предложенный критерий прочности с классическими критериями.

На основе известных экспериментальных данных о критическом состоянии слоев с круговыми отверстиями различных радиусов предложена процедура нахождения ЛР. Проведена оценка ЛР высокопрочного гипса марки ГВВС-16.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-21-00017, https://rscf.ru/project/23-21-00017/, в Тульском государственном университете.

Авторлар туралы

V. Glagolev

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: vadim@tsu.tula.ru
Ресей, Tula, 300012

A. Markin

Email: markin-nikram@yandex.ru
Ресей, Tula, 300012

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар

Қосымша файлдар

Әрекет

1. JATS XML

Жүктеу

2. Fig. 1. The loading scheme of the circular hole.

Жүктеу (86KB)

Метадеректер

3. Fig. 2. Experimental data and their interpretation. The dimension of the abscissa axis in mm.

Жүктеу (71KB)

Метадеректер