Движение изменяемого тела в силовом поле, зависящем от времени

1. Постановка задачи и уравнения движения. Пусть $O{X}_{\alpha }{X}_{\beta }{X}_{\gamma }$ $—$ абсолютная прямоугольная декартова система отсчета (АСО), Cx₁x₂ x₃ $—$ подвижная прямоугольная декартова система отсчета (ПСО), начало которой $—$ точка C $—$ совершает движение в трехмерном евклидовом пространстве. Предполагается, что оси ПСО могут быть произвольным образом ориентированы относительно осей АСО. Пусть P₁, ..., P_n $—$ точки массами m₁(t), ..., m_n(t), в общем случае зависящими от времени. Положение этих точек задается векторами

${\overrightarrow{OP}}_k=\overrightarrow{OC}+{\overrightarrow{CP}}_k.$ (1.1)

Пусть

$S=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& {\alpha }_3\\ {\beta }_1& {\beta }_2& {\beta }_3\\ {\gamma }_1& {\gamma }_2& {\gamma }_3\end{array}\right)$

$–$ ортогональная матрица, по строкам которой записаны единичные векторы $\alpha ={\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\right)}^T$, $\beta ={\left({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3\right)}^T$, $\gamma ={\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3\right)}^T$ АСО, заданные своими проекциями на оси ПСО. Задающая ориентацию матрица S зависит от времени: S = S(t). При этом кососимметричная матрица

$\widehat{\omega }={\mathbf{S}}^{-1}\frac{d\mathbf{S}}{dt}\iff \frac{d\mathbf{S}}{dt}=\mathbf{S}\widehat{\mathbf{\omega }}$ (1.2)

называется матрицей угловой скорости:

$\widehat{\omega }=\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right).$

По ее компонентам определяется вектор угловой скорости ПСО относительно АСО

$\omega ={({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)}^T$,

заданный в проекциях на оси ПСО.

В дальнейшем будем обозначать заглавными буквами проекции вектора на оси АСО и такими же строчными буквами $—$ проекции вектора на оси ПСО. Тогда равенство (1.1) можно записать как

$P_k=R+X_k=R+S\cdot x_k$ (1.3)

Здесь и далее P_k $—$ вектор ${\overrightarrow{OP}}_k,$ заданный в проекциях на оси АСО, R $—$ вектор $\overrightarrow{OP},$ также заданный в проекциях на оси АСО, $X_k={(X_{k\alpha },X_{k\beta },X_{k\gamma })}^T$ и $x_k={(x_{k1},x_{k2},x_{k3})}^T$ $—$ вектор $\overrightarrow{C{P}_k},$ заданный в проекциях на оси АСО и ПСО соответственно.

Дифференцируя равенство (1.3) по времени, выписываем выражение для скорости точки P_k:

${\dot{P}}_k=\dot{R}+{\dot{X}}_k=\dot{R}+\dot{S}\cdot x_k+S\cdot {\dot{x}}_k.$ (1.4)

Домножая левую и правую части (1.4) слева на S^$–$1, имеем:

$S^{-1}{\dot{P}}_k=S^{-1}\dot{R}+S^{-1}{\dot{X}}_k=S^{-1}\dot{R}+S^{-1}\dot{S}\cdot x_k+S^{-1}S\cdot {\dot{x}}_k.$

Отсюда находим соотношение

$v_k=v+\widehat{\omega }\cdot x_k+{\dot{x}}_k\equiv v+\omega \times x_k+{\dot{x}}_k,$ (1.5)

позволяющее выразить абсолютную скорость v_k точки P_k через абсолютную скорость v точки C, через угловую скорость w, через вектор x_k, задающий положение точки P_k относительно ПСО, и, наконец, через вектор $\dot{\mathbf{x}}k$, задающий скорость движения точки P_k относительно ПСО.

Будем считать, что законы движения точек относительно ПСО заданы:

$x_k=x_k(t),$

где x_1k(t), x_2k(t), x_3k(t) $—$ гладкие функции времени. Тогда кинетическая энергия системы в целом определяется как

$\begin{array}{l}T=\frac{1}{2}\left(m_1\left({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_1\right)+\dots +m_n\left({\mathbf{v}}_n,{\mathbf{v}}_n\right)\right)=\\ =\frac{1}{2}\underset{k=1}{\sum ^n}{m}_k\left(\mathbf{v}+\omega \times {\mathbf{x}}_k+{\dot{\mathbf{x}}}_k,\mathbf{v}+\omega \times {\mathbf{x}}_k+{\dot{\mathbf{x}}}_k\right)\equiv \\ \equiv \frac{1}{2}\left(\mathbf{A}\left(t\right)\mathbf{\omega }\mathbf{,}\mathbf{\omega }\right)+\left(\mathbf{B}\left(t\right)\mathbf{\omega },\mathbf{v}\right)+\frac{1}{2}\left(\mathbf{C}\left(t\right)\mathbf{v},\mathbf{v}\right)+\left(\mathbf{D}\left(t\right),\mathbf{\omega }\right)+\left(\mathbf{E}\left(t\right),\mathbf{v}\right)+T_0\left(t\right),\end{array}$

где функция T₀(t) зависит только от времени и при дальнейшем составлении уравнений движения роли не играет.

Согласно теоремам об изменении количества движения и момента количества движения уравнения движения имеют вид:

$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \mathbf{v}}\right)=\frac{\partial T}{\partial \mathbf{v}}\times \mathbf{\text{ω}}+\mathbf{F}\left(t,\mathbf{r},\mathbf{\text{α,β,γ}}\right),\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \mathbf{\omega }}\right)=\frac{\partial T}{\partial \mathbf{\omega }}\times \mathbf{\text{ω}}+\frac{\partial T}{\partial \mathbf{v}}\times \mathbf{v}+\mathbf{Q}\left(t,\mathbf{r},\mathbf{\text{α,β,γ}}\right).\end{array}$

Здесь $\mathbf{F}=\mathbf{F}\left(t,\mathbf{r},\mathbf{\text{α,β,γ}}\right)$ и $\mathbf{Q}=\mathbf{Q}\left(t,\text{r}\text{,}\mathbf{\text{α,β,γ}}\right).$ $—$ результирующие внешняя сила и момент внешних сил соответственно. Вводя обозначения

$\mathbf{p}=\frac{\partial T}{\partial \mathbf{v}}=\mathbf{B\omega }+\mathbf{C}\mathbf{v}+\mathbf{E},\mathbf{M}=\frac{\partial T}{\partial \mathbf{\omega }}=\mathbf{A\omega }+{\mathbf{B}}^T\mathbf{v}+\mathbf{D},$

запишем эти уравнения в явном виде^[1]:

$\frac{d\mathbf{p}}{dt}=\mathbf{p}\times \mathbf{\text{ω}}+\mathbf{F}\left(t,\mathbf{r},\mathbf{\text{α,β,γ}}\right),$ (1.6)

$\frac{d\mathbf{M}}{dt}=\mathbf{M}\times \mathbf{\text{ω}}+\mathbf{p}\times \mathbf{v}+\mathbf{Q}\left(t,\mathbf{r},\mathbf{\text{α,β,γ}}\right),$ (1.7)

Эти уравнения должны быть дополнены уравнениями Эйлера:

$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}+\mathbf{r}\times \mathbf{\omega },$ (1.8)

описывающими изменение вектора $\overrightarrow{OC}$ в ПСО, а также уравнениями Пуассона:

$\frac{d\mathbf{\text{α}}}{dt}\text{=}\mathbf{\text{α}}\times \mathbf{\text{ω}},\frac{d\mathbf{\text{β}}}{dt}\mathbf{\text{β}}\text{=}\mathbf{\text{β}}\times \mathbf{\text{ω}},\frac{d\mathbf{\text{γ}}}{dt}\text{=}\mathbf{\text{γ}}\times \mathbf{\text{ω}}\text{,}$ (1.9)

представляющими собой записанное в векторном виде матричное равенство (1.2). Справедливо

Утверждение 1. Если существует функция f (t) > 0 $\forall t$, такая, что

 $A(t)=f(t)A_{\text{*}},B(t)=f(t)B_{\text{*}},C(t)=f(t)C_{\text{*}},D(t)=D_{\text{*}},E(t)=E_{\text{*}},$ (1.10)

$f\left(t\right)\mathbf{F}\left(t,\mathbf{r},\mathbf{\text{α,β,γ}}\right)={\mathbf{F}}_{*}\left(\mathbf{r},\mathbf{\text{α,β,γ}}\right),f\left(t\right)\mathbf{Q}\left(t,\mathbf{\text{α,β,γ}}\right)={\mathbf{Q}}_{*}\left(\mathbf{\text{α,β,γ}}\right),$ (1.11)

где тензоры A _*, B _* и C _*, а также вектор D _* и E _* постоянны в осях ПСО, а векторы ${\mathbf{F}}_{*}(\mathbf{r}\mathbf{,}\mathbf{\text{α,β,γ}})$ и ${\mathbf{Q}}_{*}(\mathbf{r},\mathbf{\text{α,β,γ}})$ не зависит явно от времени, то заменой независимой переменной $t\mapsto t_{\text{*}}$:

$f(t)\frac{d}{dt}=\frac{d}{d{t}_{*}}$ (1.12)

и переменных $\text{v}$ и $\text{ω}$:

${\mathbf{v}}_{*}=f\left(t\right)\mathbf{v},{\mathbf{\omega }}_{*}=f\left(t\right)\mathbf{\omega }$ (1.13)

уравнения (1.6), (1.7), а также уравнения (1.9) и (1.8) приводимы к виду:

$\frac{d{\mathbf{p}}_{*}}{d{t}_{*}}={\mathbf{p}}_{*}\times {\mathbf{\omega }}_{*}+{\mathbf{F}}_{*},\frac{d\mathbf{M}}{d{t}_{*}}={\mathbf{M}}_{*}\times {\mathbf{\omega }}_{*}+{\mathbf{p}}_{*}\times {\mathbf{v}}_{*}+{\mathbf{Q}}_{*},$

${\mathbf{p}}_{*}=\frac{\partial T_{*}}{\partial {\mathbf{v}}_{*}},{\mathbf{M}}_{*}=\frac{\partial T_{*}}{\partial {\mathbf{\omega }}_{*}},$ (1.14)

  $T_{*}=\frac{1}{2}\left({\mathbf{A}}_{*}{\mathbf{\omega }}_{*},{\mathbf{\omega }}_{*}\right)+\left({\mathbf{B}}_{*}{\mathbf{\omega }}_{*},{\mathbf{v}}_{*}\right)+\frac{1}{2}\left({\mathbf{C}}_{*}{\mathbf{v}}_{*},{\mathbf{v}}_{*}\right)+\left({\mathbf{D}}_{*},{\mathbf{\omega }}_{*}\right)+\left({\mathbf{E}}_{*},{\mathbf{v}}_{*}\right),$ (1.15)

$\frac{d\mathbf{r}}{d{t}_{*}}={\mathbf{v}}_{*}+{\mathbf{r}}_{*}\times {\mathbf{\omega }}_{*},$ (1.16)

$\frac{d\mathbf{\text{α}}}{d{t}_{*}}=\mathbf{\text{α}}\times {\mathbf{\text{ω}}}_{*},\frac{d\mathbf{\text{β}}}{d{t}_{*}}=\text{β}\times {\mathbf{\text{ω}}}_{*},\frac{d\mathbf{\text{γ}}}{d{t}_{*}}=\mathbf{\text{γ}}\times {\mathbf{\text{ω}}}_{*}.$  (1.17)

Правые части уравнений (1.14), (1.15) не зависят явно от времени и имеют вид уравнений Кирхгофа$–$Клебша из динамики твердого тела в жидкости под действием не зависящих явно от времени результирующей силы и результирующего крутящего момента. Уравнения (1.17) и (1.16) отличаются от уравнений (1.9) и (1.8) лишь обозначениями.

Доказательство. Прежде всего подставим условия (1.10) в уравнения (1.14). Имеем

$\frac{d}{dt}\left(f{\mathbf{B}}_{*}\mathbf{\omega }+f{\mathbf{C}}_{*}\mathbf{v}+{\mathbf{E}}_{*}\right)=\left(f{\mathbf{B}}_{*}\mathbf{\omega }+f{\mathbf{C}}_{*}\mathbf{v}+{\mathbf{E}}_{*}\right)\times {\mathbf{\omega }}_{*}+\mathbf{F}\left(t,\mathbf{\text{r,α,β,γ}}\right).$

Домножая левую и правую части этих уравнений на f (t), выполняя замену времени (1.12) и переменных (1.13), а также используя условие (1.11), после преобразований приходим к (1.14), что и требовалось. Далее, подставляя условия (1.10) в уравнения (1.14), имеем:

$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\left(f{\mathbf{A}}_{*}\mathbf{\text{ω}}+f{\mathbf{B}}_{*}^T\mathbf{v}+{\mathbf{D}}_{*}\right)=\left(f{\mathbf{A}}_{*}\mathbf{\text{ω}}+f{\mathbf{B}}_{*}^T\mathbf{v}+{\mathbf{D}}_{*}\right)\times \mathbf{\text{ω}}+\\ +\left(f{\mathbf{B}}_{*}\mathbf{\text{ω}}+f{\mathbf{C}}_{*}\mathbf{v}+{\mathbf{E}}_{*}\right)\times \mathbf{v}+\mathbf{Q}\left(t,\mathbf{r},\mathbf{\text{α,β,γ}}\right).\end{array}$

Вновь домножая левую и правую части этих уравнений на  f (t), выполняя замену времени (1.12) и переменных (1.13), а также используя условие (1.11), после преобразований приходим к (1.15), что и требовалось.

Наконец, что касается уравнений Эйлера (1.8) и Пуассона (1.9), то также домножая их левые и правые части на f (t) и используя замену переменных (1.13), получаем уравнения (1.16) и (1.17), отличающиеся от уравнений Эйлера (1.8) и уравнений Пуассона (1.9) лишь обозначениями.

2. Случай потенциальных внешних сил. Предположим, что система совершает движение в потенциальном поле внешних сил с потенциалом

$U=U\left(t,\mathbf{\text{r,α,β,γ}}\right),$ (2.1)

выражающим зависимость от времени, от положения и от ориентации тела. При этом результирующая сила и результирующий момент сил, как известно, записываются как

$\text{F}\left(t,\mathbf{r},\mathbf{\text{α,β,γ}}\right)=-$$\frac{\partial U}{\partial r},$ (2.2)

$\mathbf{Q}\left(t,\mathbf{r},\mathbf{\text{α,β,γ}}\right).=\text{r}\times$ $\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}}+\alpha \times \frac{\partial U}{\partial \mathbf{\text{α}}}+\beta \times \frac{\partial U}{\partial \mathbf{\text{β}}}+\gamma \times \frac{\partial U}{\partial \mathbf{\text{γ}}}.$ (2.3)

Утверждение 2. Если в условиях утверждения 1 силы потенциальны и потенциал (2.1) имеет вид:

$f\left(t\right)U=U\left(t,\mathbf{\text{r,\hspace{0.33em}α,β,γ}}\right),U_{*}=U\left(\mathbf{\text{r,α,β,γ}}\right)$, (2.4)

то уравнения движения сводятся к независящим от времени уравнениям типа уравнений Кирхгофа$–$Клебша, описывающих поступательно-вращательное движение тела в трехмерном евклидовом пространстве.

Доказательство сводится к непосредственной подстановке условия (2.4) в соотношения (2.2) и (2.3) для результирующей силы и результирующего момента сил соответственно.

Рассмотрим некоторые известные специальные случаи такого потенциала, для которых предлагаемая замена переменных и времени приводит к классическим задачам механики твердого тела.

3. Свободное движение системы. Пусть выполнено условие

$\text{F}\left(t,\mathbf{r},\mathbf{\text{α,β,γ}}\right)\equiv 0$, $\mathbf{Q}\left(t,\mathbf{r},\mathbf{\text{α,β,γ}}\right)\equiv 0$ (3.1)

В этом случае при выполнении условий утверждения 1 возникающие динамические уравнения (1.14), (1.15) отделяются от кинематических уравнений (1.16), (1.17) и всегда обладают тремя первыми интегралами:

${\mathcal{J}}_0=\left(p_{*},v_{*}\right)+\left(M_{*},{\omega }_{*}\right)-T_{*},{\mathcal{J}}_1=\left(p_{*},M_{*}\right),{\mathcal{J}}_2=\left(p_{*},p_{*}\right),$

причем вектор p остается неизменным в абсолютном пространстве.

В случае, когда условия (3.1) выполнены, четвертый, дополнительный интеграл, знание которого достаточно для интегрирования уравнений движения в квадратурах, существует в ряде случаев при выполнении дополнительных условий, таких как условия Клебша, Кирхгофа, Стеклова, Ляпунова, Чаплыгина и др. (см., например, [1]).

Замечание 1. Изучаемые уравнения (1.6)$–$(1.9) при выполнении условий существования потенциала (2.1) посредством преобразования Лежандра по скоростям и угловым скоростям в общем случае приводятся к виду:

$\dot{p}=p\times \frac{\partial H}{\partial M}-\frac{\partial H}{\partial r},$

$\dot{M}=M\times \frac{\partial H}{\partial M}+p\times \frac{\partial H}{\partial p}+r\times \frac{\partial H}{\partial r}+\text{α}\times \frac{\partial H}{\partial \text{α}}+\text{β}\times \frac{\partial H}{\partial \text{β}}+\text{γ}\frac{\partial H}{\partial \gamma },$

$=\mathbf{\text{α}}\times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}},\mathbf{\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}β}}=\times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}},=\mathbf{\text{γ}}\times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}},$

$\frac{dr}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p}+r\times \frac{\partial H}{\partial M}$

с функцией Гамильтона

$f\left(t\right)H=H\left(t,\mathbf{\text{M}}\mathbf{,}\mathbf{\text{p}}\mathbf{,}\mathbf{\text{r,\hspace{0.33em}α,β,γ}}\right),H_{*}=H\left(\mathbf{\text{M}}\mathbf{,}\mathbf{\text{p}}\mathbf{,}\mathbf{\text{r,\hspace{0.33em}α,β,γ}}\right)$

Для таких систем замена независимой переменной $t\mapsto t_{\text{*}}$ вида (1.12) выглядит вполне естественной и очевидной.

4. О движении точки переменной массы в ньютоновском поле сил. Обратим внимание на то обстоятельство, что задача о движениях материальной точки переменной массы в центральном ньютоновском поле сил была объектом активного изучения в работах Т. Леви-Чивита, Г.Н. Дубошина и В.В. Степанова [2$–$10]. В частности, в этой задаче имеется случай, когда уравнения движения сводятся к классическим уравнениям движения в задаче Кеплера.

4.1. Сведение к задаче Кеплера. На самом деле, пусть P $—$ материальная точка, масса которой зависит от времени: $m=m\left(t\right).$ Предполагается, что движение совершается в центральном поле ньютоновского притяжения с центром в точке O, интенсивность которого также зависит от времени и определяется множителем $f=f\left(t\right)$. Пусть $r=\overrightarrow{OP}$ $—$ радиус-вектор точки P, $r=\left|\overrightarrow{OP}\right|$ $—$ расстояние от точки P до притягивающего центра. Здесь и далее все векторы заданы своими проекциями на оси абсолютной системы отсчета. Для описания движения естественно воспользоваться подходом И.В. Мещерского, предложенным для описания движения систем переменной массы [11]. В рамках этого подхода уравнения движения принимают вид:

$\frac{d}{dt}\left(m\frac{dr}{dt}\right)=-fm\frac{r}{r^3}.$ (4.1)

Введение нового времени

$t=t\left(t_{\text{*}}\right):\frac{d}{d{t}_{\text{*}}}=m\left(t\right)\frac{d}{dt}$ (4.2)

позволяет переписать эти уравнения в виде:

$\frac{d^{2}r}{d{t}_{*}^2}=-f_{*}\frac{r}{r^3},f_{*}(t_{*})\equiv {\left[f(t)\cdot m^2(t)\right]}_{t=t\left(t_{*}\right)}.$ (4.3)

Если величина  f_* постоянна, то (4.3) $—$ не что иное, как классические уравнения Кеплера, возникающие в случае, когда и масса точки, и интенсивность поля притяжения постоянны.

Замечание 2. Величина  f(t) представляет собой произведение гравитационной постоянной G и массы притягивающего тела: f(t) = GM(t). В то время как трудно представить себе гравитационную постоянную, меняющуюся со временем, масса притягивающего тела M(t) может со временем меняться за счет поглощения и испускания материи.

Замечание 3. Уравнения (4.3) относятся к классу знаменитых уравнений Гильдена$–$Мещерского [12, 13]. В многочисленных работах, восходящих к основополагающим публикациям [4, 13, 14], были развиты подходы к их интегрированию (см. обзоры в [15, 16]).

4.2. Дискуссии. В свое время уравнения (4.1) и (4.3) были предметом оживленной дискуссии. Сравнивая такие уравнения, проф. Г.Н. Дубошин в своей работе [10], в частности, пишет: “В общем случае, когда масса m есть функция времени (например, рассматриваемая нами задача), можно исходить, как делают некоторые авторы, из другого, более общего закона и писать вместо формулы (4)[2] следующую" href="#_ftn3" name="_ftnref3">[3]

$\frac{d(mv)}{dt}=F,$ (5)

выражающую, что “изменение количества движения = силе”.

Так как формулы (4) и (5) обе представляют собой принятые определения, то они обе одинаково аксиоматичны и, следовательно, нет никаких оснований предпочесть одну другой.

Следуя примеру большинства исследователей, я также выбрал из этих двух аксиом $—$ первую, как более простую и позволяющую вместе с тем вести исследование в рамках классической механики”.

По мнению авторов, предложенная замена независимой переменной (4.2) указывает на то, что в противопоставлении двух типов аксиоматик, выделенных проф. Г.Н. Дубошиным, нет особой необходимости.

Представляется поучительным привести здесь продолжение той же цитаты из публикации [10]. После нее проф. Г.Н. Дубошин пишет: “Однако необходимо отметить, что Леви-Чивита (T.Levi-Civita) пытался^[4] доказать формулу (5), рассматривая изменение массы тела m, как налипание на него со всех сторон малых материальных частиц космической пыли в случае увеличения массы, и как выбрасывание частиц (émission) в случае ее уменьшения.

Но гипотезы, положенные Леви-Чивита в основу этого вывода, вызывают ряд недоумений и возражений, а потому формула (5) не может считаться доказанной и остается по-прежнему аксиомой^[5]. Остается лишь сожалеть о том, что детали упоминаемого обсуждения остались за рамками цитируемого текста. Ведь обсуждаемые уравнения весьма близки уравнениям И.В. Мещерского для систем переменной массы, изложенные, в частности, в его цитируемой, но не обсуждаемой работе [11].

Замечание 4. В работе фактически не обсуждаются физически мотивированные источники изменения массы и формы. Среди них могут быть, например, как испарение и сублимация, так и налипание пыли (см., например, [17]). Общие подходы к исследованию таких систем предложены в работе [18] (см. также [19]).

5. Выводы. Среди систем с изменением распределения масс надо прежде всего выделить так называемые подобно-деформируемые тела, исследование движения которых восходит к публикации Д.Н. Зейлигера [20]. Эти исследования, продолженные Н.Г. Четаевым [21] (см. также [22]), получили развитие в ряде работ, посвященных решению задач теории групп, дифференциальной геометрии и математической физики [23$–$26]. Примеры использования аффинно-деформируемых тел и особенности их динамики в задачах орбитальной динамики обсуждаются в работе [27].