Elastic-plastic analysis of a circular pipe turned inside out

1. Введение. Выворачивание наизнанку гиперупругой трубы $–$ одно из универсальных решений в нелинейной теории упругости [1$–$3], то есть решение этой задачи может быть построено для произвольного упругого потенциала несжимаемой среды. Упомянем здесь также исследование [4], в котором рассмотрено выворачивание полой упругой сферы. Ряд исследований посвящен проблеме свободно вывернутой трубы, то есть когда боковые поверхности трубы свободны от напряжений [5, 6]. Эти исследования обусловлены использованием деформации такого типа в различных энергетических демпферах и абсорберах. В частности, в работе [7] проведен анализ упруго-пластического деформирования тонкостенных труб при их выворачивании наизнанку в рамках деформационной теории пластичности Генки, основное внимание уделено определению необходимого для выворачивания осевого усилия.

Выворачивание труб (преимущественно из полимерных материалов) может служить для создания многослойных конструкций, когда внутри жесткой внешней трубы с той или иной целью создается покрытие (рис. 1).

Рис. 1. Выворачивание трубы в жесткой обойме.

В этом случае ключевыми характеристиками реализующегося напряженного состояния будет натяг между слоями конструкции (величина радиального напряжения на контактной границе), а также величина тангенциального напряжения на внутренней (свободной) поверхности вывернутой трубы, поскольку считается, что создание значительных сжимающих тангенциальных напряжений положительно сказывается на эксплуатации труб под давлением [8].

Нетрудно понять, что максимальная величина тангенциального напряжения на свободной поверхности ограничена пределом текучести материала. То есть максимальный эффект от создания сжимающих тангенциальных напряжений достигается в случае пластического деформирования материала. Этой задаче и посвящено представленное исследование.

2. Модель материала. Мы рассматриваем два варианта задания упругих соотношений материала: один с использованием модели обобщенного неогуковского материала, когда упругий потенциал есть функция только первого инварианта левого тензора (упругой) деформации Коши$–$Грина B^e == (F^e)(F^e)^T, F^e есть упругая часть градиента деформации F; второй с использованием обобщений несжимаемого материала Генки, когда упругий потенциал есть функция только второго инварианта тензора (упругой) деформации Генки h^e = ln(B^e)^1/2. Здесь везде индекс “e” означает “упругую часть” соответствующего тензора (подробнее о разделении деформации на упругую и пластическую составляющие см. раздел 6; здесь укажем только, что упругая часть деформации должна совпадать с полной при отсутствии пластического течения). Для инвариантов тензоров подразумеваются определения I₁(A) = tr A, 2I₂(A) = tr²A $–$ tr A².

Итак, упругий закон несжимаемого изотропного тела задан в виде:

$s=-pI+2\frac{\partial W}{\partial B^e}{B}^e=-pI+2w_B{B}^e,$                                                                            (2.1)

где $W=W\left(I_1\left(B^e\right)\right)$ есть упругий потенциал (удельная по массе свободная энергия Гельмгольца), $w_B=w_B\left(I_1\left(B^e\right)\right)=dW/d{I}_1\left(B^e\right)>0$; или же в виде:

$s=-pI+\frac{\partial W}{\partial h^e}=-pI-w_h{h}^e,$                                                                                       (2.2)

где есть упругий потенциал, $w_h=w_h\left(I_2\left(h^e\right)\right)=dW/d{I}_2\left(h^e\right)<0$. В формулах выше p есть скалярная функция добавочного гидростатического давления, обусловленная ограничением несжимаемости материала. При отсутствии деформации B^e = I, h^e = 0 и функция свободной энергии должна удовлетворять равенствам $W{|}_{B^e=I}=W(I_1(B^e){|}_{B^e=I})=W(3)=0$ или $W{|}_h{{}_e}_{=0}=W\left(I_2\left(h^e\right){|}_h{{}_e}_{=0}\right)=W\left(0\right)=0$. Рассматриваются только упругие потенциалы, представляющие собой функции тензоров обратимых деформаций. Независимость свободной энергии от пластической деформации является распространенным допущением для изотропных пластически несжимаемых материалов [9$–$12].

Пластическое течение в материале связывается с выполнением условия Треска:

${\sigma }_1-{\sigma }_3=2{\tau }_s$

где σ₁ и σ₃ есть наибольшее и наименьшее главные напряжения, τ_s – предел текучести материала на сдвиг.

3. Кинематика выворачивания круговой трубы в условиях плоской деформации. С точностью до жестких вращений связь координат материальных точек в начальном состоянии R, θ, Z с координатами в актуальном (деформированном) состоянии r, φ, z есть [2, 3, 6, 7]:

$R=R\left(r\right)$, $\theta =\phi$, $Z=z$,

т.е. подразумевается, что цилиндрическая труба вывернута так, что ее длина осталась неизменной за счет внешних ограничений; при свободном выворачивании происходит увеличение длины трубы вместе с утоньшением стенки и увеличением ее внутреннего диаметра [6]). Задачи о радиальной деформации цилиндрического или сферического слоя –  одни из наиболее простых среди упруго-пластических задач и часто имеют замкнутое решение даже в нелинейной постановке [13 – 16].

Итак, указанная кинематика приводит к тому, что тензора деформации диагональные; ненулевые компоненты левого тензора Коши – Грина B = FF^T есть

$B_{rr}={\left(R^{\prime }\right)}^{-2},$ $B_{\phi \phi }={\left(\frac{R}{r}\right)}^{-2},$ $B_{zz}=\mathrm{1,}$                                                                               (3.1)

а логарифмического тензора Генки h = ln B^1/2

$h_{rr}=-\ln \left|R^{\prime }\right|,$$h_{\phi \phi }=-\ln \frac{R}{r},$$h_{zz}=\mathrm{0,}$                                                                                   (3.2)

здесь R' = dR/dr. Условие несжимаемости tr h = 0 или det B = 1 приводит к дифференциальному уравнению $R^{\prime }(R/r)=-\mathrm{1,}$, откуда R = (k $–$ r ²)^1/2, где константа k = a² + b² удовлетворяет кинематическим граничным условиям R(a) = b, R(b) = a (см. рис. 2).

Рис. 2. Расчетная область (вывернутая труба).

Введем замену переменных:

$x=\frac{2r^2}{a^2+b^2}-\mathrm{1,}$ $r=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}\left(1+x\right)},$ $-1<-\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\le x\le \frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}<1.$                            (3.3)

Тогда

$R=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}\left(1-x\right)},$ $\frac{R}{r}=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ и $R^{\prime }=-\frac{r}{R}=-\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.$                                              (3.4)

Инварианты тензоров деформации в новых обозначениях:

$I_1\left(B\right)={\left(R^{\prime }\right)}^{-2}+{\left(\frac{R}{r}\right)}^{-2}\text{}+1=\frac{1-x}{1+x}+\frac{1+x}{1-x}+\mathrm{1,}$                                                                    (3.5)

$I_2\left(h\right)=-\frac{1}{2}\left({\ln }^2\left|R^{\prime }\right|+{\ln }^2\frac{R}{r}\right)=-\frac{1}{4}{\ln }^2\frac{1-x}{1+x}$.

4. Интегрирование уравнений. 4.1. Упругое ядро. В области $r\in \left(r_1{}^{ep},r_2{}^{ep}\right)$ (см. рис. 2) нет пластического течения, тензоры полных и упругих деформаций тождественны, h^e = h, B^e = B. С учетом замены (3.3) правило дифференцирования сложных функций дает:

$\frac{d}{dr}=\frac{dx}{dr}\frac{d}{dx}=2\sqrt{\frac{2\left(1+x\right)}{a^2+b^2}}\frac{d}{dx}$.

Тогда уравнение равновесия r(ds_rr /dr) + σ_rr $–$ σ_$\phi$$\phi$ = 0 принимает вид:

$2\left(1+x\right)\frac{d{\sigma }_{rr}}{dx}=-\left({\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi }\right).$                                                                                                   (4.1)

Разность координатных напряжений может быть выражена как

${\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi }=2w_B\cdot \left(B_{rr}^e-B_{\phi \phi }^e\right)$

в случае использования упругого закона (2.1); или

${\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi }=-w_h\cdot (h_{rr}^e-h_{\phi \phi }^e),$

если используется упругий закон (2.2).

Или же с учетом равенств (3.1), (3.2), (3.4):

$–$ для упругого закона (2.1) ${\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi }=2w_B\cdot \left[\frac{1-x}{1+x}-\frac{1+x}{1-x}\right]$,

$–$ для упругого закона (2.2) ${\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi }=-w_h\ln \frac{1-x}{1+x}$.

Интегрируя уравнение равновесия в упругой области $r\in \left(r_1^{ep},r_2^{ep}\right)$:

$–$ для упругого закона (2.1)

${\sigma }_{rr}={\displaystyle \underset{x_1^{ep}}{\overset{x}{\int }}\frac{w_B\left(\xi \right)}{1+\xi }\left(\frac{1+\xi }{1-\xi }-\frac{1-\xi }{1+\xi }\right)d\xi }+C,$                                                                                      (4.2)

$–$ для упругого закона (2.2)

${\sigma }_{rr}={\displaystyle \underset{x_1^{ep}}{\overset{x}{\int }}\frac{w_h\left(\xi \right)}{2\left(1+\xi \right)}\ln \frac{1-\xi }{1+\xi }d\xi }+C,$                                                                                                 (4.3)

где x₁^ep = 2(r₁^ep)²/(a² + b²) $–$ 1, константа интегрирования C определяется из условия непрерывности радиального напряжения на упруго-пластической границе $r=r_1{}^{ep}$; w_B(x) и w_h(x), как указано ранее, есть функции инвариантов

$I_1\left(B^e\right)=\frac{1-x}{1+x}+\frac{1+x}{1-x}+1$ и $I_2\left(h^e\right)=-\frac{1}{4}{\ln }^2\frac{1-x}{1+x}$ соответственно.

4.2. Внутренняя пластическая область $r\in \left[a,r_1{}^{ep}\right]$. Здесь условие пластичности Треска выполняется в виде σ_rr $–$ σ_$\phi$$\phi$ = 2τ_s, следовательно, радиальное напряжение в этой области, удовлетворяющее уравнению равновесия (4.1) с граничным условием

${\left.{\sigma }_{rr}\right|}_{x=-\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}}=\mathrm{0,}$

имеет выражение

${\sigma }_{rr}=-{\tau }_s\ln \frac{(1+x)(a^2+b^2)}{2a^2}.$

Тогда константа интегрирования в формулах (4.2), (4.3) есть $C=-{\tau }_s\ln \left[\left(1+x_1^{ep}\right)\left(a^2+b^2\right)/\left(2a^2\right)\right]$.

4.3. Внешняя пластическая область $r\in \left[r_1{}^{ep},b\right]$. Здесь условие пластичности Треска выполняется в виде σ_rr $–$ σ_$\phi$$\phi$ = $–$2τ_s. Уравнение равновесия (4.1) интегрируется в виде:

${\sigma }_{rr}={\tau }_s\ln \left(1+x\right)+K.$                                                                                                        (4.4)

Константа интегрирования K обеспечивает непрерывность радиального напряжения на упруго-пластической границе $r =r_2{}^{ep}$:

$K={\displaystyle \underset{x_1^{ep}}{\overset{x_2^{ep}}{\int }}\frac{w_B\left(\xi \right)}{1+\xi }\left(\frac{1+\xi }{1-\xi }-\frac{1-\xi }{1+\xi }\right)d\xi }-{\tau }_s\ln \frac{\left(1+x_1^{ep}\right)\left(1+x_2^{ep}\right)\left(a^2+b^2\right)}{2a^2}$                                (4.5)

для упругого закона (2.1) и

$K={\displaystyle \underset{x_1^{ep}}{\overset{x_2^{ep}}{\int }}\frac{w_h\left(\xi \right)}{2\left(1+\xi \right)}\ln \frac{1-\xi }{1+\xi }d\xi }-{\tau }_s\ln \frac{\left(1+x_1^{ep}\right)\left(1+x_2^{ep}\right)\left(a^2+b^2\right)}{2a^2}$                                          (4.6)

для упругого закона (2.2).

4.4. Положение упруго-пластических границ. Из упругого анализа в области $r\in \left(r_1{}^{ep},r_2{}^{ep}\right)$ имеем на упруго-пластических границах следующие равенства.

Для упругого закона (2.1):

${\left.\left({\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi }\right)\right|}_{r=r_1^{ep}}=2{\tau }_s=2{\left.w_B\right|}_{x=x_1^{ep}}\cdot \left[\frac{1-x_1^{ep}}{1+x_1^{ep}}-\frac{1+x_1^{ep}}{1-x_1^{ep}}\right],$

${\left.\left({\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi }\right)\right|}_{r=r_2^{ep}}=-2{\tau }_s=2{\left.w_B\right|}_{x=x_2^{ep}}\cdot \left[\frac{1-x_2^{ep}}{1+x_2^{ep}}-\frac{1+x_2^{ep}}{1-x_2^{ep}}\right].$                                               (4.7)

Для упругого закона (2.2):

${\left.({\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi })\right|}_{r=r_1^{ep}}=2{\tau }_s=-{\left.w_h\right|}_{x=x_1^{ep}}\ln \frac{1-x_1^{ep}}{1+x_1^{ep}},$

${\left.({\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi })\right|}_{r=r_2^{ep}}=-2{\tau }_s=-{\left.w_h\right|}_{x=x_2^{ep}}\ln \frac{1-x_2^{ep}}{1+x_2^{ep}}.$                                                                  (4.8)

Эти уравнения определяют значения $x_1^{{}^{ep}}$ и $x_2^{{}^{ep}}$  как функции от механических параметров материала. Из (4.7), (4.8) следует, что $x_1^{{}^{ep}}$ = $–$$x_2^{{}^{ep}}$ < 0.

Если по (4.7), (4.8) оказывается, что

$x_2^{ep}\ge \frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}=\frac{1-{\delta }^2}{1+{\delta }^2},$                                                                                                             (4.9)

то упругое ядро занимает всю толщину трубы, которая после выворачивания деформирована чисто упруго. Безразмерная ширина упругой области определяется как

$\frac{r_2^{ep}-r_1^{ep}}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{\frac{1+x_2^{ep}}{2}}-\sqrt{\frac{1+x_1^{ep}}{2}}=\sqrt{\frac{1+x_2^{ep}}{2}}-\sqrt{\frac{1-x_2^{ep}}{2}}.$

Из (4.7), (4.8) следует, что ширина упругой зоны ненулевая, то есть упругое ядро всегда присутствует в вывернутой трубе. Это отличает представленную постановку задачи от исследования [7], которое подразумевает, что труба целиком находится в пластическом состоянии.

Таким образом, по (4.4)$–$(4.6) натяг $–$σ_rr(b)/τ_s можно представить в виде суммы двух функций, одна из которых S_g зависит только от геометрической характеристики вывернутой трубы $–$ соотношения ее диаметров δ = a/b < 1, вторая, S_m $–$ только от механических характеристик материала:

$-{\sigma }_{rr}\left(b\right)/{\tau }_s=S_g+S_m,$

где $S_g\left(\delta \right)=2\ln \frac{\delta +{\delta }^{-1}}{2}>0$ и

$\begin{array}{c}{S}_m=\ln \left[\left(1+x_1^{ep}\right)\left(1+x_2^{ep}\right)\right]+{\displaystyle \underset{x_1^{ep}}{\overset{x_2^{ep}}{\int }}\frac{w_B\left(\xi \right)}{{\tau }_s}\left(\frac{1-\xi }{1+\xi }-\frac{1+\xi }{1-\xi }\right)\frac{d\xi }{1+\xi }}=\\ =\ln \left[1-{\left(x_2^{ep}\right)}^2\right]+{\displaystyle \underset{0}{\overset{x_2^{ep}}{\int }}\left[\frac{w_B\left(-\xi \right)}{1-\xi }-\frac{w_B\left(\xi \right)}{1+\xi }\right]\left(\frac{1+\xi }{1-\xi }-\frac{1-\xi }{1+\xi }\right)\frac{d\xi }{{\tau }_s}}=\\ =\ln \left[1-{\left(x_2^{ep}\right)}^2\right]+8{\displaystyle \underset{0}{\overset{x_2^{ep}}{\int }}\frac{w_B\left(\xi \right)}{{\tau }_s}{\left(\frac{\xi }{1-{\xi }^2}\right)}^{2}d\xi }\end{array}$                                         (4.10)

для упругого закона (2.1),

$\begin{array}{c}{S}_m=\ln \left[\left(1+x_1^{ep}\right)\left(1+x_2^{ep}\right)\right]+\underset{x_1^{ep}}{\overset{x_2^{ep}}{\int }}\frac{-w_h\left(\xi \right)}{2{\tau }_s}\ln \frac{1-\xi }{1+\xi }\frac{d\xi }{1+\xi }=\\ =\ln \left[1-{\left(x_2^{ep}\right)}^2\right]+\underset{0}{\overset{x_2^{ep}}{\int }}\left[\frac{-w_h\left(-\xi \right)}{1-\xi }-\frac{-w_h\left(\xi \right)}{1+\xi }\right]\ln \frac{1+\xi }{1-\xi }\frac{d\xi }{2{\tau }_s}=\\ =\ln \left[1-{\left(x_2^{ep}\right)}^2\right]+\underset{0}{\overset{x_2^{ep}}{\int }}\frac{-w_h\left(\xi \right)}{{\tau }_s}\frac{\xi }{1-{\xi }^2}\ln \frac{1+\xi }{1-\xi }d\xi \end{array}$                                                 (4.11)

для упругого закона (2.2). Здесь, как уже упоминалось, w_B(x) и w_h(x) есть функции инвариантов

$I_1\left(B^e\right)=\frac{1-x}{1+x}+\frac{1+x}{1-x}+1$ и $I_2\left(h^e\right)=-\frac{1}{4}{\ln }^2\frac{1-x}{1+x}$

соответственно. В выражениях выше учтено, что $x_1{}^{ep}=–x_2{}^{ep}\le 0$ и указанные инварианты есть четные функции x.

5. Частные случаи. Введем механический параметр $\epsilon =t_s/\mu$, где μ $–$ нелинейный аналог модуля сдвига.

5.1. Несжимаемый материал Генки. Модель Генки задается упругим потенциалом:

$W=-2\mu I_2(h^e),$ $w_h=\frac{dW}{d{I}_2(h^e)}=-2\mu =\mathrm{const}.$

Уравнения (4.8) приводят к следующим выражениям: $x_2{}^{ep}=\left(1–e^{–\epsilon }\right)/\left(1+e^{–\epsilon }\right)$, $x_1{}^{ep}=–x_2{}^{ep}$. Ограничение (4.9) приводит к неравенству $\delta <{\delta }^{*}=e^{–\epsilon /2}$δ < δ^* = e^{$–$ ε/2}, при выполнении которого труба деформирована упругопластически. Безразмерная ширина упругой зоны:

$\frac{r_2^{ep}-r_1^{ep}}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1-e^{-\epsilon /2}}{\sqrt{1+e^{-\epsilon }}}$.

По (4.11):

$\begin{array}{c}{S}_m=-\epsilon -2\ln \frac{1+e^{-\epsilon }}{2}+\frac{2}{\epsilon }{\displaystyle \underset{0}{\overset{(1-e^{-\epsilon })/(1+e^{-\epsilon })}{\int }}\frac{\xi }{1-{\xi }^2}\ln \frac{1+\xi }{1-\xi }d\xi }=\\ =\ln 4-\frac{\epsilon }{2}-\frac{2}{\epsilon }\left[\frac{{\pi }^2}{12}+{\mathrm{Li}}_2(-e^{-\epsilon })\right]<\mathrm{0,}\end{array}$

где ${\mathrm{Li}}_2\left(\zeta \right)=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{\zeta }{\int }}\frac{\ln \left(1-t\right)}{t}dt}$.

5.2. Неогуковский материал. Модель неогуковского тела задается упругим потенциалом:

$W=\frac{\mu }{2}\left[I_1(B^e)-3\right],$ $w_B=\frac{dW}{d{I}_1(B^e)}=\frac{\mu }{2}=\mathrm{const}.$

Уравнения (4.7) приводят к следующим выражениям: $x_2^{ep}=\sqrt{1+{\epsilon }^{-2}}-{\epsilon }^{-1}\text{},$ $x_1^{ep}=-x_2^{ep}\text{}.$ Ограничение (4.9) приводит к неравенству $\delta <{\delta }^{*}=\sqrt{\sqrt{{\epsilon }^2+1}-\epsilon },$ при выполнении которого труба деформирована упругопластически. Безразмерная ширина упругой зоны:

$\frac{r_2^{ep}-r_1^{ep}}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{\frac{\epsilon -1+\sqrt{1+{\epsilon }^2}}{2\epsilon }}-\sqrt{\frac{\epsilon -\sqrt{1+{\epsilon }^2}+1}{2\epsilon }}.$

По (4.10):

$S_m=-\ln \frac{\sqrt{1+{\epsilon }^2}\text{}+1}{2}+\frac{4}{\epsilon }{\displaystyle \underset{0}{\overset{\sqrt{1+{\epsilon }^{-2}}-{\epsilon }^{-1}}{\int }}{\left(\frac{\xi }{1-{\xi }^2}\right)}^2\text{}d\xi }=1-\ln \frac{\sqrt{1+{\epsilon }^2}\text{}+1}{2}-{\epsilon }^{-1}\ln \left(\epsilon +\sqrt{1+{\epsilon }^2}\right)<0.$

5.3. Упругий материал Гента. Модель Гента [17] с упругим потенциалом

$W=-\frac{\mu }{2}{J}_m\ln \left(1-\frac{I_1(B^e)-3}{J_m}\right),$

где J_m = (I₁(B^e))_max – 3 есть константа материала, (I₁(B^e))_max есть предельное значение первого инварианта левого тензора Коши – Грина,

$w_B=\frac{dW}{d{I}_1(B^e)}=\frac{\mu }{2}\frac{J_m}{J_m-\left[I_1(B^e)-3\right]}$

описывает полимерные материалы с ограниченной растяжимостью полимерных цепей.

Уравнения (4.7) с учетом (3.5) приводят к следующим выражениям:

$x_2^{ep}=\frac{\sqrt{1+{\epsilon }^2\left(1+4/J_m\right)}-1}{\epsilon \left(1+4/J_m\right)}$, $x_1^{ep}=-x_2^{ep}.$   (5.1)

Ограничение (4.9) приводит к неравенству

$\delta <{\delta }^{*}=\sqrt{\frac{\left(1+4/J_m\right)\epsilon +1-\sqrt{\left(1+4/J_m\right){\epsilon }^2+1}}{\left(1+4/J_m\right)\epsilon -1+\sqrt{\left(1+4/J_m\right){\epsilon }^2+1}}}$,

при выполнении которого труба деформирована упругопластически. При $j_m\to \infty$ это неравенство совпадает с неравенством, полученным для неогуковского материала $\delta <{\delta }^{*}=\sqrt{\sqrt{{\epsilon }^2+1}-\epsilon }.$

Формула (4.10) с учетом (3.5) дает:

$\begin{array}{c}{S}_m=\ln \left[1-{\left(x_2^{ep}\right)}^2\right]+\frac{4}{\epsilon }{\displaystyle \underset{0}{\overset{x_2^{ep}}{\int }}\frac{{\xi }^2}{1-{\xi }^2}\frac{d\xi }{1-\left(1+4/J_m\right){\xi }^2}}=\\ =\ln \left[1-{\left(x_2^{ep}\right)}^2\right]+\frac{J_m}{\epsilon }\left[\frac{\text{arth}\left(x_2^{ep}\sqrt{1+4/J_m}\right)}{\sqrt{1+4/J_m}}+\frac{1}{2}\ln \frac{1-x_2^{ep}}{1+x_2^{ep}}\right].\end{array}$

Здесь $x_2^{ep}$ определяется по формуле (5.1).

Рис. 3. Предельная величина геометрического параметра для упругих моделей Генки, неогуковского тела и Гента: если δ = a/b > δ*, то вывернутая труба деформирована упруго, если δ = a/b < δ*, то упруго-пластически.

На рис. 3 представлены графики δ^*(e) для всех трех моделей. При δ ≥ δ^* вывернутая труба деформирована чисто упруго, при δ < δ^* – упругопластически.

Безразмерная ширина упругой области приведена на рис. 4 как функция от механического параметра $\epsilon ={\tau }_s/\mu$. Чем шире диапазон упругих деформаций материала (т.е. чем выше $\epsilon ={\tau }_s/\mu$, тем шире упругая область в вывернутой трубе и меньше натяг. Предельная величина натяга при $\epsilon \to 0$ (т.е. $\epsilon \to 0$ ) есть $-\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\sigma }_{rr}(b)/{\tau }_s=S_g,$ что совпадает с решением для жестко-пластического материала.

Рис. 4. Ширина упругой зоны.

Действительно, в вывернутой трубе из жестко-пластического материа ла в области $r\in \left[a,\left(a^2+b^2\right)/2\right]{\sigma }_{rr}–{\sigma }_{\phi \phi }=2{\tau }_s$, а в области $r\in \left[\left(a^2+b^2\right)/\mathrm{2,}b\right]{\sigma }_{rr}–{\sigma }_{\phi \phi }=2{\tau }_s$; интегрируя уравнение равновесия с учетом непрерывности σ_rr на границе между областями, имеем:

${\sigma }_{rr}\left(b\right)=-2{\tau }_s\ln \left[\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\right]=-2{\tau }_s\ln \frac{\delta +{\delta }^{-1}}{2}$.

Для материала Гента, чем выше ограничение растяжимости полимерных цепей (т.е., чем ниже параметр модели J_m), тем меньше упругая область в вывернутой трубе и тем выше натяг при одной и той же величине параметра ε = τ_s /μ.

Рис. 5. Величина натяга есть сумма “геометрического” и “механического” слагаемых - σ_rr(b)/τ_s = S_g + S_m; S_m = S_m(ε), ε = τ_s /μ, S_g = S_g(δ), δ = a/b.

На рис. 5 представлены графики функций S_g = S_g(d) и S_m= S_m(ε), в сумме составляющих натяг между вывернутой трубой и обоймой.

6. Учет изотропного деформационного упрочнения материала в пластических областях. Зависимость предела текучести от накопленной пластической деформации может существенно сказываться на напряженном состоянии, особенно при больших деформациях. Корректный подход к учету эффекта упрочнения подразумевает введение в модель законов упрочнения вида τ_s = τ_s(q), основанных на параметре накопленной пластической деформации q, который определяется интегрированием дифференциального уравнения $\dot{q}=\sqrt{\left(2/3\right)\mathrm{tr}{(D^p)}^2}$ по всему пути деформирования. Здесь точка над символом означает материальную производную по времени, D^p $–$ тензор скорости пластической деформации.

В представленной задаче путь деформирования, приводящий к выворачиванию трубы, как и в соответствующей задаче нелинейной теории упругости, остается вне рассмотрения. Мы имеем дело только с начальным и конечным положением точек материала в пространстве. Для учета эффектов упрочнения в этом случае можно использовать вместо накопленной пластической деформации параметр интенсивности пластической деформации [7], который может быть введен, например, определением h_int = ( $h_1^p$ $–$ $h_3^p$ )/2, где $h_1^p$ и $h_3^p$ $–$ наибольшее и наименьшее собственные значения логарифмического тензора пластической деформации h^p.

Здесь требуется указать разделение деформаций на упругую и пластическую составляющие. Используя мультипликативное разложение градиента деформации F = F^eF ^p и учитывая, что все тензорные величины в рассматриваемой задаче диагональные, можно записать:

$B=F{F}^T=F^e{F}^p{\left(F^p\right)}^T{\left(F^e\right)}^T=F^e{\left(F^e\right)}^T{F}^p{\left(F^p\right)}^T\text{}=B^e{B}^p,$

$h=\ln B^{1/2}=\ln {\left(B^e\right)}^{1/2}\text{}+\ln {\left(B^p\right)}^{1/2}=h^e+h^p.$

Далее, поскольку мы используем пластический потенциал Треска, можно заключить, что осевая компонента скорости пластической деформации, соответствующая промежуточному главному напряжению, отсутствует, D^p_zz = 0, следовательно, h^p_zz = 0 и h^p_rr = $–$h^p_$\phi$$\phi$. Тогда h_int = $–$h^p_$\phi$$\phi$ > 0 во внутренней пластической области $r\in \left[r_2^{ep},b\right]$ и h_int = h^p_$\phi$$\phi$ > 0 во внешней пластической области $r\in \left[r_2^{ep},b\right]$. Приравнивая разницу главных напряжений, выраженную с использованием условия текучести и с использованием упругого закона (2.1), имеем:

$\begin{array}{c}{\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi }=\left\{\begin{array}{l}+2{\tau }_s\left(h_{\mathrm{int}}\right),r\in \left[a,r_1^{ep}\right]\\ -2{\tau }_s\left(h_{\mathrm{int}}\right),r\in \left[r_2^{ep},b\right]\end{array}\right.=\\ =-w_h\cdot \left(h_{rr}^e-h_{\phi \phi }^e\right)=2w_h{h}_{\phi \phi }^e=2w_h\cdot \left(h_{\phi \phi }-h_{\phi \phi }^p\right)=\\ =\left\{\begin{array}{l}+2w_h\cdot \left(h_{\mathrm{int}}-\frac{1}{2}\ln \frac{1-x}{1+x}\right),r\in \left[a,r_1^{ep}\right];\\ -2w_h\cdot \left(h_{\mathrm{int}}+\frac{1}{2}\ln \frac{1-x}{1+x}\right),r\in \left[r_2^{ep},b\right].\end{array}\right.\end{array}$                                                              (6.1)

Здесь

$w_h=w_h(I_2(h^e)),$

$\begin{array}{c}{I}_2\left(h^e\right)=-\left(1/2\right)\mathrm{tr}{h}^e{}^2=-{\left(h_{\phi \phi }^e\right)}^2=-{\left(h_{\phi \phi }-h_{\phi \phi }^p\right)}^2=\\ =\left\{\begin{array}{l}-{\left(h_{\mathrm{int}}-\frac{1}{2}\ln \frac{1-x}{1+x}\right)}^2,r\in \left[a,r_1^{ep}\right];\\ -{\left(h_{\mathrm{int}}+\frac{1}{2}\ln \frac{1-x}{1+x}\right)}^2,r\in \left[r_2^{ep},b\right].\end{array}\right.\end{array}$

Из (6.1) с учетом последних равенств можно выразить интенсивность пластической деформации h_int как функцию переменной x. И далее в обеих пластических областях можно проинтегрировать уравнения равновесия (4.1) и получить в конечном итоге искомый натяг. Интегрирование в упругой области, равно как и определение положения упруго-пластических границ, остаются такими же, как и в предыдущих разделах для идеально-пластического (неупрочняемого) материала.

В качестве примера рассмотрим несжимаемый материал, линейно-упрочняющийся в пластическом диапазоне с функцией упрочнения τ_s(h_int) = τ_s0(1 + ch_int), τ_s0 и χ $–$ материальные константы, и описывающийся законом Генки в упругом диапазоне. По (6.1) с w_h = – 2μ имеем:

$h_{\mathrm{int}}=\left\{\begin{array}{l}\frac{\ln \left[\left(1-x\right)/\left(1+x\right)\right]-{\tau }_{s0}/\mu }{2+\chi {\tau }_{s0}/\mu },r\in \left[a,r_1^{ep}\right],\\ \frac{\ln \left[\left(1+x\right)/\left(1-x\right)\right]-{\tau }_{s0}/\mu }{2+\chi {\tau }_{s0}/\mu },r\in \left[r_2^{ep},b\right].\end{array}\right.$

Отсюда следует, что интенсивность пластической деформации максимальна на боковых поверхностях трубы при

$x=\pm \frac{1-{\delta }^2}{1+{\delta }^2}$, а именно $h_{\mathrm{int}}^{\max }=\frac{2\mu \ln {\delta }^{-1}-{\tau }_{s0}}{2\mu +\chi {\tau }_{s0}}$.

Уравнение равновесия в пластических областях:

$2\left(1+x\right)\frac{d{\sigma }_{rr}}{dx}=\left\{\begin{array}{l}-2{\tau }_{s0}\left(1+\chi \frac{\ln \left[\left(1-x\right)/\left(1+x\right)\right]-{\tau }_{s0}/\mu }{2+\chi {\tau }_{s0}/\mu }\right),r\in \left[a,r_1^{ep}\right],\\ +2{\tau }_{s0}\left(1+\chi \frac{\ln \left[\left(1+x\right)/\left(1-x\right)\right]-{\tau }_{s0}/\mu }{2+\chi {\tau }_{s0}/\mu }\right),r\in \left[r_2^{ep},b\right].\end{array}\right.$

Интегрируя уравнение равновесия по всей расчетной области, можно получить величину натяга:

$-\frac{{\left.{\sigma }_{rr}\right|}_{r=b}}{{\tau }_{s0}}=\frac{S_g+S_m-\chi \Phi }{1+\chi \epsilon /2}$,

$S_g\left(\delta \right)=2\ln \frac{\delta +{\delta }^{-1}}{2}>\mathrm{0,}$$S_m\left(\epsilon \right)=\ln 4-\frac{\epsilon }{2}-\frac{2}{\epsilon }\left[\frac{{\pi }^2}{12}+{\mathrm{Li}}_2\left(-e^{-\epsilon }\right)\right]<\mathrm{0,}$

$\Phi \left(\delta \right)={\mathrm{Li}}_2\frac{1}{1+{\delta }^2}-\frac{{\pi }^2}{12}-{\ln }^2\delta +\frac{1}{2}{\ln }^2\left(1+{\delta }^2\right)<0$.

При χ = 0 это выражение совпадает с результатом предыдущего раздела для неупрочняющегося материала ${\left.-{\sigma }_{rr}\right|}_{r=b}/{\tau }_{s0}=S_g+S_m$, а при $\epsilon \to 0\left(\mu \to \infty \right)$ можно получить с помощью правила Лопиталя выражение натяга $-\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\left.{\sigma }_{rr}\right|}_{r=b}/{\tau }_{s0}=S_g-\chi \Phi ,$ который соответствует жестко-пластическому материалу. Увеличение параметра упрочнения ведет к увеличению натяга.

Исследование выполнено в рамках государственного задания ИМиМ ДВО РАН.