On the interaction of a system with multifrequency oscillations with a chaotic generator

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The purpose of the work: to study the influence of the dynamics of a chaotic system on a system with multi-frequency quasi-periodicity and the Landau-Hopf scenario. The Kislov-Dmitriev chaotic system and an ensemble of van der Pol oscillators with non-identical excitation parameters are chosen as the object of study. Methods. The analysis was carried out using graphs of Lyapunov exponents and the criterion for identifying types of quasiperiodic bifurcations based on them. Results. Scenarios of the changing of the regime’s types are presented as the coupling parameter between the subsystems decreased. They may have certain features. Thus, the transition from a three-frequency to a four-frequency regime occurs not through a quasiperiodic Hopf bifurcation, but through a chaos window. The latter is characterized by three or four zero Lyapunov exponents. Inside this chaotic window, a peculiar bifurcation is possible. It is corresponding to an increase in the number of zero Lyapunov exponents according to the type of a saddle-node Hopf bifurcation. Chaos with a different number of zero exponents is observed as the coupling parameter of van der Pol oscillators varied. In this case, a cascade of points corresponding to a step-by-step increase in the number of zero exponents occurs according to a different scenario. It is to a certain extent similar to a quasiperiodic Hopf bifurcation. When the control parameter When the control parameter of the Kislov-Dmitriev system increases, hyperchaos with three zero Lyapunov exponents may appear in the combined system. An inverted order of changing modes is also possible. In this case, for example, a three-frequency regime turns into a four-frequency regime through a chaotic window. Conclusion. The obtained results expand conception about high-dimensional chaos with several zero Lyapunov exponents and its transformations with parameter changes.  

About the authors

Aleksandr Petrovich Kuznetsov

Saratov Branch of Kotel`nikov Institute of Radiophysics and Electronics of Russian Academy of Sciences

ORCID iD: 0000-0001-5528-1979
SPIN-code: 8834-7169
Scopus Author ID: 56265919800
ResearcherId: ABT-4026-2022
ul. Zelyonaya, 38, Saratov, 410019, Russia

Lyudmila Vladimirovna Turukina

Saratov State University; Saratov Branch of Kotel`nikov Institute of Radiophysics and Electronics of Russian Academy of Sciences

ORCID iD: 0000-0002-4221-8900
SPIN-code: 8109-8487
Scopus Author ID: 6506227030
ResearcherId: E-3581-2013
ul. Astrakhanskaya, 83, Saratov, 410012, Russia

References

  1. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Science. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. 411 р doi: 10.1017/CBO9780511755743.
  2. Ланда П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: ЛИБРОКОМ, 2010. 360 с.
  3. Balanov A. G., Janson N. B., Postnov D. E., Sosnovtseva O. V. Synchronization: From Simple to Complex. Berlin: Springer, 2009. 425 р doi: 10.1007/978-3-540-72128-4.
  4. Кузнецов А. П., Емельянова Ю. П., Сатаев И. Р., Тюрюкина Л. В. Синхронизация в задачах. Саратов: Наука, 2010. 256 с.
  5. Kuznetsov Y u.,A. Elements of Applied Bifurcation Theory. Cham: Springer, 2023. 703 р doi: 10.1007/978-3-031-22007-4.
  6. Kuznetsov Y u.,A., Meijer H. G.,E. Numerical Bifurcation Analysis of Maps: From Theory to Software. Cambridge: Cambridge University Press, 2019. 420 р doi: 10.1017/9781108585804.
  7. Chen X., Qian S., Yu F., Zhang Z., Shen H., Huangа Y., Cai S., Deng Z., Li Y., Du S. Pseudorandom number generator based on three kinds of four-wing memristive hyperchaotic system and its application in image encryption // Complexity. 2020. Vol. 2020, no. 7. P. 8274685. 10.1155/2020/827468510.1155/2020/8274685.
  8. Přibylová L., Ševčík J., Eclerová V., Klimeš P., Brázdil M., Meijer H. G. Weak coupling of neurons enables very high-frequency and ultra-fast oscillations through the interplay of synchronized phase shifts // Netw. Neurosci. 2024. Vol. 8, no. 1. P. 293-318 doi: 10.1162/netn_a_00351.
  9. Bucolo M., Buscarino A., Fortuna L., Gagliano S. Multidimensional discrete chaotic maps // Front. Phys. 2022. Vol. 10. P. 862376 doi: 10.3389/fphy.2022.862376.
  10. Kopp M. New 7D and memristor-based 8D chaotic systems: Computer modeling and circuit implementation // Journal of Telecommunication, Electronic and Computer Engineering. 2024. Vol. 16, no. 1. P. 13-23 doi: 10.54554/jtec.2024.16.01.003.
  11. Курбако А. В., Пономаренко В. И., Прохоров М. Д. Адаптивное управление несинхронными колебаниями в сети идентичных электронных нейроподобных генераторов // Письма в ЖТФ. 2022. Т. 48, № 19. С. 43-46 doi: 10.21883/PJTF.2022.19.53596.19328.
  12. Корнеев И. А., Слепнев А. В., Семенов В. В., Вадивасова Т. Е. Волновые процессы в кольце мемристивно связанных автогенераторов // Известия вузов. ПНД. 2020. Т. 28, № 3. С. 324-340 doi: 10.18500/0869-6632-2020-28-3-324-340.
  13. Singhal B., Kiss I. Z., Li J. S. Optimal phase-selective entrainment of heterogeneous oscillator ensembles // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 2023. Vol. 22, no. 3. P. 2180-2205. 10.1137/22M152120110.1137/22M1521201.
  14. Mircheski P., Zhu J., Nakao H. Phase-amplitude reduction and optimal phase locking of collectively oscillating networks // Chaos. 2023. Vol. 33, no. 10. P. 103111 doi: 10.1063/5.0161119.
  15. Ландау Л. Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР. 1944. Т. 44, № 8. С. 339-342.
  16. Hopf E. A mathematical example displaying features of turbulence // Comm. Pure Appl. Math. 1948. Vol. 1. P. 303-322.
  17. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Commun. Math. Phys. 1971. Vol. 20. P. 167-192 doi: 10.1007/BF01646553.
  18. Anishchenko V., Nikolaev S., Kurths J. Winding number locking on a two-dimensional torus: Synchronization of quasiperiodic motions // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73, no. 5. P. 056202. . 1 doi: 10.1103/PhysRevE.73.056202.
  19. Anishchenko V. S., Nikolaev S. M. Transition to chaos from quasiperiodic motions on a four-dimensional torus perturbed by external noise // Int. J. Bifurc. Chaos. 2008. Vol. 18, no. 9. P. 2733-2741 doi: 10.1142/S0218127408021956.
  20. Анищенко В. С., Николаев С. М. Устойчивость, синхронизация и разрушение квазипериодических колебаний // Нелинейная динамика. 2006. Т. 2, № 3. С. 267-278 doi: 10.20537/nd0603001.
  21. Emelianova Y. P., Kuznetsov A. P., Sataev I. R., Turukina L. V. Synchronization and multi-frequency oscillations in the low-dimensional chain of the self-oscillators // Physica D. 2013. Vol. 244, no. 1. P. 36-49 doi: 10.1016/j.physd.2012.10.012.
  22. Stankevich N. V., Kuznetsov A. P., Seleznev E. P. Chaos and hyperchaos arising from the destruction of multifrequency tori // Chaos, Solitons & Fractals. 2021. Vol. 147. P. 110998. 10.1016/j.chaos.2021.11099810.1016/j.chaos.2021.110998.
  23. Kuznetsov A. P., Sataev I. R., Sedova Y. V. Dynamics of three and four non-identical Josephson junctions // Journal of Applied Nonlinear Dynamics. 2018. Vol. 7, no. 1. P. 105-110. 10.5890/JAND.2018.03.00910.5890/JAND.2018.03.009.
  24. Кузнецов A. П., Седова Ю. В., Станкевич Н. В. Различные режимы трех связанных генераторов, способных демонстрировать квазипериодические колебания // Письма в ЖТФ. 2022. Т. 48, № 24. С. 19-22 doi: 10.21883/PJTF.2022.24.54018.19296.
  25. Hidaka S., Inaba N., Sekikawa M., Endo T. Bifurcation analysis of four-frequency quasi-periodic oscillations in a three-coupled delayed logistic map // Phys. Lett. A. 2015. Vol. 379, no. 7. P. 664-668 doi: 10.1016/j.physleta.2014.12.022.
  26. Hidaka S., Inaba N., Kamiyama K., Sekikawa M., Endo T. Bifurcation structure of an invariant three-torus and its computational sensitivity generated in a three-coupled delayed logistic map // IEICE Nonlin. Th. Appl. 2015. Vol. 6, no. 3. P. 433-442 doi: 10.1587/nolta.6.433.
  27. Kuznetsov A. P., Sedova Y. V., Stankevich N. V. Discrete Rössler oscillators: Maps and their ensembles // Int. J. Bifurc. Chaos. 2023. Vol. 33, no. 15. P. 2330037. 10.1142/S021812742330037910.1142/S0218127423300379.
  28. Borkowski L., Stefanski A. Stability of the 3-torus solution in a ring of coupled Duffing oscillators // Eur. Phys. J. Spec. Top. 2020. Vol. 229, no. 12. P. 2249-2259 doi: 10.1140/epjst/e2020-900276-4.
  29. Evstigneev N. M. Laminar-turbulent bifurcation scenario in 3D Rayleigh-Benard convection problem // Open Journal of Fluid Dynamics. 2016. Vol. 6, no. 4. P. 496-539. 10.4236/ojfd.2016.6403510.4236/ojfd.2016.64035.
  30. Nosov V. V., Grigoriev V. M., Kovadlo P. G., Lukin V. P., Nosov E. V., Torgaev A. V. Astroclimate of specialized stations of the Large solar vacuum telescope: Part II // In: Proceedings Fourteenth International Symposium on Atmospheric and Ocean Optics/Atmospheric Physics. SPIE, 2008. Vol. 6936. P. 181-192 doi: 10.1117/12.783159.
  31. Herrero R., Farjas J., Pi F., Orriols G. Nonlinear complexification of periodic orbits in the generalized Landau scenario // Chaos. 2022. Vol. 32, no. 2. P. 023116. . .97 doi: 10.1063/5.0069878.
  32. Krysko A. V., Awrejcewicz J., Papkova I. V., Krysko V. A. Routes to chaos in continuous mechanical systems: Part 2. Modelling transitions from regular to chaotic dynamics // Chaos, Solitons & Fractals. 2012. Vol. 45, no. 6. P. 709-720 doi: 10.1016/j.chaos.2012.02.001.
  33. Awrejcewicz J., Krysko V. A. Scenarios of Transition from Harmonic to Chaotic Motion // In: Chaos in Structural Mechanics. Berlin: Springer, 2008. P. 225-233 doi: 10.1007/978-3-540-77676-5_10.
  34. Kuznetsov A. P., Kuznetsov S. P., Sataev I. R., Turukina L. V. About Landau–Hopf scenario in a system of coupled self-oscillators // Phys. Lett. A. 2013. Vol. 377, no. 45-48. P. 3291-3295 doi: 10.1016/j.physleta.2013.10.013.
  35. Kulikov A. N. Landau-Hopf scenario of passage to turbulence in some problems of elastic stability theory // Diff. Equat. 2012. Vol. 48. P. 1258-1271 doi: 10.1134/S0012266112090066.
  36. Kulikov A. N., Kulikov D. A. A possibility of realizing the Landau—Hopf scenario in the problem of tube oscillations under the action of a fluid flow // Theor. Math. Phys. 2020. Vol. 203, no. 1. P. 501-511 doi: 10.1134/S0040577920040066.
  37. Kulikov A. N. Bifurcations of invariant tori in second-order quasilinear evolution equations in Hilbert spaces and scenarios of transition to turbulence // J. Math. Sci. 2022. Vol. 262, no. 6. P. 809-816 doi: 10.1007/s10958-022-05859-z.
  38. Kuznetsov A. P., Sedova Y. V., Stankevich N. V. Coupled systems with quasi-periodic and chaotic dynamics // Chaos, Solitons & Fractals. 2023. Vol. 169. P. 113278. 10.1016/j.chaos.2023.11327810.1016/j.chaos.2023.113278.
  39. Кузнецов А. П., Седова Ю. В. Динамика связанных квазипериодического генератора и системы Ресслера // Письма в ЖТФ. 2023. Т. 49, № 2. С. 17-20. 10.21883/PJTF.2023.02.54280.1928910.21883/PJTF.2023.02.54280.19289.
  40. Kuznetsov A. P., Turukina L. V. About the chaos influence on a system with multi-frequency quasi-periodicity and the Landau-Hopf scenario // Physica D. 2024. Vol. 470B. P. 134425 doi: 10.1016/j.physd.2024.134425.
  41. Дмитриев А. С., Кислов В. Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. 277 с.
  42. Дмитриев А. С. Сорок лет модели кольцевого генератора Дмитриева-Кислова // Известия вузов. ПНД. 2024. Т. 32, № 4. С. 423-427 doi: 10.18500/0869-6632-003119.
  43. Кузнецов С. П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. 295 с.
  44. Дмитриев А., Ефремова Е., Максимов Н., Панас А. Генерация хаоса. М.: Техносфера, 2012. 424 с.
  45. Емельянова Ю. П., Кузнецов A. П. Синхронизация связанных автогенераторов Ван-дер-Поля и Кислова-Дмитриева // ЖТФ. 2011. Т. 81, № 4. С. 7-14.
  46. Vitolo R., Broer H., Simó C. Quasi-periodic bifurcations of invariant circles in low-dimensional dissipative dynamical systems // Regul. Chaot. Dyn. 2011. Vol. 16. P. 154-184. 10.1134/S156035471101006010.1134/S1560354711010060.
  47. Broer H., Vitolo R., Simó C. Quasi-periodic Hénon-like attractors in the Lorenz-84 climate model with seasonal forcing // In: EQUADIFF 2003. 22-26 July 2003, Hasselt, Belgium. 2005.P. 601-607 doi: 10.1142/9789812702067_0100.
  48. Broer H., Simó C., Vitolo R. Bifurcations and strange attractors in the Lorenz-84 climate model with seasonal forcing // Nonlinearity. 2002. Vol. 15, no. 4. P. 1205-1267 doi: 10.1088/0951-7715/15/4/312.
  49. Broer H. W., Simó C., Vitolo R. Chaos and quasi-periodicity in diffeomorphisms of the solid torus // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2010. Vol. 14, no. 3. P. 871-905. 10.3934/dcdsb.2010.14.87110.3934/dcdsb.2010.14.871.
  50. Попова Е. С., Станкевич Н. В., Кузнецов А. П. Каскад бифуркаций удвоения инвариантной кривой и квазипериодический аттрактор Эно в дискретной модели Лоренца-84 // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Физика. 2020. Т. 20, № 3. С. 222-232. . 1.01 doi: 10.18500/1817-3020-2020-20-3-222-232.
  51. Stankevich N. V., Shchegoleva N. A., Sataev I. R., Kuznetsov A. P. Three-dimensional torus break-down and chaos with two zero Lyapunov exponents in coupled radio-physical generators // J. Comput. Nonlinear Dynam. 2020. Vol. 15, no. 11. P. 111001 doi: 10.1115/1.4048025.
  52. Grines E. A., Kazakov A., Sataev I. R. On the origin of chaotic attractors with two zero Lyapunov exponents in a system of five biharmonically coupled phase oscillators // Chaos. 2022. Vol. 32, no. 9. P. 093105 doi: 10.1063/5.0098163.
  53. Garashchuk I., Kazakov A., Sinelshchikov D. Scenarios for the appearance of strange attractors in a model of three interacting microbubble contrast agents // Chaos, Solitons & Fractals. 2024. Vol. 182. P. 114785 doi: 10.1016/j.chaos.2024.114785.
  54. Karatetskaia E., Shykhmamedov A., Kazakov A. Shilnikov attractors in three-dimensional orientation-reversing maps // Chaos. 2021. Vol. 31, no. 1. P. 011102 doi: 10.1063/5.0036405.
  55. Shykhmamedov A., Karatetskaia E., Kazakov A., Stankevich N. Scenarios for the creation of hyperchaotic attractors in 3D maps // Nonlinearity. 2023. Vol. 36, no. 7. P. 3501-3541 doi: 10.1088/1361-6544/acd044.
  56. Muni S. S. Ergodic and resonant torus doubling bifurcation in a three-dimensional quadratic map // Nonlinear Dyn. 2024. Vol. 112, no. 6. P. 4651-4661 doi: 10.1007/s11071-024-09284-6.
  57. Muni S. S. Persistence of resonant torus doubling bifurcation under polynomial perturbations // Franklin Open. 2025. Vol. 10. P. 100207 doi: 10.1016/j.fraope.2024.100207.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».