On discrete Lorenz attractors of various types

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The purpose of this work is to develop the theory of discrete attractors of Lorenz type in the case of three-dimensional maps. In this case, special attention will be paid to standard discrete Lorenz attractors, as well as discrete Lorenz attractors with axial symmetry (i.e. with symmetry x → -x, y → -y, z → -z characteristic of flows with the Lorenz attractors). The main results of the work are related to the construction of elements of classification of such attractors. For various types of discrete Lorenz attractors, we will describe their basic geometric and dynamical properties, and also present the main phenomenological bifurcation scenarios in which they arise. In the work we also consider specific examples of discrete Lorenz attractors of various types in three-dimensional quadratic maps such as three-dimensional Henon maps and quadratic maps with axial symmetry and constant Jacobian. For the latter, their normal forms will be constructed — universal maps, to which any map from a given class can be reduced by means of linear coordinate transformations.

About the authors

Aleksandr Sergeevich Gonchenko

Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod; National Research University "Higher School of Economics"

603950 Nizhny Novgorod, Gagarin Avenue, 23

References

  1. Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, no. 2. P. 130–141. doi: 10.1175/1520-0469(1963)0202.0.co;2
  2. Guckenheimer J. A strange, strange attractor // In: The Hopf Bifurcation Theorem and its Applications. Applied Mathematical Sciences, vol. 19. New York: Springer, 1976. P. 368–381. doi: 10.1007/978-1-4612-6374-6_25.
  3. Williams R. F. The structure of Lorenz attractor // Lecture Notes in Math. 1977. Vol. 615. P. 94–112.
  4. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // Докл. АН СССР. 1977. Vol. 234, no. 2. P. 336–339.
  5. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды ММО. 1982. Т. 44. P. 150–212.
  6. Kaplan J. L., Yorke J. A. Predturbulence: A regime observed in a fluid flow model of Lorenz // Comm. Math. Phys. 1979. Vol. 67, no. 2. P. 93–108. doi: 10.1007/BF01221359.
  7. Шильников Л. П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // В кн.: Марсден Ж., МакКракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. P. 317–336.
  8. Шильников Л. П. Теория бифуркаций и квазигиперболические аттракторы // Успехи Мат. Наук. 1981. Т. 36, № 4. С. 240.
  9. Бунимович Л. А., Синай Я. Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца // Нелинейные Волны. М.: Наука, 1979. С. 212–260.
  10. Bunimovich L. Statistical properties of Lorenz attractors // In: G.I. Barenblatt (ed.) Nonlinear Dynamics and Turbulence. Boston: Pitman, 1983. P. 1-22.
  11. Rand D. The topological classification of Lorenz attractor // Math. Proc. of Cambridge Phil. Soc. 1978. Vol. 83, no. 3. P. 451–460.
  12. Малкин М. И. О топологической сопряженности разрывных отображений интервала // УМЖ. 1980. Т. 32, № 5. С. 610–616.
  13. Morales C. A., Pacifico M. J., Pujals E. R. On C1 robust singular transitive sets for threedimensional flows // C. R. Acad. Sci. Ser. I Math. 1998. Vol. 326. P. 81–86.
  14. Сатаев Е. А. Некоторые свойства сингулярных гиперболических аттракторов // Мат. сб. 2009. Т. 200, № 1. С. 35–76.
  15. Тураев Д. В., Шильников Л. П. Пример дикого странного аттрактора // Мат. сб. 1998. Т. 189. С. 291–314.
  16. Тураев Д. В., Шильников Л. П. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа // Доклады РАН. 2008. Т. 77б № 1б. С. 17–21.
  17. Gonchenko S., Ovsyannikov I., Simo C., Turaev D. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2005. Vol. 15, no. 11. P. 3493–3508. doi: 10.1142/S0218127405014180.
  18. Гонченко А. С., Гонченко С. В., Шильников Л. П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса в трехмерных отображениях // Нелинейная Динамика. 2012. Т. 8. С. 3-28.
  19. Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Ovsyannikov I. I., Turaev D. V. Examples of Lorenz-like Attractors in Henon-like Maps // Math. Model. Nat. Phenom. 2013. Vol. 8, no. 5. P. 48–70. doi: 10.1051/mmnp/20138504.
  20. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // Int. J. Bif. and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 8. P. 25.
  21. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in threedimensional generalized Henon maps // Physica D. 2016. Vol. 337(4). P. 43–57. doi: 10.1016/j.physd.2016.07.006.
  22. Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // In: Hunt BR, Li TY, Kennedy JA, Nusse HE. (eds) The Theory of Chaotic Attractors. New York: Springer, 1976. P. 94–102. doi: 10.1007/978-0-387-21830-4_8.
  23. Gonchenko S., Gonchenko A. On discrete Lorenz-like attractors in three-dimensional maps with axial symmetry // Chaos. 2023. Vol. 33, no. 12. P. 123104. doi: 10.1063/5.0172243
  24. Gonchenko S., Gonchenko A., Kazakov A., and Samylina E. On discrete Lorenz-like attractors // Chaos. 2021. Vol. 31, no. 2. P. 023117. doi: 10.1063/5.0037621.
  25. Gonchenko S., Karatetskaia E., Kazakov A., Kruglov V. Conjoined Lorenz twins — a new pseudohyperbolic attractor in three-dimensional maps and flows // Chaos. 2022. Vol. 32, iss. 12. P. 121107. doi: 10.1063/5.0123426.
  26. Aframovich V.S., Shilnikov L. P. Strange attractors and quasiattractors // In: G. I. Barenblatt, G. Iooss, D. D. Joseph (eds) Nonlinear Dynamics and Turbulence. Boston: Pitmen, 1983. P. 1–34.
  27. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Докл. Рос. Акад. Наук. 1993. Т. 330, № 2. С. 144-147.
  28. Gonchenko S., Shilnikov L., Turaev D. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits // Chaos. 1996. Vol. 6, no. 1. P. 15-31.
  29. Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions // Nonlinearity. 2008. Vol. 21, no. 5. P. 923–972. doi: 10.1088/0951-7715/21/5/003.
  30. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Kozlov A. D. Elements of contemporary theory of dynamical chaos: A tutorial. Part I. Pseudohyperbolic attractors // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2018. Vol. 28, no. 11. P. 1830036. DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127418300367.
  31. Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Turaev D. Wild pseudohyperbolic attractors in a four-dimensional Lorenz system // Nonlinearity. 2021. Vol. 34, no. 4. P. 2018–2047. doi: 10.18500/0869-6632-00314010.48550/arXiv.1809.07250.
  32. Шильников Л. П. Теория бифуркаций и турбулентность // В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1986. C. 150-163.
  33. Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Kazakov A. O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 15, no. 5. P. 521-538. doi: 10.1134/S1560354713050055.
  34. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Turaev D. Doubling of invariant curves and chaos in threedimensional diffeomorphisms // Chaos. 2021. Vol. 31, no 11. P. 113130. doi: 10.1063/5.0068692.
  35. Гонченко А. С., Самылина Е. А. Об области существования дискретного аттрактора Лоренца в неголономной модели кельтского камня // Изв. вузов. Радиофизика. 2019. Т. 62, № 5. C. 412–428.
  36. Newhouse S. E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms // Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 1979. Vol. 50. P. 101–151. doi: 10.1007/BF02684771.
  37. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. О существовании областей Ньюхауса в окрестности систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) // Докл. Рос. Акад. Наук. 1993. Т. 329. C. 404-407.
  38. Гонченко С. В., Шильников Л. П. Об инвариантах Ω-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией // Укр. мат. журнал. 1990. Т. 42, № 2. С. 153-159.
  39. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса // Итоги науки и техники, сер. Современная математика и ее приложения; тематические обзоры. Т. 67. 1999. P. 69-128.
  40. Gonchenko S. V., Shil’nikov L. P., Turaev D. V. On models with non-rough Poincare homoclinic curves // Physica D. 1993. Vol. 62, no. 1–4. P. 1–14. doi: 10.1016/0167-2789(93)90268-6.
  41. Shimizu T., Morioka N. On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymmetric one in a simple model // Phys. Lett. A. 1980. Vol. 76. P. 201–204. doi: 10.1016/0375-9601(80)90466-1.
  42. Shilnikov A. L., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Normal forms and Lorenz attractors // Int. J. of Bifurcation and chaos. 1993. Vol. 3. P. 1123–1139.
  43. Shilnikov A. L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimuizu-Morioka model // Physica D. 1993. Vol. 62. P. 338–346. doi: 10.1016/0167-2789(93)90292-9.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).