Серии формул для параметров бхаттачарьи в теории полярных кодов

В теории полярных кодов для определения позиций замороженных и информационных бит используются параметры Бхаттачарьи. Они характеризуют скорость поляризации каналов W_N⁽ⁱ⁾, 1 ≤ i ≤ N, специальным образом построенных из исходного канала W, где N = 2ⁿ - длина кода, n = 1, 2, ... В случае, когда W - двоичный симметричный канал без памяти, приведены две серии формул для параметров Z(W_N⁽ⁱ⁾): при i = N - 2^k + 1, 0 ≤ k ≤ n, и при i = N/2 - 2^k + 1, 1 ≤ k ≤ n - 2. Формулы требуют порядка $\binom{2^{n-k}+2^k-1}{2^k} 2^{2^k}$ операций сложения для первой серии и порядка $\binom{2^{n-k-1}+2^k-1}{2^k} 2^{2^k}$ для второй. Для случаев i = 1, N/4 + 1, N/2 + 1, N найденные выражения для параметров удалось упростить, вычислив входящие в них суммы. Указаны возможные обобщения для значений i из интервала (N/4, N). Также исследуются комбинаторные свойства поляризационной матрицы G_N полярного кода с ядром Арикана. В частности, установлены простые рекуррентные соотношения между строками матриц G_N и G_N/2.

полярный код, параметр Бхаттачарьи, поляризационная матрица