Ripple of a DC/DC converter based on SEPIC topology

Texto integral

1. ВВЕДЕНИЕ

Автономность наукоемких радиоэлектронных устройств является одной из основных тенденций развития техники. Как правило, в автономных устройствах энергообеспечение выполняется с помощью литий-ионных аккумуляторов и/или топливных ячеек. Специфика этих устройств заключается в использовании стабилизированных низковольтных напряжений. Для формирования стабильного напряжения необходимой величины применяют DC/DC преобразователи [1], так как напряжение первичных источников напряжения со временем изменяется в широком диапазоне [2, 3]. Эти особенности диктуют потребность в разработке различных средств расчета и проектирования DC/DC преобразователей.

На настоящее время DC/DC преобразователи без гальванической развязки насчитывают шесть топологий: понижающего типа (buck converter), повышающего типа (boost converter), полярно-инвертирующего типа (buck-boost converter), SEPIC, Ćuk и Zeta. Первые три топологии исследованы достаточно подробно, в отличии остальных преобразователей понижающе-повышающего типа [4, 5]. А вот DC/DC преобразователи, построенные по топологии SEPIC, Ćuk и Zeta, требуют дополнительных исследований и разработки соответствующих методов расчета и проектирования.

Разработка радиоэлектронных устройств базируется на соответствующих математических моделях. Для базовых DC/DC преобразователей топологий buck converter, boost converter и buck-boost converter уже созданы предельные непрерывные математические модели [6]. DC/DC преобразователи понижающе-повышающего типа, построенные по топологиям SEPIC [7], Ćuk [8] и Zeta [9, 10], тоже описаны с помощью предельных непрерывных математических моделей. Но если для топологий Ćuk [8] и Zeta [9, 10] выполнен анализ пульсаций токов, протекающих через обмотки дросселей, и напряжений на конденсаторах, то для топологии SEPIC подобный анализ отсутствует.

2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ РАЗМАХИ ПУЛЬСАЦИЙ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ

Процедура разработки предельной непрерывной математической модели DC/DC преобразователя, построенного по топологии SEPIC (рис. 1), подробно рассмотрена в [7]. Поэтому в данной работе сохранена преемственность в обозначениях физических величин и электрорадиоэлементов с [7].

Рис. 1. Принципиальная электрическая схема преобразователя понижающе-повышающего типа, построенного по топологии SEPIC.

Мгновенные токи i_L1 и i_L2, протекающие через обмотки дросселей L1 и L2, и мгновенные напряжения u_C1 и u_C2 на конденсаторах С1 и С2 содержат постоянную и переменную составляющие. Поэтому можно записать, что

$\begin{array}{cc}{i}_{L1}=I_{L1}+\delta i_{L1},& u_{C1}=U_{C1}+\delta u_{C1};\\ i_{L2}=I_{L2}+\delta i_{L2},& u_{C2}=U_{C2}+\delta u_{C2},\end{array}$                                                            (1)

где δi_L1 — переменная составляющая тока i_L1; δi_L2 — переменная составляющая тока i_L2; δu_C1 — переменная составляющая напряжения u_C1; δu_C1 — переменная составляющая напряжения u_C1.

Подставив из (1) уравнения, определяющие мгновенные токи и напряжения, в системы уравнений (6) и (13) из [7], описывающие обе фазы работы преобразователя, а также приняв во внимание, что постоянные составляющие токов и напряжений, как правило, много больше размахов соответствующих пульсаций [10], получают:

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d\delta i_{L1}}{dt}=\frac{U_{вх}}{L1}-\frac{r_1}{L1}{I}_{L1},\\ \frac{d\delta i_{L2}}{dt}=-\frac{1}{L2}{U}_{C1}-\frac{r_2}{L2}{I}_{L2},\\ \frac{d\delta u_{C1}}{dt}=\frac{1}{C1}{I}_{L2},\\ \frac{d\delta u_{C2}}{dt}=\frac{1}{R_{н}C2}{U}_{C2}.\end{array}\right.$                                                                          (2)

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d\delta i_{L1}}{dt}=\frac{U_{вх}}{L1}-\frac{r_1}{L1}{I}_{L1}+\frac{1}{L1}{U}_{C1}+\frac{1}{L1}{U}_{C2},\\ \frac{d\delta i_{L2}}{dt}=\frac{1}{L2}{U}_{C2}-\frac{r_2}{L2}{I}_{L2},\\ \frac{d\delta u_{C1}}{dt}=-\frac{1}{C1}{I}_{L1},\\ \frac{d\delta u_{C2}}{dt}=-\frac{1}{C2}{I}_{L1}.\end{array}\right.$                                                 (3)

Используя уравнения системы (2), получают формулы для определения переменных составляющих δi_L1 δi_L2, δu_C1 и δu_C2 за время первой фазы:

$\delta i_{L1}=\int \left(\frac{U_{вх}}{L1}-\frac{r_1}{L1}{I}_{L1}\right)dt=\left(\frac{U_{вх}}{L1}-\frac{r_1}{L1}{I}_{L1}\right)t;$                                               (4)

$\delta i_{L\text{2}}=\int \left(-\frac{1}{L2}{U}_{C1}-\frac{r_2}{L2}{I}_{L2}\right)dt=\left(-\frac{1}{L2}{U}_{C1}-\frac{r_2}{L2}{I}_{L2}\right)t$;                               (5)

$\delta u_{C1}=\int \left(\frac{1}{C1}{I}_{L2}\right)dt=\left(\frac{1}{C1}{I}_{L2}\right)t$;                                                                    (6)

$\delta u_{C\text{2}}=\int \left(\frac{1}{R_{н}C2}{U}_{C2}\right)dt=\left(\frac{1}{R_{н}C2}{U}_{C2}\right)t$.                                                     (7)

Используя уравнения системы (3), получают формулы для определения переменных составляющей δi_L1 δi_L2, δu_C1 и δu_C2, за время второй фазы:

$\begin{array}{c}\delta i_{L1}=\int \left(\frac{U_{вх}}{L1}-\frac{r_1}{L1}{I}_{L1}+\frac{1}{L1}{U}_{C1}+\frac{1}{L1}{U}_{C2}\right)dt=\\ =\left(\frac{U_{вх}}{L1}-\frac{r_1}{L1}{I}_{L1}+\frac{1}{L1}{U}_{C1}+\frac{1}{L1}{U}_{C2}\right)t\end{array}$                                     (8)

$\delta i_{L\text{2}}=\int \left(\frac{1}{L2}{U}_{C2}-\frac{r_2}{L2}{I}_{L2}\right)dt=\left(\frac{1}{L2}{U}_{C2}-\frac{r_2}{L2}{I}_{L2}\right)t$;                                  (9)

$\delta u_{C1}=\int \left(-\frac{1}{C1}{I}_{L1}\right)dt=\left(-\frac{1}{C1}{I}_{L1}\right)t$;                                                        (10)

$\delta u_{C\text{2}}=\int \left(-\frac{1}{C2}{I}_{L1}\right)dt=\left(-\frac{1}{C2}{I}_{L1}\right)t$.                                                         (11)

Используя уравнения (4)—(7), получают формулы для определения размаха пульсаций Δi_L1, Δi_L2, Δu_C1 и Δu_C2 за время первой фазы:

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta i}}_{\mathrm{L}1}=\left|{\mathrm{\delta i}}_{{}_{\mathrm{L}1}}\left(\mathrm{TD}\right)-{\mathrm{\delta i}}_{\mathrm{L}1}\left(0\right)\right|=\\ =\left|\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}{\mathrm{r}}_1{\mathrm{D}}^3}{\mathrm{f}\mathrm{L}1\left(\left({\mathrm{D}}^2-2\mathrm{D}+1\right){\mathrm{r}}_2+{\mathrm{D}}^2{\mathrm{r}}_1+\left(2{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\mathrm{D}-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}{\mathrm{D}}^2-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\right)\right)}+\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}\mathrm{D}}{\mathrm{f}\mathrm{L}1}\right|\end{array}$;                (12)

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta i}}_{\mathrm{L}\text{2}}=\left|{\mathrm{\delta i}}_{\mathrm{L}\text{2}}\left(\mathrm{TD}\right)-{\mathrm{\delta i}}_{\mathrm{L}\text{2}}\left(0\right)\right|=\\ =\left|\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}{\mathrm{r}}_1{\mathrm{D}}^3}{\mathrm{f}\mathrm{L}\text{2}\left(\left({\mathrm{D}}^2-2\mathrm{D}+1\right){\mathrm{r}}_2+{\mathrm{D}}^2{\mathrm{r}}_1+\left(2{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\mathrm{D}-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}{\mathrm{D}}^2-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\right)\right)}+\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}\mathrm{D}}{\mathrm{f}\mathrm{L}\text{2}}\right|\end{array}$;              (13)

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta u}}_{\mathrm{C}1}=\left|{\mathrm{\delta u}}_{\mathrm{C}1}\left(\mathrm{TD}\right)-{\mathrm{\delta u}}_{\mathrm{C}1}\left(0\right)\right|=\\ =\left|\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}{\mathrm{D}}^2\left(\mathrm{D}-1\right)}{\mathrm{f}\mathrm{C}1\left(\left({\mathrm{D}}^2-2\mathrm{D}+1\right){\mathrm{r}}_2+{\mathrm{D}}^2{\mathrm{r}}_1+\left(2{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\mathrm{D}-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}{\mathrm{D}}^2-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\right)\right)}\right|\end{array}$;                          (14)

$\begin{array}{l}\Delta u_{C\text{2}}=\left|\delta u_{C\text{2}}\left(TD\right)-\delta u_{C\text{2}}\left(0\right)\right|=\\ =\left|\frac{U_{вх}{D}^2\left(D-1\right)}{fC\text{2}\left(\left(D^2-2D+1\right)r_2+D^2{r}_1+\left(2R_{н}D-R_{н}{D}^2-R_{н}\right)\right)}\right|\end{array}$.                          (15)

Используя выражения (8)—(11), получают формулы для определения размаха пульсаций Δi_L1, Δi_L2, Δu_C1 и Δu_C2 за время второй фазы:

$\begin{array}{l}\Delta i_{L1}=\left|\delta i_{L1}\left(T\right)-\delta i_{L1}\left(TD\right)\right|=\\ =\left|\frac{U_{вх}D\left(\left(D^2-2D\right)r_1+2R_{н}{D}^2-4R_{н}D+2R_{н}\right)}{fL1\left(\left(D^2-2D+1\right)r_2+D^2{r}_1+\left(2R_{н}D-R_{н}{D}^2-R_{н}\right)\right)}+\frac{U_{вх}D}{fL1}\right|\end{array}$;           (16)

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta i}}_{\mathrm{L}\text{2}}=\left|{\mathrm{\delta i}}_{\mathrm{L}\text{2}}\left(\mathrm{T}\right)-{\mathrm{\delta i}}_{\mathrm{L}\text{2}}\left(\mathrm{TD}\right)\right|=\\ =\left|\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}{\mathrm{r}}_1{\mathrm{D}}^3}{\mathrm{f}\mathrm{L}\text{2}\left(\left({\mathrm{D}}^2-2\mathrm{D}+1\right){\mathrm{r}}_2+{\mathrm{D}}^2{\mathrm{r}}_1+\left(2{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\mathrm{D}-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}{\mathrm{D}}^2-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\right)\right)}+\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}\mathrm{D}}{\mathrm{f}\mathrm{L}\text{2}}\right|\end{array}$;               (17)

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta u}}_{\mathrm{C}1}=\left|{\mathrm{\delta u}}_{\mathrm{C}1}\left(\mathrm{T}\right)-{\mathrm{\delta u}}_{\mathrm{C}1}\left(\mathrm{TD}\right)\right|=\\ =\left|\frac{U_{вх}{D}^2\left(D-1\right)}{fC1\left(\left(D^2-2D+1\right)r_2+D^2{r}_1+\left(2R_{н}D-R_{н}{D}^2-R_{н}\right)\right)}\right|\end{array}$ ;                      (18)

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta u}}_{\mathrm{C}\text{2}}=\left|{\mathrm{\delta u}}_{\mathrm{C}\text{2}}\left(\mathrm{T}\right)-{\mathrm{\delta u}}_{\mathrm{C}\text{2}}\left(\mathrm{TD}\right)\right|=\\ =\left|\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}{\mathrm{D}}^2\left(\mathrm{D}-1\right)}{\mathrm{f}\mathrm{C}\text{2}\left(\left({\mathrm{D}}^2-2\mathrm{D}+1\right){\mathrm{r}}_2+{\mathrm{D}}^2{\mathrm{r}}_1+\left(2{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\mathrm{D}-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}{\mathrm{D}}^2-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\right)\right)}\right|\end{array}$.                           (19)

Уравнения (12)—(15) первой фазы эквивалентны уравнениям (16)—(19) второй фазы, так как средние значения токов и напряжений со временем не изменяются. Поэтому изменения мгновенных значений токов и напряжений по модулю в первой фазе будут равны их изменению по модулю во второй фазе. В дальнейшем для упрощения сбора данных в качестве уравнений для расчета использованы формулы (12)—(15).

Таким образом, зная номиналы выбранных элементов электронной компонентной базы и режим работы преобразователя (коэффициент заполнения D и период T), формулы (12)—(15) позволяют рассчитать размах пульсации токов i_L1, i_L2, протекающих через обмотки дросселей L1 и L2, и напряжений u_C1, u_C2 на обкладках конденсаторов С1 и С2 соответственно.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В СРЕДЕ MULTISIM

Проверка достоверности полученных выражений для расчета размахов пульсаций токов и напряжений выполнена сравнением результатов расчета по формулам (12)—(15) с результатами схемотехнического моделирования в среде Multisim. Аналитический вывод уравнений для расчета постоянных составляющих SEPIC преобразователя и их сравнение с результатами моделирования представлены в [10].

Рис. 2. Схема моделирования DC/DC преобразователя.

На рис. 2 показана схема моделирования DC/DC преобразователя. В качестве силового транзистора был использован MOSFET IRLZ44N (как и в [11]), который использован для коммутации тока от входного источника питания V1 с заданной частотой f тактовых импульсов, создаваемых генератором V2. Все компоненты схемы выбраны из базы данных Multisim. Дроссели представлены эквивалентными схемами. Активные сопротивления выбранных дросселей, имеющих индуктивность 55 мкГн, не превышали 1 Ом.

Для исследования влияния коэффициента заполнения D на размахи пульсаций был использован режим анализа переходных процессов. Размахи пульсации токов и напряжений регистрировались в установившемся режиме (через 5–12 мс после начала моделирования). Результаты исследования, показывающие влияние коэффициента заполнения D, как основного параметра, на режим работы преобразователя, представлены на рис. 3 и рис. 4 (сплошные линии — расчет, штриховые линии — моделирование).

Рис. 3. Влияние коэффициента заполнения на пульсации токов, протекающих через обмотки дросселей L1 и L2: 1L1 — расчетные значения Δi_L1; l_L2 — расчетные значения Δi_L2; 2 — результаты моделирования Δi_L1м и Δi_L2м.

Здесь и далее приняты обозначения: Δi_L — размахи пульсаций тока, протекающего через обмотку дросселей L1 и L2, полученные с помощью предельной непрерывной математической модели; Δu_C — пульсации напряжения на конденсаторах С1 и С2, полученные с помощью предельной непрерывной математической модели; Δi_L1— размахи пульсаций тока, протекающего через обмотку дросселей L1 и L2, полученные с помощью моделирования; Δu_Cм — пульсации напряжения на конденсаторах С1 и С2, полученные с помощью моделирования.

Рис. 4. Влияние коэффициента заполнения на пульсации напряжения на конденсаторах С1 и С2: 1С1 — расчетное значение Δu_C1; 2_С1 — результат моделирования Δu_C1м; 1_С2 — расчетное значение Δu_C2 2_С2 — результат моделирования Δu_C2м.

Информация, приведенная на рис. 3 и рис. 4, иллюстрирует достаточно хорошее совпадение результатов моделирования с результатами расчетов по разработанной математической модели. Однако при значениях коэффициента заполнения D менее 0.3 и более 0.7 наблюдаются существенные отличия. Это объясняется допущениями, принятыми при выводе формул (23)—(30) [7], и влиянием паразитных параметров электрорадиоэлементов на работу преобразователя. В окрестности коэффициента заполнения D = 0.5 наблюдаются практически тождественные значения размахов пульсаций токов и напряжений, полученных при расчете и моделировании.

На рис. 3 и рис. 4 видно, что минимальная разница между рассчитанными значениями и результатами моделирования наблюдаются при коэффициентах заполнения D от 0.45 до 0.60. Для Δi_L1 минимальная разница составляет 6 мА (2.2% от Δi_L1м) при D = 0.60, для Δi_L2 — 2 мА (0.9% от Δi_L2м) при D = 0.50, для Δu_C1 — 0.2 мВ (1.5% от Δu_C1м) при D = 0.50. Разница Δu_C2 — 0.1 мВ (0.63% от Δu_C2м) при D = 0.45.

Рис. 5. Влияние частоты коммутации силового транзистора на размахи пульсаций токов, протекающих через обмотку дросселей L1 и L2 при коэффициенте заполнения, равном 0.5: 1 — расчетное значение Δi_L, 2_L1 — результат моделирования Δi_L1м 2_L2 — результат моделирования Δi_L2м

При изменении коэффициента заполнения D относительно минимума разница между расчетными значениями и значениями, полученными при моделировании, увеличивается. Так, для Δi_L1 разница составляет 14 мА (10%) и 9 мА (3%), для Δi_L2 — 13 мА (9%) и 68 мА (24%), для Δu_C1— 0.62 мВ (14%) и 10.55 мВ (23%), а для Δu_C2— 2.4 мВ (28%) и 17 мВ (23%), при коэффициентах заполнения D равных 0.3 и 0.7 соответственно.

Результаты исследования влияния частоты коммутации f силового транзистора VT1 на размахи пульсаций токов и напряжений представлены на рис. 5 и рис. 6.

Рис. 6. Влияние частоты коммутации силового транзистора на размахи пульсаций напряжения на конденсаторах С1 и С2 при коэффициенте заполнения, равном 0.5: 1_С1 — расчетное значение Δu_C1; 2_С1 — результат моделирования Δu_C2; 1_С2 — расчетное значение Δu_C2 2_С2 — результат моделирования Δu_C2м.

На рис. 6 хорошо видна предельность непрерывной математической модели [8, 10] при частоте менее 200 кГц.

Расхождение результатов расчета и моделирования размахов пульсаций токов Δi_L1 достигает 86 мА (4.2% от Δi_L1м) и 217 мА (10% от Δi_L2м) для Δi_L2, а отличия значений размахов пульсаций напряжения Δu_C1 достигают 312 мВ (66.7% от Δu_C1м) и 421 мВ (62.7% от Δu_C2м) для Δu_C2.

При частоте коммутации f силового транзистора рассматриваемого DC/DC преобразователя, превышающей 200 кГц, минимальные отклонения для пульсаций тока ΔiL1наблюдаются на частоте 250 кГц и составляют 7 мА (1.6%), пульсации тока ΔiL2 совпадают с ΔiL2м на частоте 650 кГц, а для пульсаций напряжения Δu_C1 — 5 мкВ (0.03%) на частоте 550 кГц и для Δu_C2 — 27 мкВ (0.12%) на частоте 550 кГц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Cоставлены эквивалентные схемы для DC/DC преобразователя, построенного по топологии SEPIC, в режимах накопления и передачи энергии. В соответствии с правилами Кирхгофа были записаны системы уравнений для обеих фаз работы устройства. Для формулировки математической модели в матричном виде системы уравнений были преобразованы в матричный вид.

Представляя мгновенные токи и напряжения как суммы постоянной и переменной составляющих, были записаны системы уравнений, описывающие работу преобразователя в режимах накопления и передачи энергии. Используя полученные выражения для постоянных составляющих токов и напряжений и проинтегрировав системы уравнений, описывающие каждую фазу, впервые сформулированы уравнения для определения пульсаций токов, протекающих через обмотку дросселей, и напряжений на конденсаторах, основанные на предельной непрерывной математической модели.

Для проверки достоверности расчетов размахов пульсаций выполнено сравнение результатов, полученных с использованием предельной непрерывной математической модели, с результатами моделирования DC/DC преобразователя. Исследовано влияние коэффициента заполнения D и частоты переключения f силового транзистора на размахи пульсаций характерных токов и напряжений. При коэффициенте заполнения D, близком к 0.5 размаха пульсации, вычисленные с помощью математической модели, совпали с результатами моделирования.

Минимальное расхождение результатов расчета и моделирования при изменении коэффициента заполнения D составляет: 6 мА (2.2%) для Δi_L1, 2 мА (0.9%) для Δi_L2, 0.2 мВ (1.5%) для Δu_C1 и 0.1 мВ (0.63%) для Δu_C2. При изменении частоты коммутации f минимальная разница составляет: для Δi_L1— 7 мА (1.6%), для Δi_L2— 0 мА, для Δu_C1— 5 мкВ (0.03%) и для Δu_C2 — 27 мкВ (0.12%).

Sobre autores

V. Bityukov

Autor responsável pela correspondência
Email: bitukov@mirea.ru
Rússia, Moscow

A. Lavrenov

Email: bitukov@mirea.ru
Rússia, Moscow

Bibliografia

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares

Ação

1. JATS XML

Baixar

2. Fig. 1. Schematic diagram of a step-up converter built using the SEPIC topology.

Baixar (78KB)

Metadados

3. Fig. 2. Simulation diagram of DC/DC converter.

Baixar (219KB)

Metadados

4. Fig. 3. The influence of the fill factor on the pulsations of currents flowing through the windings of chokes L1 and L2: 1L1 — calculated values; 1L2 — calculated values; 2 — simulation results.

Baixar (48KB)

Metadados

5. Fig. 4. The influence of the duty cycle on the voltage pulsations on capacitors C1 and C2: 1C1 — calculated value; 2C1 — simulation result; 1C2 — calculated value; 2C2 — simulation result.

Baixar (56KB)

Metadados

6. Fig. 5. The influence of the switching frequency of the power transistor on the pulsation amplitudes of the currents flowing through the winding of the chokes L1 and L2 at a fill factor of 0.5: 1 — calculated value 2L1 — simulation result 2L2 — simulation result

Baixar (60KB)

Metadados

7. Fig. 6. The influence of the switching frequency of the power transistor on the voltage pulsation swings on the capacitors C1 and C2 with a fill factor of 0.5: 1C1 — calculated value ΔuC1; 2C1 — simulation result ΔuC2; 1C2 — calculated value ΔuC2 2C2 — simulation result ΔuC2m.

Baixar (62KB)

Metadados