Приближенный расчет параметров ликвидационной стоимости портфеля с учетом асимметрии ее распределения

Полный текст

1. Введение

Клиринговые организации с определенной периодичностью проводят контроль обеспеченности портфелей участников клиринга, а те, в свою очередь, проверяют портфели своих клиентов. При использовании меры риска Value-at-Risk (Jorion, 2007) возможные потери оцениваются величиной $VaR\left(\tau ,\alpha \right)=m_0-q\left(\tau ,\alpha \right)$, а условием обеспеченности портфеля является $q\left(\tau ,\alpha \right)\ge 0$, где $m_0$ — текущая стоимость портфеля, $q\left(\tau ,\alpha \right)$ — квантиль заданного порядка $\alpha \in \left(\mathrm{0,1}\right)$ распределения стоимости портфеля в момент $\tau >0$. Временнόй горизонт $\tau$ складывается из:

1. продолжительности периода между проверками условия обеспеченности;
2. срока, предоставляемого участнику клиринга для самостоятельных операций по устранению дефицита обеспечения, если таковой выявлен (довнесением активов и/или проведением соответствующих сделок);
3. интервала, в течение которого клиринговая организация считает возможным ликвидировать портфель в принудительном порядке, т.е. совершить закрывающие сделки и, в случае необходимости, распродать активы портфеля.

До недавнего времени общепринятым был стандартизованный подход, в котором все компоненты $\tau$ устанавливались едиными для всех участников клиринга вне зависимости от состава портфеля. Типично срок $\tau$ составлял 1 или 2 дня. Данный способ не учитывал особенностей больших позиций, закрытие которых происходит частями и не укладывается в стандартный период. В настоящее время рискам такого рода (рискам концентрации) уделяется значительное внимание в регулировании клиринговой деятельности. Дополнительным фактором, потребовавшим изменения стандартизованного подхода, стало включение в сферу деятельности клиринговых организаций внебиржевых рынков (ОТС), для которых характерны более длительные сроки и специфические процедуры закрытия позиций.

В большинстве случаев учет рисков больших позиций сводится к модификации стандартных алгоритмом оценки риска портфеля для фиксированного временного горизонта. Так, Chicago Mercantile Exchange включила в свою методологию Standard Portfolio Analysis of Risk надбавку за концентрацию (concentration charge), которая возникает в случае превышения размером позиции порога, зависящего от среднедневного объема торгов соответствующим инструментом¹. В методологии SIMM² (Standard Initial Margin Model), разработанной International Swaps and Derivatives Association для ОТС рынка, при превышении позицией i определенного порога вводится множитель (concentration risk factor) $C{R}_i=\max \left(1,\sqrt{\mathrm{ }{\tau }_i/\tau }\right)$, где ${\tau }_i$ во столько раз превышает стандартный срок $\tau$, во сколько раз размер позиции превышает порог. Далее риск по портфелю рассчитывается с помощью $\mathrm{ }Va{R}_i\left({\tau }_i,\alpha \right)=\mathrm{ }Va{R}_i\left(\tau ,\alpha \right)C{R}_i$ по обычной формуле для дисперсии суммы коррелированных случайных величин (variance-covariance), но с заменой коэффициента корреляции ${\rho }_{ij}$ между ценами инструментов $i, j$ на ${\lambda }_{ij}{\rho }_{ij}$, где ${\lambda }_{ij}=\sqrt{\min \left({\tau }_i,{\tau }_j\right)/\max \left({\tau }_i,{\tau }_j\right)}$.

Наиболее основательно к проблеме больших позиций подошла бразильская биржа B3³, разработав новый подход CORE⁴ (Closeout Risk Evaluation). Процесс ликвидации каждой позиции представляется в виде последовательности $\left\{u_k\right\}$, $\sum _k{u}_k=1$, элементы которой обозначают доли позиции, закрываемые в дни k=1, 2, … (стратегия ликвидации). Одновременно с оценкой риска определяется наилучшая в некотором смысле стратегия ликвидации портфеля. Данный подход можно назвать минимаксным: каждой стратегии ликвидации сопоставляются потери в наихудшем сценарии поведения риск-факторов (цен, процентных ставок, волатильностей и др.) из заранее определенного множества сценариев, а оптимальная стратегия характеризуется наименьшими такими потерями. При этом возникают особые требования к формированию множества сценариев во избежание чрезмерно больших уклонений риск-факторов.

Оптимальная ликвидация портфеля линейных инструментов с более традиционным вероятностным критерием рассмотрена в (Kim, 2014; Avellaneda et al., 2015), где при определенных условиях показано, что оптимальные стратегии являются кусочно-постоянными и могут быть получены как решение задачи квадратичного программирования.

Алгоритм CORE вычислительно затратен, так как анализируется большое число сценариев (как правило, не менее 10 тыс.) и решаются соответствующие задачи оптимизации. В настоящее время применение торговых роботов требует непрерывного контроля обеспеченности портфелей. Относительно простые модификации стандартизованных алгоритмов, упомянутые ранее, позволяют получать неоптимизированную оценку риска портфеля (т.е. оценку сверху), что приемлемо с практической точки зрения.

В данной работе задача оптимизации не ставится, стратегия ликвидации считается заданной, в частности, это может быть закрытие каждой позиции с постоянной скоростью. Акцент делается на оценке риска портфеля с учетом коэффициента асимметрии распределения финансового результата. Наряду с $VaR$ рассматривается мера риска Expected Shortfall или $CVaR$, равная

$CVaR\left(\alpha \right)=m_0-Q\left(\alpha \right), Q\left(\alpha \right)=\frac{1}{\alpha }\stackrel{q\left(\alpha \right)}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\int }}zf\left(z\right)dz$,

где $f\left(z\right)$ — плотность функции распределения финансового результата (в предположении ее существования), при этом условием обеспеченности является $Q\left(\alpha \right)\ge 0$.

2. Ликвидация линейных позиций с приблизительно постоянными скоростями

Примем следующую модель процесса ликвидации: размер закрываемой позиции в день k равен $u_k=u\mathrm{\Delta }t+\nu u{\eta }_k\sqrt{\mathrm{\Delta }t}$, где $u,\mathrm{ }\mathrm{\nu }$ — константы, ${\eta }_k$ — независимые нормально распределенные случайные величины со средним 0 и дисперсией 1, $\Delta t=1/252$ (исходя из 252 торговых дней в году). Первое слагаемое предполагается таким, что ликвидация позиции данного объема не оказывает существенного влияния на цены. Значение устанавливается экспертно, например, это может быть 10% квантиля порядка ${\alpha }_{volume}=0,25$ дневных оборотов торгов за последние 3 месяца. Второе слагаемое описывает случайные флуктуации, вызванные колебаниями оборота торгов день ото дня. Отрицательные значения соответствуют обороту ниже квантиля, а в случае повышенного оборота производится компенсация имеющегося отставания от плана (поэтому для ${\eta }_k$ принято симметричное распределение). Строго говоря, в этой модели имеется вероятность получить отрицательную величину $u_k$, т.е. в некоторые дни вместо закрытия нарастить позицию, однако типично значения параметра νν не превышают 0,01–0,02 и эта вероятность пренебрежимо мала.

Пусть портфель состоит из $n$ компонент, цены которых в момент $t=0$ равны $S_i>0$, количества равны $X_i, i=1, ..., n$. Количества могут быть как положительными, так и отрицательными. Задается время $t_0\ge 0$, в течение которого никаких действий с портфелем не совершается. Для $t>t_0$ каждая из компонент портфеля изменяется в соответствии с уравнением

$d{X}_i^{\epsilon }\left(t\right)=-u_{i}dt+\sqrt{\epsilon }{\nu }_i{u}_{i}d{W}_i\left(t\right), \mathrm{ }{X}_i^{\epsilon }\left(t_0\right)=X_i, i=1, ..., n$, (1)

где $u_i$ — постоянные величины того же знака, что и начальные количества $X_i, {\nu }_i>0$ — постоянные величины, $W_i\left(t\right)$ — винеровские процессы, $0\le \epsilon \le 1$ — вспомогательный параметр. Для применения приведенных далее результатов следует положить $\epsilon =1$. Уравнение (1) является непрерывным аналогом приведенной выше модели ликвидации.

Изменение цен для $t>0$ описывается многомерным геометрическим броуновским движением с нулевым сносом

$d{S}_i^{\epsilon }\left(t\right)=\sqrt{\epsilon }{S}_i^{\epsilon }\left(t\right)\stackrel{k}{\sum _{j=1}}{B}_{ij}d{W}_{n+j}\left(t\right), S_i^{\epsilon }\left(0\right)=S_i, \mathrm{ }i=1, ..., n$, (2)

где B — матрица размера $n\times k$ с постоянными элементами; ${\delta }_i=\sqrt{D_{ii}}>0$, $D=B{B}^{\mathrm{T}}$; T — знак транспонирования. Все винеровские процессы $W_i\left(t\right), \mathrm{ }i=1, ..., n+k$, предполагаются независимыми. Вводя винеровские процессы $W_i^{\mathrm{\text{'}}}(\left(t\right)=\frac{1}{{\delta }_i}\stackrel{k}{\sum _{j=1}}{B}_{ij}{W}_{n+j}\left(t\right)$, уравнение (2) можно представить в виде

$d{S}_i^{\epsilon }\left(t\right)=\sqrt{\epsilon }{\delta }_i{S}_i^{\epsilon }\left(t\right)d{W\mathrm{\text{'}}}_i\left(t\right)$. (3)

Величины ${\delta }_i$ являются волатильностями цен $S_i^{\epsilon }\left(t\right), {\rho }_{ij}=D_{ij}/{\delta }_i{\delta }_j$ — корреляциями относительных изменений цен. Эти параметры определяются по истории цен статистическими методами, и в этих же терминах формулируется результат.

Каждое из уравнений (1) описывает процесс ликвидации соответствующей компоненты портфеля до момента $t_0+{\tau }_i^{\epsilon }$, где

${\tau }_i^{\epsilon }=\inf \left(s\ge 0:X_i^{\epsilon }\left(t_0+s\right)=0\right)=\underset{s>0}{\inf }\left(W_i\left(t_0+s\right)-W_i\left(t_0\right)=\left(s-{\tau }_i\right)/\sqrt{\epsilon }{\nu }_i\right)$,

${\tau }_i=X_i/u_i$ — период ликвидации позиции i при отсутствии случайных возмущений. Как известно, $P\left({\tau }_i^{\epsilon }<\mathrm{\infty }\right)=1$ (Липцер, Ширяев, 1974). Обозначим $Y_i^{\epsilon }\left(t\right)$ денежную сумму, которая образуется в процессе ликвидации компоненты $i$ к моменту $t$ в интервале $t_0\le t\le t_0+{\tau }_i^{\epsilon }$. Будем предполагать, что компоненты портфеля могут быть двух типов:

1. акция — в этом случае $Y_i^{\epsilon }\left(t\right)$ определяется уравнением
   $d{Y}_i^{\epsilon }\left(t\right)=-S_i^{\epsilon }\left(t\right)d{X}_i^{\epsilon }\left(t\right), Y_i^{\epsilon }\left(t_0\right)=0$; (4)
2. фьючерс — тогда финансовый результат образуется в результате накопления вариационной маржи
   $d{Y}_i^{\epsilon }\left(t\right)=X_i^{\epsilon }\left(t\right)d{S}_i^{\epsilon }\left(t\right), Y_i^{\epsilon }\left(t_0\right)=\mathrm{ }{X}_i\left[S_i^{\epsilon }\left(t_0\right)-S_i\right].$ (5)

Начальное условие в (5) описывает вариационную маржу до начала процесса ликвидации. С учетом предположения о независимости винеровских процессов $W_i^{\mathrm{\text{'}}}\left(t\right), W_i^{}\left(t\right)$

$X_i^{\epsilon }\left(t_0+{\tau }_i^{\epsilon }\right)S_i^{\epsilon }\left(t_0+{\tau }_i^{\epsilon }\right)-X_i{S}_i^{\epsilon }\left(t_0\right)=\stackrel{t_0+{\tau }_i^{\epsilon }}{\underset{t_0}{\int }}{X}_i^{\epsilon }\left(t\right)d{S}_i^{\epsilon }\left(t\right)+\stackrel{t_0+{\tau }_i^{\epsilon }}{\underset{t_0}{\int }}{S}_i^{\epsilon }\left(t\right)d{X}_i^{\epsilon }\left(t\right)X_i^{\epsilon }\left(t_0+{\tau }_i^{\epsilon }\right)S_i^{\epsilon }\left(t_0+{\tau }_i^{\epsilon }\right)=0$,

поэтому результат ликвидации для акции $Y_i^{\epsilon }\left(t_0+{\tau }_i^{\epsilon }\right)$ можно представить в виде решения уравнения (5) с начальным условием $Y_i^{\epsilon }\left(t_0\right)=X_i{S}_i^{\epsilon }\left(t_0\right)$, а результат для фьючерса — в виде решения уравнения (4) с начальным условием $Y_i^{\epsilon }\left(t_0\right)=\mathrm{ }-X_i{S}_i^{\epsilon }\left(t_0\right)$.

Необходимо найти: среднее $m^{\epsilon }$, дисперсию $V^{\epsilon }$, третий центральный момент $M^{\epsilon }$, квантиль $q^{\epsilon }\left(\alpha \right)$ и ожидаемые потери $Q^{\epsilon }\left(\alpha \right)$ распределения случайной величины $Y^{\epsilon }={\sum }_{i=1}^n{Y}_i^{\epsilon }\left(t_0+{\tau }_i^{\epsilon }\right)$.

Введем обозначения. Пусть:

$m_0={\sum }_{\mathrm{акции}}^{}{X}_i{S}_i, V={\sum }_{i,j=1}^n{\rho }_{ij}{\lambda }_{ij}{\omega }_i{\omega }_j, {\omega }_i=X_i{S}_i{\delta }_i\sqrt{t_0+{\tau }_i/3}$,

$\begin{array}{c}{\lambda }_{ij}= {\left(2{\tau }_{ij}^{max}\right)}^{-1} \left[6t_0{\tau }_{ij}^{max}+{\tau }_{ij}^{min}\left(3{\tau }_{ij}^{max}-{\tau }_{ij}^{min}\right)\right]/\mathrm{ }\sqrt{\left(3t_0+{\tau }_i\right)\left(3t_0+{\tau }_j\right)}, \\ {\tau }_{ij}^{max}=\max \left({\tau }_i,{\tau }_j\right), {\tau }_{ij}^{min}=\min \left({\tau }_i,{\tau }_j\right),\end{array}$,

$M$ — величина, определенная в Приложении, п. 1; ${\sigma }_{}=\sqrt{V_{}}$, $\chi =M{\sigma }^{-3}$; $\mathrm{\Phi }\left(r\right)$, $\phi \left(r\right)$, ${\beta }_{\alpha }={\mathrm{\Phi }}^{-1}\left(\alpha \right)$ — функция стандартного нормального распределения, ее плотность и квантиль порядка $\alpha$;

${\tilde{q}}^{\epsilon }\left(\alpha \right)=m_0+\sqrt{\epsilon }\sigma {\beta }_{\alpha }+\epsilon \chi \sigma \left({\beta }_{\alpha }^2-1\right)/6$, (6)

${\tilde{Q}}^{\epsilon }\left(\alpha \right)=m_0-\sqrt{\epsilon }\sigma \varphi \left({\beta }_{\alpha }\right)/\alpha -\epsilon \chi \sigma {\beta }_{\alpha }\varphi \left({\beta }_{\alpha }\right)/6\alpha$. (7)

Утверждение 1.

1. $m^{\epsilon }=m_0$.
2. Если все моменты ${\tau }_i$ различны, то $V_{}^{\epsilon }=\epsilon V+{\epsilon }^2{\mathrm{\Delta }}_1^{\epsilon }$, $M_{}^{\epsilon }={\epsilon }^{2}M+{\epsilon }^3{\mathrm{\Delta }}_2^{\epsilon }$, где ${\mathrm{\Delta }}_1^{\epsilon }$, ${\mathrm{\Delta }}_2^{\epsilon }$ ограничены для $0<\epsilon \le {\epsilon }_1$ при некотором $0<{\epsilon }_1\le 1$; при условии $V>0$ для любого $\alpha <0,5$ найдется $0<{\epsilon }_1\left(\alpha \right)\le 1$ такое, что

$q_{}^{\epsilon }\left(\alpha \right)={\tilde{q}}_{}^{\epsilon }\left(\alpha \right)+{\epsilon }^{3/2}{\mathrm{\Delta }}_3^{\epsilon }\left(\alpha \right)$, (8)

$Q_{}^{\epsilon }\left(\alpha \right)={\tilde{Q}}_{}^{\epsilon }\left(\alpha \right)+{\epsilon }^{3/2}{\mathrm{\Delta }}_4^{\epsilon }\left(\alpha \right)$, (9)

где ${\Delta }_3^{\epsilon }\left(\alpha \right)$, ${\Delta }_4^{\epsilon }\left(\alpha \right)$ ограничены для $0<\epsilon \le {\epsilon }_1\left(\alpha \right)$.

Выражения (6), (7) без последних слагаемых соответствуют нормальному распределению. В этом приближении случайная величина $Y^{\epsilon }$ характеризуется средним $m_0$ и дисперсией $\epsilon V$. Ликвидационные стоимости отдельных компонент $Y_i^{\epsilon }(t_0^{}+{\tau }_i^{\epsilon })$ имеют средние $m_i^{\epsilon }=X_i{S}_i$ для акций и $m_i^{\epsilon }=0$ для фьючерсов, дисперсии приблизительно равны $\epsilon \mathrm{ }{\omega }_i^2$, а корреляции — ${\rho }_{ij}{\lambda }_{ij}$. Коэффициенты ${\lambda }_{ij}$ обладают свойствами: ${\lambda }_{ij}=1$ для любых $t_0\ge 0$, ${\tau }_j={\tau }_i$; если увеличивать ${\tau }_j$, начиная со значения ${\tau }_j$, то ${\lambda }_{ij}$ убывает. При $t_0=0$

${\lambda }_{ij}=\left(\frac{3}{2}-\frac{{\tau }_{ij}^{min}}{2{\tau }_{ij}^{max}}\right)\mathrm{ }\sqrt{\frac{{\tau }_{ij}^{min}}{{\tau }_{ij}^{max}}} \mathrm{ }\ge \sqrt{\frac{{\tau }_{ij}^{min}}{{\tau }_{ij}^{max}}}$,

где справа указан упомянутый в разд. 1 аналогичный коэффициент методологии SIMM.

Последние слагаемые в (6), (7) являются поправками к гауссовской аппроксимации, обусловленными наличием у рассматриваемого распределения асимметрии ${\chi }_{}^{\epsilon }=M_{}^{\epsilon }{\left(V_{}^{\epsilon }\right)}^{-3/2}\approx \sqrt{\epsilon }\chi$. В (Boudt, Peterson, Croux, 2008) посредством комбинирования отрезков разложений Эджворта для распределений и Корниша–Фишера для квантилей получены уточнения гауссовских аппроксимаций VaR и CVaR, содержащие коэффициенты асимметрии и эксцесса. Здесь критерием обрыва разложений является не количество учитываемых моментов распределения, а малость поправки по $\epsilon$.

Величины ${\nu }_i$ не входят в приближенные выражения, т.е. случайная неравномерность процесса ликвидации вносит эффект более высокого порядка малости по $\epsilon$.

Вклад коэффициента асимметрии в результат становится существенным только для больших сроков закрытия позиций и высоких ценовых волатильностей. Более всего это соответствует депрессивному состоянию рынка с пониженными оборотами в условиях кризиса.

Пример 1. Пусть портфель состоит из четырех позиций (табл. 1).

Таблица 1

Первые три являются позициями в акциях, четвертая — во фьючерсе. В третьей строке указаны размеры позиций, которые можно закрыть за 1 день. Корреляционная матрица имеет вид

$\left|\begin{array}{ll}\begin{array}{ll}1& \mathrm{0,56}\\ \mathrm{0,56}& 1\end{array}& \begin{array}{ll}\mathrm{0,81}& \mathrm{0,69}\\ \mathrm{0,86}& \mathrm{0,80}\end{array}\\ \begin{array}{ll}\mathrm{0,81}& \mathrm{0,86}\\ \mathrm{0,69}& \mathrm{0,80}\end{array}& \begin{array}{ll}1& \mathrm{0,94}\\ \mathrm{0,94}& 1\end{array}\end{array}\right|$

Период $t_0$ принят равным 1/252 (т.е. 1 дню), ${\nu }_i\equiv 0,02$ для всех инструментов.

В табл. 2 приведены результаты, полученные методом Монте-Карло для ${10}^6$ испытаний с шагом $\Delta t=0,1/252$, и относительные погрешности аппроксимаций. Величины $Va{R}^{\epsilon }\left(\mathrm{\alpha }\right)$ и $CVa{R}^{\epsilon }\left(\mathrm{\alpha }\right)$ рассчитаны для $\alpha =0,003$. Точность оценок ${\widetilde{VaR}}^{\epsilon }\left(\alpha \right)=m_0-{\tilde{q}}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$ и ${\widetilde{CVaR}}^{\epsilon }\left(\alpha \right)=m_0-{\tilde{Q}}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$ указана в двух вариантах: в гауссовском приближении (значение слева) и по полным формулам (6), (7) с учетом асимметрии (значение справа).

Таблица 2

В данном примере учет асимметрии приводит к снижению относительной погрешности оценок ${\widetilde{VaR}}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$, ${\widetilde{CVaR}}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$ приблизительно в 10 раз.

Условие различия моментов ${\tau }_i$ используется при доказательстве более общего утверждения 3, приведенного в следующем разделе, а утверждение 1 выводится как следствие. По-видимому, в частном случае задачи данного раздела это условие не является необходимым, однако доказательство получено только для первого соотношения утверждения 1, п. I.

Утверждение 2. $V_{}^{\epsilon }=\epsilon V+{\epsilon }^2{\mathrm{\Delta }}_1^{\epsilon }$, где ${\mathrm{\Delta }}_1^{\epsilon }$ ограничена для $0<\epsilon \le {\epsilon }_1$ при некотором $0<{\epsilon }_1\le 1$.

С практической точки зрения данный вопрос представляется второстепенным, поскольку расчеты различных модельных примеров не выявляют каких-либо особенностей при совпадении некоторых или всех моментов ${\tau }_i$.

Пример 2. Заменим в примере 1 первую строку таблицы.

Тогда ${\tau }_1={\tau }_2=12/252$ и ${\tau }_3={\tau }_4=15/252$. Результаты расчетов по формулам утверждения 1 показывают, что погрешности остаются приблизительно на прежних уровнях (табл. 3).

Таблица 3

3. Процессы с переключениями на границах

Сформулируем задачу разд. 2 следующим образом. Имеется процесс ${\left(X_i^{\epsilon }\left(t\right),S_i^{\epsilon }\left(t\right),Y_i^{\epsilon }\left(t\right)\right)}_{i=\overline{1,n}}$, описываемый уравнениями (1), (3), (4), (5). В случайные моменты достижения процессом границ в фазовом пространстве $X_i^{\epsilon }\left(t\right)=0$ уравнения для соответствующих координат процесса изменяются на $d{X}_i^{\epsilon }\left(t\right)=0$, $d{S}_i^{\epsilon }\left(t\right)=0$, $d{Y}_i^{\epsilon }\left(t\right)=0$, что приводит к остановке этих координат. Требуется найти распределение линейной комбинации координат вектора состояния процесса в момент достижения процессом последней из границ.

В качестве обобщения предположим, что $n$-мерный случайный процесс, описывается однородным стохастическим уравнением

$d{\mathrm{\zeta }}^{\mathrm{\epsilon }}\left(t\right)=f_1\left({\mathrm{\zeta }}^{\mathrm{\epsilon }}\left(t\right)\right)ds+\sqrt{\mathrm{\epsilon }}{\mathrm{\delta }}_1\left({\mathrm{\zeta }}^{\mathrm{\epsilon }}\left(t\right)\right)dW\left(t\right), {\mathrm{\zeta }}^{\mathrm{\epsilon }}\left(0\right)=x$, (10)

где $x$ — известное начальное состояние, $W\left(t\right)$ — l-мерный винеровский процесс с независимыми компонентами, элементы вектора $f_1\left(\zeta \right)$ и матрицы ${\delta }_1\left(\zeta \right)$ удовлетворяют следующим условиям.

Условие А. $f_{1\mathrm{ }i}\left(\zeta \right),\mathrm{ }{\delta }_{1\mathrm{ }ij}\left(\zeta \right)\in C^{\mathrm{\infty }}\left(R^n\right),\mathrm{ }i=1, ..., n; \mathrm{ }j=1, ..., l.$

Условие Б. При некотором $K>0$ для любых $\zeta , \eta \in R^n$

$\sum _{i=1}^n{f}_{\mathrm{ }1 i}^2\left(\zeta \right)+\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^l{\delta }_{\mathrm{ }1 ij}^2\left(\zeta \right)\le K\left(1+\sum _{i=1}^n{\zeta }_i^2\right)$,

$\sum _{i=1}^n{\left(f_{1 \mathrm{ }i}^{}\left(\zeta \right)-f_{\mathrm{ }1 i}^{}\left(\eta \right)\right)}^2+{\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^l\left({\delta }_{1 ij}^{}\left(\zeta \right)-{\delta }_{\mathrm{ }1 ij}^{}\left(\eta \right)\right)}^2\le K\sum _{i=1}^n{\left({\zeta }_i-{\eta }_i\right)}^2$.

Условие Б обеспечивает существование и единственность решения уравнения (10), траектории процесса ${\zeta }^{\epsilon }\left(t\right)$ непрерывны (Липцер, Ширяев, 1974).

Невозмущенный процесс $\zeta \left(t\right)$ задается уравнением $\dot{\zeta }\left(t\right)=f_1\left(\zeta \left(t\right)\right), \zeta \left(0\right)=x$.

Определим случайный процесс с переключениями ${\xi }^{\epsilon }\left(t\right)$ следующим образом. Пусть векторы ${\pi }_{\theta }\in R^n$ и константы $r_{\theta }$ задают плоскости ${\mathrm{П}}_{\theta }=\left\{\zeta \in R^n:{\pi }_{\theta }^{\mathrm{*}}\zeta =r_{\theta }\right\}, \theta =1, ..., \mathrm{\Theta }.$. До случайного момента ${\tau }_1^{\epsilon }=\inf \left(t\ge 0:{\zeta }^{\epsilon }\left(t\right)\in {\cup }_{\theta =1}^{\mathrm{\Theta }}{\mathrm{\Pi }}_{\theta }\right) \mathrm{ }(\inf \mathrm{\varnothing }=T)$ включительно процесс ${\xi }^{\epsilon }\left(t\right)$ совпадает с ${\zeta }^{\epsilon }\left(t\right)$. После этого состояние ${\xi }^{\epsilon }\left({\tau }_1^{\epsilon }\right)$ становится начальным для уравнения вида (10), но с другими парами функций $\left(f_{\mathrm{*}}\left(\xi \right),{\delta }_{\mathrm{*}}\left(\xi \right)\right)$, которые зависят от того, какая именно граница была достигнута (или несколько границ одновременно). Достигнутые границы исключаются из определения последующих моментов остановки. После каждого момента остановки функции $\left(f_{\mathrm{*}}\left(\xi \right),{\delta }_{\mathrm{*}}\left(\xi \right)\right)$ изменяются в зависимости от того, какие границы и в какой последовательности достигались ранее.

Предполагается, что все пары $\left(f_{\mathrm{*}}\left(\xi \right),{\delta }_{\mathrm{*}}\left(\xi \right)\right)$ удовлетворяют условиям, аналогичным А и Б. Если некоторая траектория процесса ${\xi }^{\epsilon }\left(t\right)$ до наступления момента $T$ достигает всех $\mathrm{\Theta }$ плоскостей, то обозначим через ${\tau }_{\mathrm{\Theta }}^{\epsilon }$ — момент достижения последней границы (номер этой границы не обязательно $\Theta$), иначе положим τ${\tau }_{\mathrm{\Theta }}^{\epsilon }=T$; $Y^{\epsilon }=H{\xi }^{\epsilon }\left({\tau }_{\mathrm{\Theta }}^{\epsilon }\right)$, где $H$ — заданная строка размерности $n$. Задача, как и в разд. 2, заключается в нахождении среднего $m^{\epsilon }$, дисперсии $V^{\epsilon }$, третьего центрального момента $M^{\epsilon }$, квантиля $q_{}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$ и ожидаемых потерь $Q_{}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$ распределения случайной величины $Y^{\epsilon }$. Положим ${\tau }_0={\tau }_0^{\epsilon }=0$, ${\tau }_{\mathrm{\Theta }+1}={\tau }_{\mathrm{\Theta }+1}^{\epsilon }=T$ и добавим еще одно условие.

Условие В. Предположим, что невозмущенный процесс $\xi \left(t\right)$, определяемый последовательностью уравнений

$\dot{\xi }\left(t\right)=f_{\theta }\left(\xi \left(t\right)\right), t\in \left[{\tau }_{\theta -1}^{},{\tau }_{\theta }^{}\right], \theta =1, ..., \mathrm{\Theta }+1$, (11)

достигает границ ${\mathrm{\Pi }}_1, ..., {\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\theta }}$ в указанной последовательности в моменты $0<{\tau }_1<...<{\tau }_{\Theta }<T$, причем каждое достижение происходит нетангенциально: $b_{\theta }={\pi }_{\theta }^{\mathrm{*}}{\dot{\xi }}_{\theta }\ne 0$, где ${\dot{\xi }}_{\theta }=f_{\theta }\left(\xi \left({\tau }_{\theta }\right)\right), \theta =1, ..., \mathrm{\Theta }$.

Пусть функции ${\delta }_{\theta }\left(\xi \right)$ образуют пары с функциями $f_{\theta }\left(\xi \right)$, т.е. отрезки случайного процесса ${\xi }^{\epsilon }\left(t\right)$ при условии последовательного достижения плоскостей ${\mathrm{\Pi }}_1, ..., {\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Theta }}$ в моменты $0<{\tau }_1^{\epsilon }<{\tau }_2^{\epsilon }<...<{\tau }_{\mathrm{\Theta }}^{\epsilon }<T$ описываются уравнениями:

$d{\xi }^{\epsilon }\left(t\right)=f_{\theta }\left({\xi }^{\epsilon }\left(t\right)\right)ds+\sqrt{\epsilon }{\delta }_{\theta }\left({\xi }^{\epsilon }\left(t\right)\right)dW\left(t\right), t\in \left[{\tau }_{\theta -1}^{\epsilon },{\tau }_{\theta }^{\epsilon }\right], \theta =1, ..., \mathrm{\Theta }+1.$. (12)

Как следует из Приложения, п. 2, лемма 1 (Fleming, 1974, лемма 2.1), при малых $\epsilon$ траектории ${\xi }^{\epsilon }\left(t\right)$ в окрестности невозмущенной траектории $\xi \left(t\right)$ дают основной вклад в распределение случайной величины $Y^{\epsilon }$, поэтому для формулировки приближенного результата из всех пар $\left(f_{\cdot }\left(\xi \right),{\delta }_{\cdot }\left(\xi \right)\right)$ достаточно задать $\left(f_{\theta }\left(\xi \right),{\delta }_{\theta }\left(\xi \right)\right), \theta =1, ..., \mathrm{\Theta }$.

Условие Г. Предположим, что распределение случайной величины $Y^{\epsilon }$, определяемой уравнением (12) для $\theta = \mathrm{\Theta }$ при начальном условии ${\xi }^{\epsilon }\left({\tau }_{\mathrm{\Theta }-1}^{\epsilon }\right)=\xi \left({\tau }_{\mathrm{\Theta }-1}^{}\right)$, имеет плотность.

Введем следующие обозначения:

$A_{\theta }\left(\xi \right)={||A_{\theta j}^{ \mathrm{ }i}\left(\xi \right)||}_{i,j=1}^n$, $A_{\theta j}^{ \mathrm{ }i}\left(\xi \right)=\frac{\partial f_{\theta \mathrm{ }i}\left(\xi \right)}{\partial {\xi }_j}$ ( $i$ — номер строки), $a_{\theta }\left(\xi \right)={||a_{\theta \mathrm{ }ij}\left(\xi \right)||}_{i,j=1}^n={\delta }_{\theta }\left(\xi \right){\delta }_{\theta }^{\mathrm{*}}\left(\xi \right)$, $c_{\theta k}^{ \mathrm{ }ij}\left(\xi \right)=\partial a_{\theta ij}\left(\xi \right)/\partial {\xi }_k$, $F_{\theta ij}^k\left(\xi \right)={\partial }^2{f}_{\theta k}\left(\xi \right)/\partial {\xi }_i\partial {\xi }_j$. Сначала рассмотрим процесс без переключений ${\zeta }_{}^{\epsilon }\left(t\right)$. Определим функции $\gamma \left(t\right)={||{\gamma }_i\left(t\right)||}_{i=1}^n$, $\mathrm{\Gamma }\left(t\right)={||{\mathrm{\Gamma }}_{ij}\left(t\right)||}_{i,j=1}^n$, $\mathrm{{\rm M}}\left(t\right)={||{\mathrm{{\rm M}}}_{ijk}\left(t\right)||}_{i,j,k=1}^n$ как решения обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке $[0,T]$, где пока полагаем $\theta =1$:

${\dot{\gamma }}_i\left(t\right)=\sum _{p=1}^n{A}_{\theta \mathrm{ }p}^i\left(\zeta \left(t\right)\right){\gamma }_p\left(t\right)+\mathrm{0,5}\sum _{p,q=1}^n{F}_{\theta pq}^i\left(\zeta \left(t\right)\right){\mathrm{\Gamma }}_{pq}^{}\left(t\right), \gamma \left(0\right)=0$, (13)

${\dot{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}\left(t\right)={\sum }_{p=1}^n\left\{A_{\theta p}^i\left(\zeta \left(t\right)\right){\mathrm{\Gamma }}_{pj}^{}\left(t\right)+A_{\theta \mathrm{ }p}^j\left(\zeta \left(t\right)\right){\mathrm{\Gamma }}_{pi}^{}\left(t\right)\right\}+a_{\theta ij}\left(\zeta \left(t\right)\right), \mathrm{\Gamma }\left(0\right)=0$, (14)

$\begin{array}{c}{\dot{\mathrm{{\rm M}}}}_{ijk}\left(t\right)={\sum }_{p=1}^n\left\{A_{\theta p}^i\left(\zeta \left(t\right)\right){\mathrm{{\rm M}}}_{pjk}^{}\left(t\right)+A_{\theta p}^j\left(\zeta \left(t\right)\right){\mathrm{{\rm M}}}_{ipk}^{}\left(t\right)+A_{\theta p}^k\left(\zeta \left(t\right)\right){\mathrm{{\rm M}}}_{ijp}^{}\left(t\right)\right\}+\\ +{\sum }_{p,q=1}^n\left\{\mathrm{ }{F}_{\theta \mathrm{ }pq}^{\mathrm{ }i}\left(\zeta \left(t\right)\right){\mathrm{\Gamma }}_{pj}\left(t\right){\mathrm{\Gamma }}_{qk}\left(t\right)+F_{\theta \mathrm{ }pq}^{\mathrm{ }j}\left(\zeta \left(t\right)\right){\mathrm{\Gamma }}_{pi}\left(t\right){\mathrm{\Gamma }}_{qk}\left(t\right)+F_{\theta \mathrm{ }pq}^{\mathrm{ }k}\left(\zeta \left(t\right)\right){\mathrm{\Gamma }}_{pi}\left(t\right){\mathrm{\Gamma }}_{qj}\left(t\right)\right\}+\\ +{\sum }_{p=1}^n\left\{\mathrm{ }{c}_{\theta \mathrm{ }p}^{\mathrm{ }ij}\left(\zeta \left(t\right)\right){\mathrm{\Gamma }}_{pk}\left(t\right)+c_{\theta \mathrm{ }p}^{\mathrm{ }ik}\left(\zeta \left(t\right)\right){\mathrm{\Gamma }}_{pj}\left(t\right)+c_{\theta \mathrm{ }p}^{\mathrm{ }jk}\left(\zeta \left(t\right)\right){\mathrm{\Gamma }}_{pi}\left(t\right)\right\}, \mathrm{{\rm M}}\left(0\right)=0.\end{array}$. (15)

Поскольку ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}\left(t\right),\mathrm{ }{\mathrm{{\rm M}}}_{ijk}\left(t\right)$ не меняются при перестановке индексов, имеется $\mathrm{0,5}n\left(n+1\right)$ уравнений (14) и $n\left(n+1\right)\left(n+2\right)/6$ уравнений (15). Как показано в Приложении, п. 2, для любого $t\in \left[0,T\right]$ среднее, ковариационная матрица и третьи центральные моменты случайного вектора ${\zeta }_{}^{\epsilon }\left(t\right)$ могут быть представлены соответственно как

$\zeta \left(t\right)+\epsilon \gamma \left(t\right)+{\epsilon }^2{\mathrm{\Delta }}_5^{\epsilon }\left(t\right)$, $\epsilon {\mathrm{\Gamma }}_{}\left(t\right)+{\epsilon }^2{\mathrm{\Delta }}_6^{\epsilon }\left(t\right)$, ${\epsilon }^2\mathrm{{\rm M}}\left(t\right)+{\epsilon }^3{\mathrm{\Delta }}_7^{\epsilon }\left(t\right)$, (16)

где для каждого $t$ найдется ${\epsilon }_1>0$ такое, что функции ${\mathrm{\Delta }}_5^{\epsilon }\left(t\right)$, ${\mathrm{\Delta }}_6^{\epsilon }\left(t\right)$ , ${\mathrm{\Delta }}_7^{\epsilon }\left(t\right)$ ограничены для $0<\epsilon \le {\epsilon }_1$.

Переходя к процессу ${\xi }_{}^{\epsilon }\left(t\right)$, сохраним данное определение функций $\gamma \left(t\right)$, $\Gamma \left(t\right)$, $M\left(t\right)$ на полуотрезке $t\in [0,\tau 1)$, переопределив для момента ${\tau }_1$. Смысл этого преобразования в том, чтобы от распределения сечения процесса ${\zeta }_{}^{\epsilon }\left(t\right)$ в фиксированный момент времени $t={\tau }_1$ перейти к распределению на границе ${\mathrm{\Pi }}_1$ (проецирование на границу). Пусть по-прежнему $\theta =1$, $I_{n\times n}$ — единичная матрица, $\mathrm{\Gamma }\left({\tau }_{\theta }^{-}\right)$ — предел $\mathrm{\Gamma }\left(t\right)$ слева в точке ${\tau }_{\theta }$, $A_{\theta }=A\left(\xi \left({\tau }_{\theta }\right)\right)$, $\ddot{\xi }=A_{\theta }\dot{\xi }$, ${\dot{\mathrm{\Gamma }}}_{\theta }=A_{\theta }\mathrm{\Gamma }\left({\tau }_{\theta }^{-}\right)+\mathrm{\Gamma }\left({\tau }_{\theta }^{-}\right)A_{\theta }^{\mathrm{T}}+a_{\theta }\left(\xi \left({\tau }_{\theta }\right)\right)$, $L_{\theta }=I_{n\times n}-{\dot{\xi }}_{\theta }{\pi }_{\theta }^{\mathrm{T}}/b_{\theta }$, $\mu =L\ddot{\xi }/b^2$, $Z_{\theta }=L_{\theta }{\dot{\mathrm{\Gamma }}}_{\theta }{L}_{\theta }^{\mathrm{T}}$, $z_{\theta }=L_{\theta }\mathrm{\Gamma }\left({\tau }_{\theta }^{-}\right){\pi }_{\theta }$.

Преобразование имеет вид:

$\gamma \left({\tau }_{\theta }\right)=-\frac{1}{b_{\theta }}{L}_{\theta }{A}_{\theta }\mathrm{\Gamma }\left({\tau }_{\theta }^{-}\right){\pi }_{\theta }+\mathrm{0,5}{\pi }_{\theta }^{\mathrm{T}}\mathrm{\Gamma }\left({\tau }_{\theta }^{-}\right){\pi }_{\theta }{\mu }_{\theta }+L_{\theta }\gamma \left({\tau }_{\theta }^{-}\right)$, (17)

$\mathrm{\Gamma }\left({\tau }_{\theta }\right)=L_{\theta }\mathrm{\Gamma }\left({\tau }_{\theta }^{-}\right)L_{\theta }^{\mathrm{T}}$, (18)

$\begin{array}{c}{\mathrm{{\rm M}}}_{ijk}^{\mathrm{ }}\left({\tau }_{\theta }\right)={\mu }_{\theta }^i{z}_{\theta j}^{}{z}_{\theta k}^{}+{\mu }_{\theta }^j{z}_{\theta i}^{}{z}_{\theta k}^{}+{\mu }_{\theta }^k{z}_{\theta i}^{}{z}_{\theta j}^{}-\left(z_{\theta \mathrm{ }i}^{\mathrm{ }}{Z}_{\theta jk}^{}+z_{\theta j}^{\mathrm{ }}{Z}_{\theta ik}^{\mathrm{ }}+z_{\theta k}^{\mathrm{ }}{Z}_{\theta ij}^{\mathrm{ }}\right)/b_{\theta }+\\ +\sum _{p,q,r=1}^n{L}_{\theta p}^i{L}_{\theta q}^j{L}_{\theta r}^k{\mathrm{{\rm M}}}_{pqr}^{\mathrm{ }}\left({\tau }_{\theta }^{-}\right), i,j,k=1, ..., n.\end{array}$ (19)

Далее $\gamma \left({\tau }_1\right)$, $\mathrm{\Gamma }\left({\tau }_1\right)$, $\mathrm{{\rm M}}\left({\tau }_1\right)$ становятся начальными для уравнений (13)–(15) на полуотрезке $\left[{\tau }_1,{\tau }_2^{}\right)$ с заменой $\theta =1$ на $\theta =2$ и невозмущенного процесса $\zeta \left(t\right)$ на $\xi \left(t\right)$. Затем по формулам (17)–(19) делается преобразование для $\theta =2$:

$\left\{\gamma \left({\tau }_{\theta }^{-}\right),\mathrm{\Gamma }\left({\tau }_{\theta }^{-}\right),\mathrm{{\rm M}}\left({\tau }_{\theta }^{-}\right)\right\}\to \left\{\gamma \left({\tau }_{\theta }\right),\mathrm{\Gamma }\left({\tau }_{\theta }\right),\mathrm{{\rm M}}\left({\tau }_{\theta }\right)\right\}$. (20)

Эта процедура повторяется для последующих отрезков $\left[{\tau }_{\theta -1},{\tau }_{\theta }\right]$ до получения финальных значений $\gamma \left({\tau }_{\mathrm{\Theta }}\right)$, $\mathrm{\Gamma }\left({\tau }_{\mathrm{\Theta }}\right)$, $\mathrm{{\rm M}}\left({\tau }_{\mathrm{\Theta }}\right)$.

Определим ${\tilde{q}}_{}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$, ${\tilde{Q}}_{}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$ выражениями:

${\tilde{q}}^{\epsilon }\left(\alpha \right)=m+\sqrt{\epsilon }\sigma {\beta }_{\alpha }+\epsilon \left[\mathrm{\Delta }m+\chi \sigma \left({\beta }_{\alpha }^2-1\right)/6\right]$, (21)

${\tilde{Q}}^{\epsilon }\left(\alpha \right)=m-\sqrt{\epsilon }\sigma \varphi \left({\beta }_{\alpha }\right)/\alpha +\epsilon \left[\mathrm{\Delta }m-\chi \sigma {\beta }_{\alpha }\varphi \left({\beta }_{\alpha }\right)/6\alpha \right]$, (22)

где $m=H\xi \left({\tau }_{\theta }\right)$, $\mathrm{\Delta }m=H\gamma \left({\tau }_{\mathrm{\Theta }}\right)$, $V=H\mathrm{\Gamma }\left({\tau }_{\mathrm{\Theta }}\right)H^{\mathrm{T}}$, $M=\sum _{i,j,k=1}^n{H}_i{H}_j{H}_k{\mathrm{{\rm M}}}_{ijk}^{\mathrm{ }}\left({\tau }_{\mathrm{\Theta }}\right)$, $\sigma =\sqrt{V}$, $\chi =M{\sigma }^{-3}.$.

Утверждение 3.

1. При условиях А–В для некоторого $0<{\epsilon }_1\le 1$: $m^{\epsilon }=m+\epsilon \mathrm{\Delta }m+{\epsilon }^2{\mathrm{\Delta }}_8^{\epsilon }$, $V_{}^{\epsilon }=\epsilon V+{\epsilon }^2{\mathrm{\Delta }}_9^{\epsilon }$, $M_{}^{\epsilon }={\epsilon }^{2}M+{\epsilon }^3{\mathrm{\Delta }}_{10}^{\epsilon }$, где ${\mathrm{\Delta }}_8^{\epsilon }$, ${\mathrm{\Delta }}_9^{\epsilon }$, ${\mathrm{\Delta }}_{10}^{\epsilon }$ ограничены для $0<\epsilon \le {\epsilon }_1$;

2. При дополнительных условиях Г и $V>0$ для любого $\alpha <0,5$ найдется $0<{\epsilon }_1\left(\alpha \right)\le 1$ такое, что

$q_{}^{\epsilon }\left(\alpha \right)={\tilde{q}}_{}^{\epsilon }\left(\alpha \right)+{\epsilon }^{3/2}{\mathrm{\Delta }}_{11}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$, (23)

$Q_{}^{\epsilon }\left(\alpha \right)={\tilde{Q}}_{}^{\epsilon }\left(\alpha \right)+{\epsilon }^{3/2}{\mathrm{\Delta }}_{12}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$, (24)

где ${\mathrm{\Delta }}_{11}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$, ${\mathrm{\Delta }}_{12}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$ ограничены для $0<\epsilon \le {\epsilon }_1\left(\alpha \right)$.

Пример 3. Пусть портфель состоит из короткой позиции по опциону колл, количество $X\left(0\right)=-90$, страйк $E=100$, срок до экспирации $Texp=12/252$. Базовым активом опциона является фьючерсный контракт, цена опциона определяется формулой Блэка $C(F,\Omega ,t)$, в которой процентную ставку положим равной нулю. Цена базового фьючерса $F\left(t\right)$ и подразумеваемая волатильность $\Omega \left(t\right)$ описываются геометрическими броуновскими движениями:

$dF\left(t\right)=\delta F\left(t\right)d{W}_1\left(t\right), F\left(0\right)=100, d\mathrm{\Omega }\left(t\right)=\nu \mathrm{\Omega }\left(t\right)d{W}_2\left(t\right), \mathrm{\Omega }\left(0\right)=\mathrm{0,4}, \mathrm{\delta }=\mathrm{0,4} , \mathrm{\nu }=\mathrm{2,0}$. Винеровские процессы$W_1\left(t\right)$, $W_2\left(t\right)$ являются независимыми. Ликвидация позиции начинается в момент $t_0=0$ и происходит в соответствии с

$dX\left(t\right)=-u\left(F\left(t\right)\right)dt, \mathrm{ }u\left(F\right)=u_0\left[\mathrm{0,7}\exp \left\{-q{\left(F/E-1\right)}^2\right\}+\mathrm{0,3}\right], \mathrm{ }q=100\ln \left(2\right), u_0/252=30.$.

Минимальная скорость закрытия $0,3u_0$ гарантирует ликвидацию позиции за 10 дней, т.е. в пределах срока действия опциона. Если бы цена базового актива сохранялась на уровне страйка, закрытие заняло бы 3 дня. Коэффициент $q$ выбран так, что при смещении $F$ от начального значения на 10% экспонента снижается до 0,5. Данная формула для скорости закрытия выбрана произвольно, но качественно соответствует наблюдаемому на торгах снижению ликвидности серии опционов при удалении цены базового актива от страйка.

Рассмотрим опцион в двух вариантах: а) традиционный (up front); б) маржируемый (futures-style). В первом случае финансовый результат дается уравнением вида (4), во втором — вида (5), с заменой цены акции на цену опциона. Как и в разд. 2, применение формулы Ито к процессу $X\left(t\right)C\left(t\right)$ показывает, что распределение финансового результата в вариантах а) и б) отличается только сдвигом на начальную стоимость опционов $m_0=X\left(0\right)C\left(0\right)=-\mathrm{313,30}$.

Предположим, что закрытие опционной позиции осуществляется владельцем портфеля, который в процессе ликвидации непрерывно поддерживает дельта-нейтральную позицию для уменьшения неопределенности финансового результат (базовый фьючерс считаем значительно более ликвидным, чем опцион). Поскольку в вариантах а) и б) фьючерсная позиция изменяется одинаково, вывод о сдвиге распределений на величину $m_0$ сохраняется.

В уравнении (10) вектор состояния имеет размерность 5. Функция $f_1\left(\zeta \right)$ и матрица ${\delta }_1\left(\zeta \right)$ в вариантах а) и б) имеют вид (опуская индекс 1):

• традиционный вариант — $f={\left(-u\left(F\right),\mathrm{0,0},C\left(F,\mathrm{\Omega },t\right),1\right)}^{\mathrm{T}}$; δ — нулевая матрица размера 5×2, за исключением $\delta \left(\mathrm{2,1}\right)=\mathrm{ }\delta F, \mathrm{ }\delta \left(\mathrm{3,2}\right)=\mathrm{ }\nu \mathrm{\Omega }, \mathrm{ }\delta \left(\mathrm{4,1}\right)=\mathrm{ }-X\mathrm{\Delta }\delta F$;
• маржируемый вариант — $f={\left(-u\left(F\right),\mathrm{ }0,\mathrm{ }0,\mathrm{ }X\left(\theta +\mathrm{0,5}\mathrm{\Gamma }{\delta }^2{F}^2+\mathrm{0,5}Volga\mathrm{ }{\nu }^2{\mathrm{\Omega }}^2\right),1\right)}^{\mathrm{T}};$ δ — нулевая матрица размера 5×2, за исключением $\delta \left(\mathrm{2,1}\right)=\mathrm{ }\delta F, \delta \left(\mathrm{3,2}\right)=\mathrm{ }\nu \mathrm{\Omega }, \delta \left(\mathrm{4,2}\right)=\mathrm{ }X\mathrm{ }Vega\mathrm{ }\nu \mathrm{\Omega }$.

В данном примере $\theta ,\mathrm{ }\mathrm{\Delta },\mathrm{\Gamma },Vega,\mathrm{ }Volga$ — частные производные стоимости опциона («греки»).

Частные производные в уравнениях (13)–(15) определялись численным методом. Параметры финансового результата получены методом Монте-Карло по 10⁶ испытаний с шагом $\Delta t=0,01/252$. Для сопоставимости результатов в первой колонке для Монте-Карло (вариант а) указана величина $m^{\epsilon }-m_0$, а для аппроксимация (вариант а) — величина $m+\Delta m-m_0$ (табл. 4).

Таблица 4

В данном примере аппроксимация при варианте б) оказывается несколько более точной. В обоих вариантах гауссовские приближения $Va{R}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$, $CVa{R}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$ получаются заниженными (значения слева), учет асимметрии значительно улучшает оценки.

Закрытие крупной биржевой позиции может быть осуществлено одномоментно, если на рынке присутствуют участники, готовые по запросу дать котировки на большие объемы (в частности, список таких участников предоставляет Московская биржа). Приведенные выше соотношения позволяют выразить котировку в вероятностных терминах. Текущая цена опциона составляет $C\left(0\right)=3,48$. Предположим, что имеется возможность закрыть позицию по цене $C=3,65$, потери по всему портфелю составят 15,20. Такое значение ${\widetilde{VaR}}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$ получается при $\alpha =0,307$ (метод Монте-Карло дает 0,305), т.е. при растянутом во времени закрытии на биржевом рынке можно ожидать худшего результата, чем при одномоментном, с вероятностью около 30%.

Вместо формулы Блэка можно использовать какую-либо модель стохастической волатильности, например SABR. Для опционов вне денег аппроксимации становятся все менее удовлетворительными по мере отклонения $F\left(0\right)$ от страйка, поскольку зависимость цены опциона от F� в окрестности $F\left(0\right)$ все заметнее отличается от параболы, а приближения используют частные производные до второго порядка. В этом случае можно в некоторой окрестности $F\left(0\right)$ заменить цену опциона на верхнюю параболическую границу (для короткой позиции) или на нижнюю границу (для длинной позиции) и получить оценки сверху для $Va{R}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$, $CVa{R}^{\epsilon }\left(\alpha \right)$.

Приложение

1. Пусть компоненты портфеля пронумерованы в порядке неубывания ${\tau }_i$, т.е. ${\tau }_1\le \dots \le {\tau }_n$. Для совпадающих ${\tau }_i$ порядок следования значения не имеет. Обозначим

$M=t_0^2\stackrel{n}{\sum _{i,j,k=1}}{X}_i{X}_j{X}_k{S}_i{S}_j{S}_k{\delta }_i{\delta }_j{\delta }_k\left({\delta }_i{\rho }_{ij}{\rho }_{ik}+{\delta }_j{\rho }_{ji}{\rho }_{jk}+{\delta }_k{\rho }_{ki}{\rho }_{kj}\right)+\stackrel{n}{\sum _{i=1}}\stackrel{n}{\sum _{j=i}}\stackrel{n}{\sum _{k=j}}\left(t_0{M\mathrm{\text{'}}}_{ijk}+{M\text{'}\text{'}}_{ijk}\right)$,

где ${M\mathrm{\text{'}}}_{ijk}$, ${M\text{'}\text{'}}_{ijk}$ равны:

– если $i=j=k$, то $M_{iii}^{\mathrm{\text{'}}}=2{\tau }_i{S}_i^3{X}_i^3{\delta }_i^4$, $M_{iii}^{"}=\frac{2}{5}{\tau }_i^2{S}_i^3{X}_i^3{\delta }_i^4$;

– если $i=j<k$, то $M_{iik}^{\mathrm{\text{'}}}={\tau }_i{S}_i^2{S}_k{\delta }_i^2{\delta }_k{\rho }_{ik}\left[2X_i^2{X}_k{\delta }_i+\left(3{\tau }_k-{\tau }_i\right)X_i^2{u}_k\left({\delta }_i+{\delta }_k{\rho }_{ik}\right)\right]$,

$M_{iik}^{"}=\frac{1}{20}{S}_i^2{S}_k{X}_i^2{u}_k{\delta }_i^2{\delta }_k{\rho }_{ik}{\tau }_i^2\left[\left(25{\tau }_k-9{\tau }_i\right){\delta }_i+\left(15{\tau }_k-7{\tau }_i\right){\delta }_k{\rho }_{ik}\right]$;

– если $i<j=k$, то ${M\mathrm{\text{'}}}_{ikk}=S_i{S}_k^2{\delta }_i{\delta }_k^2{\rho }_{ik}\left[2X_i^2{X}_k{\delta }_k{\tau }_k+\left(3{\tau }_k-{\tau }_i\right){\tau }_i{u}_k{X}_k{X}_i\left({\delta }_k+{\delta }_i{\rho }_{ik}\right)\right]$,

${M\text{'}\text{'}}_{ikk}=\mathrm{0,5}{S}_i{S}_k^2{X}_i{u}_k^2{\delta }_i{\delta }_k^2{\rho }_{ik}{\tau }_i\left[\left(20{\tau }_k^3-5{\tau }_k{\tau }_i^2+{\tau }_i^3\right){\delta }_k+{\tau }_i\left(20{\tau }_k^2-15{\tau }_i{\tau }_k+3{\tau }_i^2\right){\delta }_i{\rho }_{ik}\right]$;

– если $i<j<k$,  то

${M\mathrm{\text{'}}}_{ijk}=S_i{S}_j{S}_k{\delta }_i{\delta }_j{\delta }_k\left[\left(3{\tau }_j-{\tau }_i\right){\tau }_i\right.X_k{X}_i{u}_j{\rho }_{ij}\left({\delta }_i{\rho }_{ik}+{\delta }_j{\rho }_{jk}\right)+\left(3{\tau }_k-{\tau }_j\right){\tau }_j{X}_i{X}_j{u}_k{\rho }_{jk}\left.\left({\delta }_j{\rho }_{ij}+{\delta }_k{\rho }_{ki}\right)\right]$,

${M\text{'}\text{'}}_{ijk}=\mathrm{0,05}{\tau }_i^2{S}_i{u}_i{S}_j{u}_j{S}_k{u}_k{\delta }_i{\delta }_j{\delta }_k\left(p{\delta }_i{\rho }_{ij}{\rho }_{ik}+q{\delta }_j{\rho }_{ji}{\rho }_{jk}+r{\delta }_k{\rho }_{ki}{\rho }_{kj}\right)$,

$p=40{\tau }_i{\tau }_j{\tau }_k-15{\tau }_k{\tau }_i^2-15{\tau }_j{\tau }_i^2+6{\tau }_i^3$, $q=30{\tau }_j^2{\tau }_k-10{\tau }_j^3-5{\tau }_i^2{\tau }_k+{\tau }_i^3$, $r=30{\tau }_j^2{\tau }_k-10{\tau }_j^3-5{\tau }_i^2{\tau }_j+{\tau }_i^3$.

2. В случае $\Theta =1$ имеем обычную граничную задачу при малых возмущениях. Введем следующие обозначения: $m\left(x\right)=H{\zeta }_x\left({\tau }_x\right)$, где ${\tau }_x$ является моментом достижения невозмущенной траекторией поверхности Π₁ при начальном условии ${\zeta }_x\left(0\right)=x$,

$\mathrm{\Delta }m\left(x\right)=\mathrm{0,5}\underset{0}{\overset{{\tau }_x}{\int }}{\sum }_{i,j=1}^n{\left.\frac{{\partial }^{2}m\left(\zeta \right)}{\partial {\zeta }_i\partial {\zeta }_j}{a}_{ij}\left(\zeta \right)\right|}_{\zeta ={\zeta }_x\left(t\right)}dt, V\left(x\right)={\int }_0^{{\tau }_x}{\sum }_{i,j=1}^n{\left.\frac{\partial m\left(\zeta \right)}{\partial {\zeta }_i}\frac{\partial m\left(\zeta \right)}{\partial {\zeta }_j}{a}_{ij}\left(\zeta \right)\right|}_{\zeta ={\zeta }_x\left(t\right)}dt$,

$M\left(x\right)=3\stackrel{{\tau }_x}{\underset{0}{\int }}\stackrel{n}{\sum _{i,j=1}}{\left.\frac{\partial m\left(\zeta \right)}{\partial {\zeta }_i}\frac{\partial V\left(\zeta \right)}{\partial {\zeta }_j}{a}_{ij}\left(\zeta \right)\right|}_{\zeta ={\zeta }_x\left(t\right)}dt$.

Эти функции могут быть представлены как решение задачи Коши (13)–(15) с преобразованием (17)–(19). Соответствующие выкладки содержатся в (Балабушкин, 1991), где доказан п. 1 из утверждения 3. Ниже приведено доказательство п. 2.

Введем трубку радиуса $\rho >0$ вокруг невозмущенной траектории ${\zeta }_x\left(t\right)$: $U^{\rho }\left(x\right)=\stackrel{}{\underset{0\le t\le T}{\cup }}\left\{\zeta \in R^n:\left|\zeta -{\zeta }_x\left(t\right)\right|<\rho \right\}$, где | ⋅ |  — евклидова норма в $R^n$.

Лемма 1 (Fleming, 1974, lemma 2.1). Для любых $\rho >0$ и компактного множества $K\subset R^n$ найдутся $\lambda >0$ и ${\epsilon }_1>0$ такие, что

$P\left[\exists t\in [0,T]: {\zeta }_x^{\epsilon }\left(t\right)\notin U^{\rho }\left(x\right)\right]\le 2nexp\left[-\rho \lambda /\sqrt{\epsilon }\right]$

для всех $x\in K$, $0<\epsilon \le {\epsilon }_1$.

При $\mathrm{\Theta }=1$ ${\tau }_1^{\epsilon }=\inf \left(t\ge 0: {\zeta }_{}^{\epsilon }\left(t\right)\in {\mathrm{\Pi }}_1\right)(\inf \mathrm{\varnothing }=T)$. Обозначим $U_1^{\rho }$ часть трубки $U_{}^{\rho }$, которая содержит точку $x$ и лежит по одну сторону от плоскости Π₁. Пусть ${\tilde{\tau }}_1^{\epsilon }=\inf \left(t\ge 0:{\zeta }_{}^{\epsilon }\left(t\right)\notin U_1^{\rho }\right)$, тогда по определению ${\tilde{\tau }}_1^{\epsilon }\le {\tau }_1^{\epsilon }$. По условию В можно выбрать достаточно малое $\rho >0$ так, что ${\tilde{\tau }}_1^{\epsilon }<T$. Разобьем границу $\partial U_1^{\rho }$ на $\partial U_{11}^{\rho }=\partial U_1^{\rho }\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ и $\partial U_{12}^{\rho }=\partial U_1^{\rho }\backslash \partial U_{11}^{\rho }$. Из леммы 1 следует, что p$p^{\epsilon }=P\left({\tilde{\tau }}_1^{\epsilon }<{\tau }_1^{\epsilon }\right)\to 0$ при $\epsilon \to 0$ быстрее любой степени $\epsilon$.

Рассмотрим в качестве аппроксимации характеристической функции ${\psi }_{\lambda }^{\epsilon }\left(x\right)=E\exp \left(i\lambda Y_x^{\epsilon }\right)$ выражение

${\tilde{\psi }}_{\lambda }^{\epsilon }\left(x\right)=\left(1+\left(i\mathrm{ }\lambda {)}^3{\epsilon }^{2}M\right(x)/6\right)\exp \left(i\mathrm{ }\lambda \left(m\left(x\right)+\epsilon \mathrm{\Delta }m\left(x\right)\right)-\mathrm{0,5}\epsilon {\lambda }^{2}V\left(x\right)\right)$.

Применяя к ${\tilde{\psi }}_{\lambda }^{\epsilon }\left({\zeta }_x^{\epsilon }\left(t\right)\right)$ формулу Ито, получаем

${\psi }_{\lambda }^{\epsilon }\left(x\right)={\tilde{\psi }}_{\lambda }^{\epsilon }\left(x\right)+\mathrm{\Delta }{\psi }_2+\mathrm{\Delta }{\psi }_3$, (П1)

где

$\mathrm{\Delta }{\psi }_2=E\left[\mathrm{ }\exp \left(i\lambda Y_{}^{\epsilon }\right)-{\tilde{\psi }}_{\lambda }^{\epsilon }\left({\zeta }_{}^{\epsilon }\left({\tilde{\tau }}_1^{\epsilon }\right)\right)\mathrm{ }\right]$, $\mathrm{\Delta }{\psi }_3=E\underset{0}{\overset{{\tilde{\tau }}_1^{\epsilon }}{\int }}{L}_1^{\epsilon }{\tilde{\psi }}_{\lambda }^{\epsilon }\left({\zeta }_{}^{\epsilon }\left(t\right)\right)dt$, $L_1^{\epsilon }\psi \left(\zeta \right)\stackrel{def}{=}\sum _{i=1}^n\frac{\partial \psi \left(\zeta \right)}{\partial {\zeta }_i}{f}_{1 i}\left(\zeta \right)+\mathrm{0,5}\epsilon \sum _{i,j=1}^n\frac{{\partial }^2\psi \left(\zeta \right)}{\partial {\zeta }_i\partial {\zeta }_j}{a}_{1 ij}\left(\zeta \right)$.

Обозначим $F^{\epsilon }\left(r\right)$ функцию распределения случайной величины ${\epsilon }^{-\mathrm{0,5}}\left[Y^{\epsilon }-m-\epsilon \mathrm{\Delta }m\right]$, $F^{\epsilon ,\vartheta }\left(r\right)$ — функцию распределения суммы этой случайной величины и гауссовской случайной величины $\eta$ с нулевым средним и дисперсией ${\vartheta }^2>0$, не зависящей от $Y^{\epsilon }$. По условию Г функция $F^{\epsilon }\left(r\right)$ абсолютно непрерывна. Для любых $a<b$

$F^{\epsilon ,\vartheta }\left(b\right)-F^{\epsilon ,\vartheta }\left(a\right)={\left(2\pi \right)}^{-1}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-i\lambda a}-{\mathrm{e}}^{-i\lambda b}}{i\lambda }{\psi }_{\lambda /\sqrt{\epsilon }}^{\epsilon }\exp \left(-\frac{i\lambda }{\sqrt{\epsilon }}\left(m+\epsilon \mathrm{\Delta }m\right)-\mathrm{0,5}{\lambda }^2{\vartheta }^2\right)d\lambda$. (П2)