About production functions that take into account simultaneously Hicks-, Harrod- and Solow-neutral technological progress

Resumo

In this article, the H.Uzawa problem about analytical form of dynamic aggregated production functions that take into account simultaneously Hicks, Harrod and Solow neutral technological progress is considered. All classes of aggregated dynamic production functions that take into account simultaneously Hicks, Harrod and Solow neutral technological progress are described.

Texto integral

1. Постановка задачи и основной результат

Рассмотрим динамическую агрегированную производственную функцию (ПФ)

$Y=F(K,L,t)$, (1)

где Y – выпуск продукции, K – капитал, L – труд, t – параметр времени из числового луча $R_{+}=[0; + \infty )$, каждое значение которого выражает определенный уровень научно-технического прогресса (НТП), неотрицательная функция F является дважды непрерывно дифференцируемой на множестве $D=G\times R_{+}$, экономическая область $G$ из первого квадранта $R_{+}^2=\left\{\left(K,L\right):K\ge 0, L\ge 0\right\}, R$ – множество действительных чисел.

Начиная с 20-х годов XX века, исследователи пытались понять в чем состоит НТП с точки зрения макроэкономической динамики, какие экономические показатели он оставляет неизменными (нейтральными, инвариантными) во времени, а какие – изменяет. На основании понятия нейтральности были построены различные классификации НТП относительно заданных инвариантных соотношений между экономическими показателями. Одна из первых классификаций НТП была предложена в 1932 году Дж.Р. Хиксом (J.R. Hicks) в книге «Теория заработной платы» и была основана на изменении с течением времени предельной нормы технического замещения [1, с. 121 – 122]: «Если рассматривать два фактора, «труд» и «капитал», то изобретения можно классифицировать в соответствии с тем увеличивают ли они, оставляют неизменным, либо уменьшают отношение предельной производительности капитала к предельной производительности труда по сравнению с ее первоначальным состоянием. Такие изобретения будем называть «трудосберегающими», «нейтральными» и «капиталосберегающими», соответственно». Дж. Робинсон (J. Robinson) в своей монографии «Очерки по теории занятости» [2] при обсуждении влияния технологий на положения долгосрочного равновесия в теории занятости использовала классификацию Дж.Р. Хикса НТП при дополнительном условии: «фондовооруженность труда является величиной постоянной» [3]. В дальнейшем, данная модификация определения нейтральности НТП по Хиксу получила широкое распространение и сейчас в научной литературе используется в качестве основного понятия (см., например, [4 – 9]). Идея еще одной классификации НТП была заложены Р.Ф. Харродом (R.F. Harrod) в рецензии [10] на книгу Дж.В. Робинсон «Очерки по теории занятости» [2] и позднее в расширенном виде была изложена в его монографии «К динамической экономической теории» [11, с. 22 – 27]. Понятие «нейтральность НТП по Солоу», которое является симметричным по отношению к понятию «нейтральность НТП по Харроду», было введено и использовано в работах [12; 13] американского экономиста Р.М. Солоу (R.M. Solow). Для неоклассических ПФ (1) в статье Р. Сато (R. Sato) и М. Беккмана (M. Beckmann) [5] в зависимости от инвариантности относительно НТП различных соотношений (рассмотрены 15 случаев) между основными экономико-математическими характеристиками ПФ введены возможные определения нейтральности НТП и получены, соответствующие им, аналитические представления динамических линейно-однородных ПФ. В работе [14] классификация Сато – Беккмана обобщена и дополнена новыми условиями нейтральности НТП на общий случай аналитического задания динамической ПФ.

Сформулируем точнее концепции нейтральности НТП по Хиксу, Харроду и Солоу:

1. если предельная норма технического замещения (труда капиталом) $MRT{S}_{LK}$ изменяется с течением времени при фиксированной фондовооруженности труда, т.е.
   ${MRTS}_{LK}=const$ при $K/L=const$ , (2)
   то имеет место нейтральный по Хиксу НТП;
2. если предельная производительность капитала $M{P}_K$ не изменяется с течением времени при фиксированной фондоотдаче, т.е.
   $M{P}_K=const$ при $Y/K=const,$, (3)
   то будем говорить, что НТП является нейтральным по Харроду;
3. если предельная производительность труда $M{P}_L$ не изменяется с течением времени при фиксированной производительности труда, т.е.
   $M{P}_L=const$ при $Y/L=const$, (4)
   то НТП будет нейтральным по Солоу.

Общий вид агрегированных динамических ПФ учитывающих нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу НТП описывают следующие утверждения (теоремы 1 и 2).

Теорема 1. Динамическая агрегированная ПФ (1) учитывает:

1. нейтральный по Хиксу НТП тогда и только тогда, когда её можно представить в аналитическом виде [15] $Y=\Phi \left(\Psi \right(K,L),t)$, где $\Phi$ – некоторая неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция, переменных $\Psi$ и $t$, а $\Psi$ – линейно-однородная непрерывно дифференцируемая функция;
2. нейтральный по Харроду НТП тогда и только тогда, когда её можно представить в аналитическом виде [16] $Y=\Phi (K,\Psi (L,t\left)\right)$, где $\Phi$ – некоторая неотрицательная линейно-однородная непрерывно дифференцируемая функция переменных $K$ и $\Psi$, а $\Psi ,$ – непрерывно дифференцируемая функция от переменных $L$ и $t$;
3. нейтральный по Солоу НТП тогда и только тогда, когда её можно представить в аналитическом виде [15] $Y=\Phi \left(\Psi \right(K,t),L)$, где $\Phi$ – некоторая неотрицательная линейно-однородная непрерывно дифференцируемая функция переменных $\Psi$ и $L$, а $\Psi$ – непрерывно дифференцируемая функция от переменных $K$ и $t$.

В случае, когда ПФ (1) является линейно-однородной из теоремы 1 следует

Теорема 2. Линейно-однородная динамическая ПФ (1) учитывает:

1. 1) нейтральный по Хиксу НТП, если и только если она может быть представлена в аналитической форме (см., например, работу [5]) $Y=A\left(t\right)\Phi (K,L)$;
2. нейтральный по Харроду НТП, если и только если она может быть представлена в аналитической форме [3; 4] $Y=\Phi (K,C(t\left)L\right)$;
3. нейтральный по Солоу НТП, если и только если она может быть представлена в аналитической форме (см., работу [5]) $Y=\Phi \left(B\right(t)K,L)$, где $\Phi$ – неотрицательная линейно-однородная непрерывно дифференцируемая функция, а строго возрастающие функции $A$, $B$ и $C$ такие, что $A\left(0\right)=B\left(0\right)=C\left(0\right)=1$, есть индексы НТП.

В 1961 году японский экономист Х.Удзава (H. Uzawa) поставил и решил [4] для линейно-однородных ПФ задачу об аналитическом виде динамических ПФ, учитывающих одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу НТП. В работе [17] результаты Удзавы были распространены на однородные ПФ произвольной степени. В данной заметке полностью решена задача Удзавы: выделены общие классы динамических агрегированных ПФ, учитывающих одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу НТП. Основной результат работы выражает

Теорема 3. Для того, чтобы динамическая агрегированная ПФ (1) одновременно учитывала нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу НТП необходимо и достаточно, чтобы она была представлена или в форме Кобба – Дугласа – Тинбергена

$F_1(K,L,t)=A\left(t\right)K^{\alpha }{L}^{\beta }$, (5)

или в аналитической форме

$F_2(K,L,t)=(a{K}^{1-\gamma }+b{L}^{1-\gamma }+A(t){)}^{1/(1-\gamma )}$, (6)

где числа $\alpha ,\beta ,\gamma ,a,b\in R, \gamma \ne 1$, а функция A зависит только от параметра НТП t.

2. Доказательство основного результата

Основываясь на понятиях [18, с. 48 – 49] предельной нормы технического замещения (труда капиталом), предельных производительностей капитала и труда, на основании определений нейтральности НТП по Хиксу (2), по Харроду (3) и по Солоу (4) получаем, что динамическая ПФ (1) одновременно учитывает НТП, нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу тогда и только тогда, когда существуют непрерывно дифференцируемые функции $h_1$, $h_2$ и $h_3$ такие, что имеют место дифференциальные тождества

$\frac{{\partial }_{L}F(K,L,t)}{{\partial }_{K}F(K,L,t)}=h_1\left(\frac{K}{L}\right), {\partial }_{K}F(K,L,t)=h_2\left(\frac{F}{K}\right),$ и${\partial }_{L}F(K,L,t)=h_3\left(\frac{F}{L}\right),$ (7)

где через  ${\mathrm{ }\partial }_K$ и  ${\mathrm{ }\partial }_L$ обозначены частные производные первого порядка по переменным $K$ и $L$, соответственно.

Необходимость. Из системы дифференциальных тождеств (7) следует, что функции $h_1$, $h_2$ и $h_3$ связаны функциональным уравнением

$h_3\left(\zeta \right)=h_1\left(\frac{\zeta }{\xi }\right)\cdot h_2\left(\xi \right)$, (8)

где введены переменные $\xi =F/K, \xi =F/L$.

Уравнение (8) есть обобщенное уравнение Коши относительно трех неизвестных функций, которое имеет единственное решение [19; 20, с. 89 – 90]

$h_1\left(\frac{\zeta }{\xi }\right)=C_1\cdot {\left(\frac{\zeta }{\xi }\right)}^{\gamma }$, $h_2\left(\xi \right)=C_2\cdot {\xi }^{\gamma }$, $h_3\left(\xi \right)=C_3\cdot {\zeta }^{\gamma }$, (9)

где $C_1$, $C_2$ и $C_3=C_1·C_2$ – произвольные вещественные числа, $\gamma \in \text{R}$.

Решим систему квазилинейных уравнений в частных производных (7) при условии (9) используя подход последовательного решения квазилинейных уравнений [21, С. 75 – 76] методом характеристик [22, С. 229].

Случай $\gamma =1$. При $h_1(K/L)=C_1\cdot (K/L)$ из первого уравнения

$C_{1}K\cdot {\partial }_{K}F-L\cdot {\partial }_{L}F=0$

системы в частных производных (7) находим функционально-независимые первые интегралы $K\cdot L^{C_1}={\tilde{C}}_1$ и $t={\tilde{C}}_2$(${\tilde{C}}_1$ и ${\tilde{C}}_2$ есть произвольные вещественные постоянные) характеристической системы $\frac{dK}{C_{1}K}=\frac{dL}{-L}=\frac{dt}{0}$ и строим его общее решение $F(K,L,t)=\Phi (K\cdot L^{C_1},t)$, где $\Phi$ ‒ произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Подставляя полученную функцию $F$ во второе уравнение системы в частных производных (7) при $h_2(F/K)=C_2\cdot (F/K)$, для определения функции $\Phi$ получаем дифференциальное уравнение

${\partial }_u\Phi (u,t)=C_2\frac{\Phi (u,t)}{u}$,

где $u=K\cdot L^{C_1}$, с общим решением $\Phi (u,t)=A\left(t\right)u^{C_2}$. А значит, функция $F$ примет следующий вид $F(K,L,t)=A\left(t\right)K^{C_2}{L}^{C_1{C}_2}$.

Подставляя функцию $F$ в третье уравнение системы в частных производных (7) при $h_3(F/L)=C_3\cdot (F/L)$ получаем верное тождество. Следовательно, функция (5) является решением системы (7) при условиях (9) и $\gamma =1$, где положено $\alpha =C_2$, $\beta =C_1{C}_2$, а $A$ есть произвольная функция, зависящая только от параметра НТП.

Случай $\gamma \ne 1$. При $h_1(K/L)=C_1\cdot (K/L{)}^{\gamma }$ из первого уравнения

$C_1{K}^{\gamma }\cdot {\partial }_{K}F-L^{\gamma }\cdot {\partial }_{L}F=0$

системы в частных производных (7) находим функционально-независимые первые интегралы $K^{1-\gamma }+C_1\cdot L^{1-\gamma }={\tilde{C}}_1$ и $t={\tilde{C}}_2$ (${\tilde{C}}_1$и ${\tilde{C}}_2$ есть произвольные вещественные постоянные) характеристической системы $\frac{dK}{C_1{K}^{\gamma }}=\frac{dL}{-L^{\gamma }}=\frac{dt}{0}$ и строим его общее решение $F(K,L,t)=\Phi (K^{1-\gamma }+C_1\cdot L^{1-\gamma },t)$, где $\Phi$ ‒ произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Подставляя полученную функцию $F$ во второе уравнение системы в частных производных (7) при $h_2(F/K)=C_2\cdot (F/K{)}^{\gamma }$, для определения функции $\Phi$ получаем дифференциальное уравнение

${\partial }_u\Phi (u,t)=\frac{{С}_2}{1-\gamma }\cdot {\Phi }^{\gamma }(u,t)$,

которое имеет общее решение $\Phi (u,t)=(C_{2}u+A(t){)}^{1/(1-\gamma )}$, где $u=K^{1-\gamma }+C_1\cdot L^{1-\gamma }$, $A$ есть произвольная функция, зависящая только от параметра НТП. А значит, функция $F$ примет следующий вид $F(K,L,t)=(C_2{K}^{1-\gamma }+C_1{C}_2{L}^{1-\gamma }+A(t){)}^{1/(1-\gamma )}$.

Подставляя функцию $F$ в третье уравнение системы в частных производных (7) при$h_3(F/L)=C_3\cdot (F/L{)}^{\gamma }$ получаем верное тождество. Таким образом, функция (6) является общим решением системы квазилинейных уравнений (7) при условиях (9) и $\gamma \ne 1$, где положено $a=C_1, b=C_1{C}_2$, а $A$ есть произвольная функция, зависящая только от параметра НТП.

Достаточность. Пусть динамическая ПФ (1) представима или аналитической форме (5) или в форме (6). Тогда вычисляя частные производные от функций $F_1$ и $F_2$ по факторам производства $K$ и $L$ получаем:

1. $MRT{S}_{LK}\left(F_1\right)=\frac{\beta }{\alpha }\frac{K}{L}$, $M{P}_K\left(F_1\right)=\alpha \frac{F}{K}$, $M{P}_L\left(F_1\right)=\beta \frac{F}{L}$,т.е. имеют место тождества (7) при $h_1\left(\xi \right)=\frac{\beta }{\alpha }\xi$, $h_2\left(\zeta \right)=\alpha \zeta$ и $h_3\left(\rho \right)=\beta \rho$, а значит ПФ (5) учитывает НТП, одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу;
2. $MRT{S}_{LK}\left(F_2\right)=\frac{b}{a}\cdot {\left(\frac{K}{L}\right)}^{\gamma }$, $M{P}_K\left(F_2\right)=a\cdot {\left(\frac{F}{K}\right)}^{\gamma }$, $M{P}_L\left(F_2\right)=b\cdot {\left(\frac{F}{L}\right)}^{\gamma }$,
   т.е. имеют место тождества (7) при $h_1\left(\xi \right)=\frac{b}{a}{\xi }^{\gamma }$, $h_2\left(\zeta \right)=a{\zeta }^{\gamma }$ и $h_3\left(\rho \right)=b{\rho }^{\gamma }$, а значит ПФ (6) учитывает НТП, одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу.