Том 59, № 3 (2023)

Исследуется одна нелинейная задача на собственные значения специального вида, возникающая в электродинамике. Задача ставится для системы двух уравнений с краевыми условиями первого рода и двумя дополнительными локальными условиями. Спектральный параметр в задаче один, ещё два параметра появляются в указанных выше локальных условиях, на которые накладывается дополнительное ограничение. Таким образом, в задаче имеются два неизвестных параметра: один спектральный, второй -- некоторый дополнительный параметр, который подбирается так, чтобы существовало нетривиальное решение изучаемой задачи. Доказывается существование нелинеаризуемых решений задачи.

Рассмотрена краевая задача для сингулярно возмущённой системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с разными степенями малого параметра при вторых производных. Особенность задачи состоит в том, что одно из двух уравнений вырожденной системы имеет двукратный корень, а другое -- три непересекающихся простых (однократных) корня. Доказано, что для достаточно малых значений малого параметра задача имеет решение, обладающее быстрым переходом в окрестности некоторой внутренней точки отрезка. Построено и обосновано полное асимптотическое разложение этого решения. Оно качественно отличается от известного разложения в случае, когда все корни вырожденных уравнений являются простыми, но также не совпадает с разложениями в исследованных ранее задачах с двукратными корнями, в частности, внутренний переходный слой оказывается одномасштабным.

Исследована прямая задача для поперечных колебаний однородной балки конечной длины с нелокальными по времени условиями, получены необходимое и достаточное условия существования её решения. Для прямой задачи изучена обратная задача по определению коэффициентов, зависящих от времен, при младшей производной и правой части уравнения. Доказаны существование и единственность решения обратной задачи. Для решения используется метод разделения переменных, с помощью которого задачи сводятся к интегральному уравнению и к системе интегральных уравнений.

На основе теории траекторных обратных аттракторов исследуется качественное поведение слабых решений для модели Бингама с периодическими условиями по пространственным переменным. Для рассматриваемой модели вводится семейство траекторных пространств и доказывается существование обратных аттракторов.

Рассмотрена начальная задача для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью. В терминах матричных полиномов приведены достаточные условия существования единственного решения. Для таких задач предложены многошаговые разностные схемы. Проведены анализ их устойчивости и расчёты модельного примера.

Исследованы задачи мультипликативного управления для модели реакции-диффузии-конвекции с нелинейно зависящими от решения, а также зависящими от пространственных переменных коэффициентами. В случае степенной зависимости коэффициентов модели от решения для экстремальных задач выведены системы оптимальности. С их помощью получены оценки локальной устойчивости решений конкретных задач управления относительно малых возмущений как функционалов качества, так и одной из заданных функций краевой задачи.

Основные результаты работы ``Доказательство гипотезы якобиана в двумерном случае и глобальные изохронные центры полиномиальных гамильтоновых дифференциальных систем'' (Дифференциальные уравнения. 2022. Т. 58. № 6. С. 846-849), а именно теорема 1 и вытекающие из неё следствия, в действительности строго не доказаны: формулы (8) на странице 848 справедливы только при условии $\alpha(y)\equiv 0,$ но даже при указанном условии формулы (9) требуют обоснования. В силу этого работа в настоящем виде должна быть признана некорректной. Автор работы признателен профессору Л.Г. Макар-Лиманову, обратившему внимание на необоснованность формулы (8), а также профессору В.В. Бахтину, обнаружившему в статье некоторые другие неточности.