АПОСТЕРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ С ПРЕПЯТСТВИЕМ ДЛЯ ОПЕРАТОРА 𝑝-ЛАПЛАСА

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Получены функциональное тождество и оценки, выполняющиеся для мер отклонений от точных решений задачи с препятствием для оператора 𝑝-Лапласа для любых функций из соответствующего (энергетического) функционального класса, который содержит обобщённое решение задачи. При этом не были использованы какие-либо специальные свойства аппроксимаций или численных процедур, а также информация о точной конфигурации коинцидентного множества. Правые части тождества и оценок содержат только известные функции и могут быть явно вычислены, а левые части представляют собой определённую меру отклонения приближённого решения от точного. Найденные функциональные соотношения позволяют оценивать погрешность любых аппроксимаций задачи независимо от способа их получения. Кроме того, они позволяют сравнивать точные решения задач с различными данными, что даёт возможность оценивать ошибки математических моделей, например тех, что возникают при упрощении коэффициентов дифференциального уравнения.

Об авторах

Д. Е Апушкинская

Российский университет дружбы народов имени Патриса Лумумбы

Email: apushkinskaya@gmail.com
Москва

А. А Новикова

Российский университет дружбы народов имени Патриса Лумумбы

Email: aanovikova01@gmail.com
Москва

С. И Репин

Российский университет дружбы народов имени Патриса Лумумбы; Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В.А. Стеклова РАН

Email: rpnspb@gmail.com
Москва

Список литературы

  1. Lions, J.-L. Variational inequalities / J.-L. Lions, G. Stampacchia // Comm. Pure Appl. Math. — 1967. — V. 20. — P. 493-519.
  2. Petrosyan, A. Regularity of Free Boundaries in Obstacle-Type Problems / A. Petrosyan, H. Shagholian, N.N. Uraltseva. — Providence : American Mathematical Society, 2012. — 221 p.
  3. Choe, H.J. On the obstacle problem for quasilinear elliptic equations of р-Laplacian type / H.J. Choe, J.L. Lewis // SIAM J. Math. Anal. — 1991. — V. 22, № 3. — P. 623-638.
  4. Andersson J. Optimal regularity for the obstacle problem for the р-Laplacian / J. Andersson, E. Lindgren, H. Shahgholian // J. Differ. Equat. — 2015. — V. 259, № 6. — P. 2167-2179.
  5. Jouvet, G. Steady, shallow ice sheets as obstacle problems: well-posedness and finite element approximation / G. Jouvet, E. Bueler // SIAM J. Appl. Math. — 2012. — V. 72, № 4. — P. 1292-1314.
  6. Lewicka, M. The obstacle problem for the р-Laplacian via optimal stopping of tug-of-war games / M. Lewicka, J.J. Manfredi // Probab. Theory Related Fields. — 2017. — V. 167, № 1-2. — P. 349-378.
  7. On the porosity of free boundaries in degenerate variational inequalities / L. Karp, T. Kipelainen, A. Petrosyan, H. Shagholian // J. Differ. Equat. — 2000. — V. 164, № 1. — P. 110-117.
  8. Lee, K. Hausdorff measure and stability for the p-obstacle problem (2
  9. Rodrigues, J.F. Stability remarks to the obstacle problem for p-Laplacian type equations / J.F. Rodrigues // Calc. Var. Partial Differ. Equat. — 2005. — V. 23, № 1. — P. 51-65.
  10. Falk, R.S. Error estimates for approximation of a class of a variational inequalities / R.S. Falk // Math. Comp. — 1974. — V. 28. — P. 963-971.
  11. Chen, Z., Residual type a posteriori error estimates for elliptic obstacle problems / Z. Chen, R. Nochetto // Numer. Math. — 2000. — V. 84. — P. 527—548.
  12. Repin, S.I. Accuracy of Mathematical Models — Dimension Reduction, Homogenization, and Simplification / S.I. Repin, S.A. Sauter. — Zurich : European Mathematical Society, 2020. — 317 p.
  13. Repin, S.I. A posteriori error estimation for variational problems with uniformly convex functionals / S.I. Repin // Math. Comp. — 2000. — V. 69, № 230. — P. 481-500.
  14. Репин, С.И. Апостериорные тождества для мер отклонений от точных решений нелинейных краевых задач / С.И. Репин // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2023. — Т. 63, № 6. — С. 896-919.
  15. Repin, S. Error identities for variational problems with obstacles / S. Repin, J. Valdman // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. — 2018. — Bd. 98, № 4. — S. 635-658.
  16. Apushkinskaya D.E. Thin obstacle problem: estimates of the distance to the exact solution / D.E. Apushkinskaya, S.I. Repin // Interfaces Free Bound. — 2018. — V. 20, № 4. — P. 511-531.
  17. Апушкинская, Д.Е. Бигармоническая задача с препятствием: гарантированные и вычисляемые оценки ошибок для приближённых решений / Д.Е. Апушкинская, С.И. Репин // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2020. — Т. 60, № 11. — С. 1881-1897.
  18. Apushkinskaya, D. Functional a posteriori error estimates for the parabolic obstacle problem / D. Apushkinskaya, S. Repin // Comput. Methods Appl. Math. — 2022. — V. 22, № 2. — P. 259276.
  19. Sharp numerical inclusion of the best constant for embedding H01 (Q) < Lp(Q) on bounded convex domain / K. Tanaka, K. Sekine, M. Mizuguchi, S. Oishi // J. Comput. Appl. Math. — 2017. — V. 311 — P. 306-313.
  20. Rossi, J.D. Optimal regularity at the free boundary for the infinity obstacle problem / J.D. Rossi, E.V. Teixeira, J.V. Urbano // Interfaces Free Bound. — 2015. — V. 17, № 3. — P. 381-398.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2024

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».