On Some Properties of Solutions of Systems of Linear Difference Equations with Periodic Right-Hand Sides

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider homogeneous and inhomogeneous systems of linear difference equations with coefficients that are 
-periodic functions of discrete time. For homogeneous systems, sufficient conditions for the existence of periodic and almost periodic solutions are obtained. For inhomogeneous systems, it is shown that a necessary and sufficient condition for the existence of an N-periodic solution is the existence of a bounded solution. Necessary and sufficient conditions for theN orthogonality of the fundamental matrix of the homogeneous system are established. Illustrative examples are given.

About the authors

A. O Ignat'ev

Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Donetsk, Russia

Author for correspondence.
Email: aoignat@mail.ru

References

  1. Chen S., Liu X. Stability analysis of discrete-time coupled systems with delays // J. of the Franklin Institute. 2020. № 357. P. 9942-9959.
  2. Игнатьев А.О. Метод функций Ляпунова в системах разностных уравнений: устойчивость относительно части переменных // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 3. С. 407-415.
  3. Elaydi S. An Introduction to Difference Equations. New York, 2005.
  4. Lakshmikantham V., Trigiante D. Theory of Difference Equations: Numerical Methods and Applications. New York, 2002.
  5. Agarwal R., Popenda J. Periodic solutions of first order linear difference equations // Math. Comput. Modelling. 1995. V. 22. № 1. P. 11-19.
  6. Савченко А.Я., Игнатьев А.О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных динамических систем. Киев, 1989.
  7. Giang D.V. Linear difference equations and periodic sequences over finite fields // Acta Math. Vietnam. 2016. V. 41. № 1. P. 171-181.
  8. Hasil P., Vesely M. Limit periodic homogeneous linear difference systems // Appl. Math. Comput. 2015. V. 265. P. 958-972.
  9. Janglajew K., Schmeidel E. Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations // Adv. Difference Equat. 2012. V. 195.
  10. Agarwal R. Difference Equations and Inequalities. Theory, Methods, and Applications. V. 228. New York, 2000.
  11. Agarwal R., Wong P. Advanced Topics in Difference Equations. Dordrecht, 1997.
  12. Gasull A. Difference equations everywhere: some motivating examples // Difference Equations, Discrete Dynamical Systems and Applications / Eds. S. Elaydi et al. 2019. V. 287. P. 129-167.
  13. Elaydi S., Sacker R. Periodic difference equations, population biology and the Cushing-Henson conjectures // Math. Biosci. 2006. V. 201. № 1-2. P. 195-207.
  14. Elaydi S., Sacker R. Global stability of periodic orbits of non-autonomous difference equations and population biology // J. Differ. Equat. 2005. V. 208. № 1. P. 258-273.
  15. Ignatyev A.O., Ignatyev O.A. On the stability of discrete systems // Integral Methods in Science and Engineering. Boston, 2006. P. 105-116.
  16. Ignatyev A.O., Ignatyev O.A. On the stability in periodic and almost periodic difference systems // J. Math. Anal. Appl. 2006. V. 313. № 2. P. 678-688.
  17. Zhang S., Liu P., Gopalsamy K. Almost periodic solutions of nonautonomous linear difference equations // Appl. Analysis: an Int. J. 2002. V. 81. № 2. P. 281-301.
  18. Деменчук А.К. О сильно нерегулярных периодических решениях линейного дискретного уравнения первого порядка // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2020. Т. 56. № 1. С. 30-35.
  19. Popenda J., Schmeidel E. Asymptotically periodic solution of some linear difference equations // Facta Univ. Ser. Math. Inform. 1999. V. 14. P. 31-40.
  20. Clark M.E., Gross L.J. Periodic solutions to nonautonomous difference equations // Math. Biosci. 1990. V. 102. № 1. P. 105-119.
  21. Vesely M. Construction of almost periodic sequences with given properties // Electron. J. Differ. Equat. 2008. V. 126.
  22. Vesely M. Almost periodic homogeneous linear difference systems without almost periodic solutions // J. Difference Equat. Appl. 2012. V. 18. № 10. P. 1623-1647.
  23. Massera J.L. The existence of periodic solutions of systems of differential equations // Duke Math. J. 1950. V. 17. № 4. P. 457-475.
  24. Makay G. On some possible extensions of Massera's theorem // Electronic J. of Qualit. Theory of Differ. Equat. 2000. V. 16. P. 1-8.
  25. Zubelevich O. A note on theorem of Massera // Regul. Chaotic Dyn. 2006. V. 11. № 4. P. 475-481.
  26. Li Y., Lin Z., Li Z. A Massera type criterion for linear functional differential equations with advanced and delay // J. Math. Anal. Appl. 1996. V. 200. P. 717-725.
  27. Corduneanu C. Almost Periodic Functions. New York, 1989.
  28. Левитан Б.М. Почти периодические функции. М., 1953.
  29. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Справочная математическая библиотека. Высшая алгебра. М., 1965.
  30. Vleck F.S.V. A note on the relation between periodic and orthogonal fundamental solutions of linear systems // Amer. Math. Monthly. V. 71. № 4. P. 406-408.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».