Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 215, № 7 (2024)
О возможных группах симметрий 27-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость
Аннотация
В 1987 г. У. Брем и В. Кюнель показали, что всякая триангуляция $d$-мерного многообразия (без края), не гомеоморфного сфере, имеет не меньше $3d/2+3$ вершин. Более того, триангуляции ровно с $3d/2+3$ вершинами могут существовать только для “многообразий, похожих на проективные плоскости”, которые бывают только в размерностях $2$, $4$, $8$ и $16$. Имеются $6$-вершинная триангуляция вещественной проективной плоскости $\mathbb{RP}^2$, $9$-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости $\mathbb{CP}^2$ и $15$-вершинные триангуляции кватернионной проективной плоскости $\mathbb{HP}^2$. Недавно автор построил первые примеры $27$-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость $\mathbb{OP}^2$. Четыре наиболее симметричные из них имеют группу симметрий $\mathrm{C}_3^3\rtimes \mathrm{C}_{13}$ порядка $351$. Эти триангуляции были найдены при помощи компьютерной программы после того, как была угадана их группа симметрий. Тем не менее оставалось совершенно непонятным, почему именно эта группа реализуется как группа симметрий и существуют ли $27$-вершинные триангуляции многообразий, похожих на $\mathbb{OP}^2$, с другими (возможно, большими) группами симметрий. В настоящей работе даются сильные ограничения на группы симметрий таких $27$-вершинных триангуляций. А именно, приводится список из $26$ подгрупп симметрической группы $\mathrm{S}_{27}$, содержащий все возможные группы симметрий $27$-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость. (Нам не известно, все ли эти подгруппы реализуются как группы симметрий.) Группа $\mathrm{C}_3^3\rtimes \mathrm{C}_{13}$ является самой большой в этом списке, причем порядки всех остальных групп не превосходят $52$. Ключевую роль в нашем подходе играет использование результатов П. Смита и Г. Бредона о топологии множеств неподвижных точек конечных групп преобразований.Библиография: 36 названий.
Математический сборник. 2024;215(7):3-51
3-51
Об одном семействе полей алгебраических чисел с конечной 3-башней полей классов
Аннотация
Пусть $\ell=3$, $k=\mathbb Q(\sqrt{-3})$ и $K=k(\sqrt[3]{a})$, где $a$ – натуральное число такое, что $a^2\equiv 1\pmod 9$. В предположении, что в расширении $K_\infty/k_\infty$, где $k_\infty$ и $K_\infty$ – круговые $\mathbb Z_3$-расширения полей $k$ и $K$ соответственно, разветвлены ровно три простые точки, не лежащие над $\ell$, мы изучаем 3-башни полей классов промежуточных полей $K_n$ расширения $K_\infty/K$.Доказано,что для любого $K_n$ 3-башня полей классов поля $K_n$обрывается на первом же шаге, т.е. группа Галуа расширения $\mathbf H_\ell(K_n)/K_n$, где $\mathbf H_\ell(K_n)$ – максимальное неразветвленное $\ell$-расшире-ние поля $K_n$, абелева.Библиография: 7 названий.
Математический сборник. 2024;215(7):52-60
52-60
Об одной экстремальной задаче для положительно определенных функций с носителем в шаре
Аннотация
Рассматривается экстремальная задача, связанная с множеством непрерывных положительно определенных функций на $\mathbb{R}^n$, носитель которых содержится в замкнутом шаре радиуса $r>0$, а значение в нуле фиксировано (класс $\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$).При фиксированном $r>0$ требуется найти точную верхнюю грань функционала специального вида на множестве $\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$.Получено общее решение данной задачи при $n\neq2$. Как следствие получены новые точные неравенства для производных целых функций экспоненциального сферического типа $\leqslant r$.Библиография: 24 названия.
Математический сборник. 2024;215(7):61-73
61-73
Оценки погрешности усреднения эллиптических операторов на основе корректоров первого и второго порядка
Аннотация
Для действующих в пространстве $\mathbb{R}^d$ дивергентных эллиптических операторов второго порядка с $\varepsilon$-периодическими измеримыми коэффициентами построены аппроксимации резольвенты в операторной норме $\|\cdot\|_{H^1{\to}H^1}$ с остаточным членом порядка $\varepsilon^2$ при $\varepsilon\to 0$. Применяется метод двухмасштабных разложений по степеням $\varepsilon$ до второй включительно. Недостаток гладкости в данных задачи преодолевается с помощью сглаживания по Стеклову или его итераций. Рассмотрены сначала скалярные дифференциальные операторы с вещественной матрицей коэффициентов, действующие на функциях $u\colon \mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$, а затем матричные дифференциальные операторы с комплекснозначным тензором четвертого порядка, действующие на функциях $u\colon \mathbb{R}^d\to \mathbb{C}^n$.Библиография: 20 названий.
Математический сборник. 2024;215(7):74-95
74-95
О приближениях одного сингулярного интеграла на отрезке рациональными интегральными операторами Фурье–Чебышёва
Аннотация
Исследуются аппроксимации на отрезке $[-1,1]$ сингулярных интегралов вида$$\widehat{f}(x)=\int_{-1}^{1}\frac{f(t)}{t-x}\sqrt{1-t^2} dt, \qquad x \in [-1,1], $$двумя рациональными интегральными операторами, в некотором смысле связанными между собой. Первый из них – интегральный оператор Фурье–Чебышёва, ассоциированный с системой рациональных функций Чебышёва–Маркова. Второй оператор является его образом при преобразовании изучаемым сингулярным интегралом. Изучаются аппроксимационные свойства соответствующих полиномиальных аналогов обоих операторов в случае, когда плотность сингулярного интеграла удовлетворяет на отрезке $[-1,1]$ условию Липшица порядка $\alpha \in (0,1]$. Исследуются рациональные аппроксимации на отрезке $[-1,1]$ сингулярного интеграла с плотностью, имеющей степенную особенность. Рассматривается случай, когда аппроксимирующие рациональные функции имеют произвольное фиксированное количество геометрически различных полюсов, и случай, когда параметры аппроксимирующих рациональных функций представляют собой некоторые модификации “ньюменовских” параметров. Библиография: 34 названия.
Математический сборник. 2024;215(7):96-137
96-137
Полиномиальная жесткость и спектр сидоновских автоморфизмов
Аннотация
Предъявлен континуум спектрально дизъюнктных сидоновских автоморфизмов, тензорный квадрат которых изоморфен планарному сдвигу. Спектры таких автоморфизмов не обладают групповым свойством. Для выявления сингулярности спектров использована полиномиальная жесткость операторов, связанная с понятием линейного детерминизма по Колмогорову. В классе перемешивающих гауссовских и пуассоновских надстроек над сидоновскими автоморфизмами реализованы новые наборы спектральных кратностей.Библиография: 12 названий.
Математический сборник. 2024;215(7):138-152
138-152