Автополярные конические тела и многогранники

Антинорма в линейном пространстве является вогнутым аналогом нормы. Она, в отличие от нормы, определена не на всем пространстве $\mathbb R^d$, а на произвольном конусе $K\subset \mathbb R^d$. Антинормы применяются в функциональном анализе, оптимальном управлении, динамических системах. Множества уровня антинормы называются коническими телами и (для кусочно линейных антинорм) коническими многогранниками. Основные факты и понятия “вогнутого анализа” антинорм такие, как теоремы отделимости, двойственность, поляры, функционал Минковского и т.д., подобны своим аналогам в выпуклом анализе. Есть, однако, и существенные отличия. Одно из них – существование множества самодвойственных объектов. Мы покажем, что существует бесконечное множество семейств автополярных конических тел и многогранников в конусе $K=\mathbb R^d_+$, и получим алгоритм их построения. При $d=2$ он дает полную классификацию самодвойственных антинорм, в то время как при $d\ge 3$ построены соответствующие контрпримеры. Библиография: 29 названий.