Характеры классических групп, функции типа Шура и дискретные сплайны

Обложка
  • Авторы: Ольшанский Г.И.1,2,3
  • Учреждения:
    1. Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской академии наук
    2. Сколковский институт науки и технологий, территория Инновационного Центра "Сколково"
    3. Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
  • Выпуск: Том 214, № 11 (2023)
  • Страницы: 89-132
  • Раздел: Статьи
  • URL: https://bakhtiniada.ru/0368-8666/article/view/147924
  • DOI: https://doi.org/10.4213/sm9905
  • ID: 147924

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Мы изучаем спектральную задачу, связанную с конечномерными характерами групп $Sp(2N)$, $SO(2N+1)$ и $SO(2N)$, образующих классические серии $\mathcal C$, $\mathcal B$ и $\mathcal D$ соответственно. Неприводимые характеры этих трех серий задаются симметрическими полиномами от $N$ переменных. Спектральная задача, о которой идет речь, состоит в разложении характеров при их ограничении на подгруппы того же типа, но меньшего ранга $K< N$.Основной результат работы – вывод явных детерминантных формул для коэффициентов разложения.

В действительности мы первоначально вычисляем эти коэффициенты в большей общности – для многомерных полиномов Якоби, зависящих от двух непрерывных параметров. Затем мы показываем, что формулы кардинально упрощаются в трех специальных случаях, когда полиномы Якоби отвечают характерам серий $\mathcal C$, $\mathcal B$ и $\mathcal D$. В частности, мы показываем, что тогда эти коэффициенты задаются кусочно полиномиальными функциями. Именно здесь возникает связь с дискретными сплайнами

.Для характеров серии $\mathcal A$ (т.е. для характеров унитарных группU(N)) аналогичные результаты были ранее получены А. Бородиным и авто-ром [5], а затем передоказаны другим методом Л. Петровым [39]. Случай симплектических и ортогональных характеров является более сложным.

Об авторах

Григорий Иосифович Ольшанский

Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской академии наук; Сколковский институт науки и технологий, территория Инновационного Центра "Сколково"; Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"

Автор, ответственный за переписку.
Email: olsh2007@gmail.com
доктор физико-математических наук

Список литературы

  1. M. Aissen, I. J. Schoenberg, A. M. Whitney, “On the generating functions of totally positive sequences. I”, J. Anal. Math., 2 (1952), 93–103
  2. Р. Аски, Р. Рой, Дж. Эндрюс, Специальные функции, МЦНМО, М., 2013, 651 с.
  3. W. N. Bailey, Generalized hypergeometric series, Cambridge Tracts in Math. and Math. Phys., 32, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1935, vii+108 pp.
  4. S. Billey, V. Guillemin, E. Rassart, “A vector partition function for the multiplicities of $mathfrak{sl}_kmathbb C$”, J. Algebra, 278:1 (2004), 251–293
  5. A. Borodin, G. Olshanski, “The boundary of the Gelfand–Tsetlin graph: a new approach”, Adv. Math., 230:4-6 (2012), 1738–1779
  6. A. Borodin, G. Olshanski, “The Young bouquet and its boundary”, Mosc. Math. J., 13:2 (2013), 193–232
  7. A. Borodin, G. Olshanski, Representations of the infinite symmetric group, Cambridge Stud. Adv. Math., 160, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2017, vii+160 pp.
  8. R. P. Boyer, “Characters and factor representations of the infinite dimensional classical groups”, J. Operator Theory, 28:2 (1992), 281–307
  9. Yu. A. Brychkov, Handbook of special functions. Derivatives, integrals, series and other formulas, CRC Press, Boca Raton, FL, 2008, xx+680 pp.
  10. G. Budakçi, H. Oruç, “Further properties of quantum spline spaces”, Mathematics, 8:10 (2020), 1770, 10 pp.
  11. H. B. Curry, I. J. Schoenberg, “On Polya frequency functions. IV. The fundamental spline functions and their limits”, J. Anal. Math., 17 (1966), 71–107
  12. M. Defosseux, “Orbit measures, random matrix theory and interlaced determinantal processes”, Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat., 46:1 (2010), 209–249
  13. A. Edrei, “On the generating functions of totally positive sequences. II”, J. Anal. Math., 2 (1952), 104–109
  14. A. Edrei, “On the generating function of a doubly infinite, totally positive sequence”, Trans. Amer. Math. Soc., 74 (1953), 367–383
  15. Г. Бэйтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, Наука, М., 1966, 295 с.
  16. J. Faraut, “Rayleigh theorem, projection of orbital measures and spline functions”, Adv. Pure Appl. Math., 6:4 (2015), 261–283
  17. I. Gessel, D. Stanton, “Strange evaluations of hypergeometric series”, SIAM J. Math. Anal., 13:2 (1982), 295–308
  18. V. Gorin, “The $q$-Gelfand–Tsetlin graph, Gibbs measures and $q$-Toeplitz matrices”, Adv. Math., 229:1 (2012), 201–266
  19. V. Gorin, G. Olshanski, “A quantization of the harmonic analysis on the infinite-dimensional unitary group”, J. Funct. Anal., 270:1 (2016), 375–418
  20. V. Gorin, G. Panova, “Asymptotics of symmetric polynomials with applications to statistical mechanics and representation theory”, Ann. Probab., 43:6 (2015), 3052–3132
  21. G. Heckman, G. Schlichtkrull, Harmonic analysis and special functions on symmetric spaces, Perspect. Math., 16, Academic Press, Inc., San Diego, CA, 1994, xii+225 pp.
  22. S. Kerov, A. Okounkov, G. Olshanski, “The boundary of the Young graph with Jack edge multiplicities”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 1998:4 (1998), 173–199
  23. C. Krattenthaler, K. Srinivasa Rao, “Automatic generation of hypergeometric identities by the beta integral method”, J. Comput. Appl. Math., 160:1-2 (2003), 159–173
  24. M. Lassalle, “Polynômes de Jacobi generalises”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 312:6 (1991), 425–428
  25. F. W. Lawvere, The category of probabilistic mappings, 1962
  26. I. G. Macdonald, “Schur functions: theme and variations”, Sminaire Lotharingien de combinatoire, 28th session (Saint-Nabor, 1992), Publ. Inst. Rech. Math. Av., Univ. Louis Pasteur, Dep. Math., Inst. Rech. Math. Av., Strasbourg, 1992, 5–39
  27. A. I. Molev, “Comultiplication rules for the double Schur functions and Cauchy identities”, Electron. J. Combin., 16:1 (2009), R13, 44 pp.
  28. J. Nakagawa, M. Noumi, M. Shirakawa, Y. Yamada, “Tableau representation for Macdonald's ninth variation of Schur functions”, Physics and combinatorics, 2000 (Nagoya), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2001, 180–195
  29. А. Окуньков, Г. Ольшанский, “Сдвинутые функции Шура”, Алгебра и анализ, 9:2 (1997), 73–146
  30. A. Okounkov, G. Olshanski, “Shifted Schur functions. II. The binomial formula for characters of classical groups and its applications”, Kirillov's seminar on representation theory, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 181, Adv. Math. Sci., 35, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, 245–271
  31. A. Okounkov, G. Olshanski, “Asymptotics of Jack polynomials as the number of variables goes to infinity”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 1998:13 (1998), 641–682
  32. A. Okounkov, G. Olshanski, “Limits of $BC$-type orthogonal polynomials as the number of variables goes to infinity”, Jack, Hall–Littlewood and Macdonald polynomials, Contemp. Math., 417, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006, 281–318
  33. G. Olshanski, “Projections of orbital measures, Gelfand–Tsetlin polytopes, and splines”, J. Lie Theory, 23:4 (2013), 1011–1022
  34. Г. И. Ольшанский, “Унитарные представления бесконечномерных классических групп $U(p,infty)$, $SO_0(p,infty)$, $Sp(p, infty)$ и соответствующих групп движений”, Функц. анализ и его прил., 12:3 (1978), 32–44
  35. G. Olshanski, “The Gelfand–Tsetlin graph and Markov processes”, Proceedings of the international congress of mathematicians (Seoul, 2014), v. IV, Kyung Moon Sa, Seoul, 2014, 431–453
  36. Г. И. Ольшанский, “Расширенный граф Гельфанда–Цетлина, его $q$-граница и $q$-B-сплайны”, Функц. анализ и его прил., 50:2 (2016), 31–60
  37. G. Olshanski, “Interpolation Macdonald polynomials and Cauchy-type identities”, J. Combin. Theory Ser. A, 162 (2019), 65–117
  38. G. Olshanski, A. Vershik, “Ergodic unitarily invariant measures on the space of infinite Hermitian matrices”, Contemporary mathematical physics, F. A. Berezin memorial volume, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 175, Adv. Math. Sci., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996, 137–175
  39. L. Petrov, “The boundary of the Gelfand–Tsetlin graph: new proof of Borodin–Olshanski's formula, and its $q$-analogue”, Mosc. Math. J., 14:1 (2014), 121–160
  40. D. Pickrell, “Separable representations for automorphism groups of infinite symmetric spaces”, J. Funct. Anal., 90:1 (1990), 1–26
  41. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев, Интегралы и ряды. Дополнительные главы, Наука, M., 1986, 800 с.
  42. E. M. Rains, Letter to the author, June 13, 2013
  43. E. Rassart, “A polynomiality property for Littlewood–Richardson coefficients”, J. Combin. Theory Ser. A, 107:2 (2004), 161–179
  44. I. J. Schoenberg, “Metric spaces and completely monotone functions”, Ann. of Math. (2), 39:4 (1938), 811–841
  45. I. J. Schoenberg, “On Polya frequency functions. I. The totally positive functions and their Laplace transforms”, J. Anal. Math., 1 (1951), 331–374
  46. L. L. Schumaker, Spline functions: basic theory, Cambridge Math. Lib., 3rd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007, xvi+582 pp.
  47. A. N. Sergeev, A. P. Veselov, “Jacobi–Trudy formula for generalized Schur polynomials”, Mosc. Math. J., 14:1 (2014), 161–168
  48. P. Simeonov, R. Goldman, “Quantum B-splines”, BIT, 53:1 (2013), 193–223
  49. L. J. Slater, Generalized hypergeometric functions, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1966, xiii+273 pp.
  50. Г. Сеге, Ортогональные многочлены, Физматгиз, М., 1962, 500 с.
  51. E. Thoma, “Die unzerlegbaren, positive-definiten Klassenfunktionen der abzählbar unendlichen, symmetrischen Gruppe”, Math. Z., 85 (1964), 40–61
  52. А. М. Вершик, С. В. Керов, “Асимптотическая теория характеров симметрической группы”, Функц. анализ и его прил., 15:4 (1981), 15–27
  53. А. М. Вершик, С. В. Керов, “Характеры и фактор-представления бесконечной унитарной группы”, Докл. АН СССР, 267:2 (1982), 272–276
  54. D. Voiculescu, “Representations factorielles de type $II_1$ de $U(infty)$”, J. Math. Pures Appl. (9), 55:1 (1976), 1–20
  55. J. A. Wilson, Hypergeometric series recurrence relations and some new orthogonal functions, Ph.D. Thesis, Univ. of Wisconsin, Madison, WI, 1978, 67 pp.
  56. A. Zhedanov, “Biorthogonal rational functions and the generalized eigenvalue problem”, J. Approx. Theory, 101:2 (1999), 303–329
  57. Д. П. Желобенко, Компактные группы Ли и их представления, Наука, М., 1970, 664 с.
  58. Д. И. Зубов, “Проекции орбитальных мер для классических групп Ли”, Функц. анализ и его прил., 50:3 (2016), 76–81

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Ольшанский Г.И., 2023

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».