Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 210, № 4 (2019)
Асимптотика собственных чисел длинных пластин Кирхгофа с защемленными краями
Аннотация
Построены асимптотические разложения собственных чисел и функций задачи Дирихле для бигармонического оператора в тонких областях (пластины Кирхгофа с защемленными краями). Для прямоугольной пластины главные члены асимптотически определяются из задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, а для $\mathsf T$-образного сочленения пластин – из другой предельной задачи в бесконечном волноводе, полученном объединением трех полуполос в форме литеры $\mathsf T$ и описывающем явление пограничного слоя. Сформулированы открытые вопросы, на которые разработанный метод не предоставил ответов. Библиография: 33 названия.
Математический сборник. 2019;210(4):3-26
3-26
Группы гомеоморфизмов прямой и окружности. Критерии почти нильпотентности
Аннотация
В представленной работе для конечно порожденных групп гомеоморфизмов прямой и окружности в терминах свободных подполугрупп с двумя образующими и условия максимальности установлен критерий почти нильпотентности. Ранее автором для конечно порожденных групп диффеоморфизмов прямой и окружности гладкости $C^{(1)}$ с взаимно трансверсальными элементами в терминах свободных подполугрупп с двумя образующими также были установлены критерии почти нильпотентности. Более того, в случае групп диффеоморфизмов удалось получить структурные теоремы, показать типичность ряда характеристик таких групп. Установлено, что в пространстве всех конечно порожденных групп диффеоморфизмов гладкости $C^{(1)}$ с заданным числом образующих множество групп с взаимно трансверсальными элементами содержит счетное пересечение открытых всюду плотных подмножеств (массивное множество). В работе Наваса для конечно порожденных групп диффеоморфизмов интервала гладкости $C^{(1+\alpha)}$, $\alpha>0$, в терминах свободных подполугрупп с двумя образующими также был установлен критерий почти нильпотентности.Библиография: 21 название.
Математический сборник. 2019;210(4):27-40
27-40
Основания $(2n, k)$-многообразий
Аннотация
В центре внимания работы система аксиом, на основе которых вводятся структурные данные $(2n,k)$-многообразий $M^{2n}$, где $M^{2n}$ – гладкое компактное $2n$-мерное многообразие с гладким эффективным действием $k$-мерного тора $T^k$. Дана конструкция в терминах этих данных модельного пространства $\mathfrak{E}$ с действием тора $T^k$ такого,что имеет место $T^k$-эквивариантный гомеоморфизм $\mathfrak{E} \to M^{2n}$,индуцирующий гомеоморфизм $\mathfrak{E}/T^k \to M^{2n}/T^k$.Число $d=n-k$ называется сложностью $(2n,k)$-многообразия.Наша теория охватывает торическую геометрию и торическую топологию при $d=0$. Показано, что класс однородных пространств $G/H$ компактных групп Ли, где $\operatorname{rk} G=\operatorname{rk} H$, содержит $(2n,k)$-многообразия ненулевой сложности.Результаты продемонстрированы на комплексных многообразиях Грассмана $G_{k+1,q}$ с эффективным действием тора $T^k$.Библиография: 23 названия.
Математический сборник. 2019;210(4):41-86
41-86
Сходимость процессов сплайн-интерполяции и обусловленность систем уравнений построения сплайнов
Аннотация
Работа продолжает исследования по изучению сходимости процессов интерполяции классическими полиномиальными сплайнами нечетной степени. Доказано, что вопрос о хорошей обусловленности системы уравнений для построения интерполяционного сплайна через коэффициенты разложения $k$-й производной по $B$-сплайнам эквивалентен вопросу сходимости процесса интерполяции для $k$-й производной сплайна в классе функций с непрерывной $k$-й производной. Установлено, что при интерполяции сплайнами степени $2n-1$ условия ограниченности проекторов, соответствующих производным порядков $k$ и $2n-1-k$, эквивалентны. Библиография: 26 названий.
Математический сборник. 2019;210(4):87-102
87-102
Линейная совместная коллокационная аппроксимация для параметрических и стохастических эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными
Аннотация
Рассмотрим параметрическую эллиптическую задачу $$- \operatorname{div}(a(y)(x)\nabla u(y)(x))=f(x),\qquad x \in D, \quad y \in {\mathbb I}^\infty, \quad u|_{\partial D}=0, $$ где $D \subset \mathbb R^m$ – ограниченная липшицева область, ${\mathbb I}^\infty:=[-1,1]^\infty$, $f \in L_2(D)$ и коэффициенты диффузии $a$ удовлетворяют условию равномерной эллиптичности и аффинно зависят от $y$. Параметр $y$ может быть детерминированной или случайной величиной. Основная задача, изучением которой мы будем заниматься в настоящей работе, состоит в следующем. Предположим, что имеется последовательность аппроксимаций с некоторой скоростью сходимости погрешности в энергетической норме пространства $V:=H^1_0(D)$ для непараметрической задачи $- \operatorname{div} (a(y_0)(x)\nabla u(y_0)(x))=f(x)$ в каждой точке $y_0 \in {\mathbb I}^\infty$. При каких условиях эта последовательность будет индуцировать последовательность аппроксимаций с той же скоростью сходимости погрешности для параметрической эллиптической задачи в норме пространств Бохнера $L_\infty({\mathbb I}^\infty,V)$? Мы решили эту задачу линейными совместными коллокационными методами на основе интерполяции многочленами Лагранжа в области параметра ${\mathbb I}^\infty$. Мы покажем, что при очень слабых условиях эти методы аппроксимации дают ту же скорость сходимости погрешности, что и для непараметрической эллиптической задачи. В этом смысле линейные методы нивелируют проклятие размерности. Библиография: 22 названия.
Математический сборник. 2019;210(4):103-127
103-127
128-144
Эквивалентность тригонометрической системы и ее возмущений в пространствах $L^p$ и $C$
Аннотация
Пусть $B=B[-\pi,\pi]$ – какое-нибудь из пространств $L^p(-\pi,\pi)$, $1\leq p< \infty$, $p\neq 2$, $C[-\pi,\pi]$, пусть $B_a=B[-\pi+a, \pi+a]$, $a\in\mathbb{R}$. Получен ряд условий (как необходимых, так и достаточных) для того, чтобы “возмущенная тригонометрическая система” $e^{i(n+\alpha_n)t}$, $n\in\mathbb{Z}$, была эквивалентна тригонометрической системе $e^{int}$, $n\in\mathbb{Z}$, в $B_a$ при любом $a\in\mathbb{R}$. В частности, показано, что если $(\alpha_n)\in l^s$, где $1/s=|1/p-1/2|$, то указанная эквивалентность имеет место, причем показатель $s$ является точным. С использованием (в том числе) этого результата доказано существование в $L^p(-\pi,\pi)$, $1< p< 2$, базисов из экспонент, не являющихся эквивалентными тригонометрическому базису.
Доказательства основаны на применении мультипликаторов Фурье.
Библиография: 18 названий.
Математический сборник. 2019;210(4):145-164
145-164