Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 213, № 2 (2022)
- Год: 2022
- Статей: 6
- URL: https://bakhtiniada.ru/0368-8666/issue/view/7486
Топологическая классификация биллиардов в трехмерном евклидовом пространстве, ограниченных софокусными квадриками
Аннотация
Рассматриваются биллиарды на связных компактных столах в $\mathbb{R}^3$, ограниченных конечным числом софокусных квадрик и имеющих двугранные углы, равные ${\pi}/{2}$. Биллиарды в таких областях являются интегрируемыми, имея три первых интеграла, инволютивных внутри области. Введено два отношения эквивалентности: комбинаторная эквивалентность столов-областей, определяемая устройством их границы, и слабая эквивалентность соответствующих биллиардных систем на них. Выполнена классификация биллиардных столов в $\mathbb{R}^3$ относительно комбинаторной эквивалентности, получено 35 классов попарно неэквивалентных столов. Для каждого из полученных классов столов определен класс гомеоморфности неособого изоэнергетического 5-многообразия: либо $S^5$, либо $S^1\times S^4$, либо $S^2\times S^3$. Получено 24 класса попарно неэквивалентных (относительно слабой эквивалентности) слоений Лиувилля биллиардов на указанных столах в ограничении на неособый уровень энергии. Также определены атомы-бифуркации трехмерных торов, соответствующие дугам бифуркационной диаграммы.Библиография: 59 названий.
Математический сборник. 2022;213(2):3-36
3-36
37-49
Критерий гиперболичности одного класса диффеоморфизмов на бесконечномерном торе
Аннотация
На бесконечномерном торе $\mathbb{T}^{\infty} {=} E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}$, где $E$ – бесконечномерное вещественное банахово пространство, $\mathbb{Z}^{\infty}$ – абстрактная целочисленная решетка, рассматривается специальный класс диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Упомянутый класс состоит из отображений $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$, представляющих собой суммы линейных обратимых ограниченных операторов, сохраняющих решетку $\mathbb{Z}^{\infty}$, и $C^1$-гладких периодических добавок. Устанавливаются необходимые и достаточные условия, гарантирующие гиперболичность таких отображений (т.е. принадлежность их к диффеоморфизмам Аносова).Библиография: 15 названий.
Математический сборник. 2022;213(2):50-95
50-95
Решето И. М. Виноградова и оценка неполной суммы Клоостермана
Аннотация
За счет применения так называемого решета И. М. Виноградова уточняется оценка короткой суммы Клоостермана по простому модулю $q$. Число слагаемых в такой сумме может быть меньшим сколь угодно малой фиксированной степени $q$. Библиография: 26 названий.
Математический сборник. 2022;213(2):96-114
96-114
Значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на семействе графов, не являющихся графами пересечений хордовых диаграмм
Аннотация
Теорема Чмутова–Ландо утверждает, что значение весовой системы (функции на хордовых диаграммах, удовлетворяющей четырехчленным соотношениям Васильева), отвечающей алгебре Ли $\mathfrak{sl}_2$, зависит лишь от графа пересечений хордовой диаграммы.Мы вычисляем значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на графах нескольких бесконечных серий, представляющих собой соединение графа с малым числом вершин с дискретным графом. В частности, мы вычисляем эти значения для серии, в которой исходный граф является циклом на пяти вершинах; все графы этой серии, за исключением начального, не являются графами пересечений.Мы также выводим формулу для проекций производящих функций графов, представляющих собой соединение произвольного графа с дискретным, на подпространство примитивных элементов в алгебре Хопфа графов. Воспользовавшись полученной формулой, мы вычисляем значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекциях графов указанных серий на подпространство примитивных элементов. Наши вычисления подтверждают гипотезу С. К. Ландо о значениях $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекциях на подпространство примитивных.Библиография: 17 названий.
Математический сборник. 2022;213(2):115-148
115-148
Солнечность и связность множеств в пространстве $C[a,b]$ и конечномерных полиэдральных пространствах
Аннотация
Изучаются свойства обобщенных $n$-ломаных относительно монотонно линейных ограниченно компактных множеств в пространстве $C[a,b]$. Доказывается, что такие множества монотонно линейно связны и являются солнцами. Изучаются точки светимости множеств в полиэдральных пространствах, допускающих полунепрерывную снизу выборку из метрической проекции. Строится пример четырехмерного полиэдрального пространства и не $B$-связного солнца в нем. Библиография: 14 названий.
Математический сборник. 2022;213(2):149-166
149-166