On uniqueness of probability solutions of the Fokker-Planck-Kolmogorov equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The paper gives a solution to the long-standing problem of uniqueness for probability solutions to the Cauchy problem for the Fokker-Planck-Kolmogorov equation with an unbounded drift coefficient and unit diffusion coefficient. It is proved that in the one-dimensional case uniqueness holds and in all other dimensions it fails. The case of nonconstant diffusion coefficients is also investigated. Bibliography: 70 titles.

About the authors

Vladimir Igorevich Bogachev

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; HSE University

Email: vibogach@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Tikhon Ilich Krasovitskii

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics

without scientific degree, no status

Stanislav Valer'evich Shaposhnikov

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; HSE University

Email: shaposh.st@ru.net

References

  1. A. Albanese, L. Lorenzi, E. Mangino, “$L^p$-uniqueness for elliptic operators with unbounded coefficients in $mathbb{R}^N$”, J. Funct. Anal., 256:4 (2009), 1238–1257
  2. D. G. Aronson, “Non-negative solutions of linear parabolic equations”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (3), 22 (1968), 607–694
  3. D. G. Aronson, P. Besala, “Uniqueness of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations”, J. Math. Anal. Appl., 13:3 (1966), 516–526
  4. A. Attalienti, M. Campiti, “Semigroups generated by ordinary differential operators in $L^1(I)$”, Positivity, 8:1 (2004), 11–30
  5. Е. А. Бадерко, “О разрешимости граничных задач для параболических уравнений высокого порядка в областях с криволинейными боковыми границами”, Дифференц. уравнения, 12:10 (1976), 1781–1792
  6. В. И. Богачев, “Операторы и полугруппы Орнштейна–Уленбека”, УМН, 73:2(440) (2018), 3–74
  7. V. I. Bogachev, G. Da Prato, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “On the uniqueness of solutions to continuity equations”, J. Differential Equations, 259:8 (2015), 3854–3873
  8. В. И. Богачев, Т. И. Красовицкий, С. В. Шапошников, “О неединственности вероятностных решений двумерного стационарного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова”, Докл. РАН, 482:5 (2018), 489–493
  9. V. I. Bogachev, N. V. Krylov, M. Röckner, “On regularity of transition probabilities and invariant measures of singular diffusions under minimal conditions”, Comm. Partial Differential Equations, 26:11-12 (2001), 2037–2080
  10. В. И. Богачев, Н. В. Крылов, М. Рeкнер, “Эллиптические и параболические уравнения для мер”, УМН, 64:6(390) (2009), 5–116
  11. В. И. Богачeв, Н. В. Крылов, М. Рeкнер, С. В. Шапошников, Уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2013, 592 с.
  12. В. И. Богачев, М. Рeкнер, С. В. Шапошников, “Глобальная регулярность и оценки решений параболических уравнений”, Теория вероятн. и ее примен., 50:4 (2005), 652–674
  13. В. И. Богачев, М. Рeкнер, С. В. Шапошников, “Оценки плотностей стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов”, Теория вероятн. и ее примен., 52:2 (2007), 240–270
  14. В. И. Богачев, М. Рeкнер, С. В. Шапошников, “Положительные плотности переходных вероятностей диффузионных процессов”, Теория вероятн. и ее примен., 53:2 (2008), 213–239
  15. В. И. Богачев, М. Рeкнер, С. В. Шапошников, “О проблемах единственности, связанных с уравнением Фоккера–Планка–Колмогорова для мер”, Проблемы матем. анализа, 61, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 9–42
  16. V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “On uniqueness of solutions to the Cauchy problem for degenerate Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, J. Evol. Equ., 13:3 (2013), 577–593
  17. В. И. Богачев, М. Рeкнер, С. В. Шапошников, “Проблемы единственности для вырожденных уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова”, Проблемы матем. анализа, 78, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2015, 31–46
  18. V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Distances between transition probabilities of diffusions and applications to nonlinear Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, J. Funct. Anal., 271:5 (2016), 1262–1300
  19. V. I. Bogachev, S. V. Shaposhnikov, “Representations of solutions to Fokker–Planck–Kolmogorov equations with coefficients of low regularity”, J. Evol. Equ., 20:2 (2020), 355–374
  20. A. Bove, B. Franchi, E. Obrecht, “Parabolic problems with mixed time dependent lateral conditions”, Comm. Partial Differential Equations, 7:11 (1982), 1253–1288
  21. A. Bove, B. Franchi, E. Obrecht, “Boundary value problems with mixed lateral conditions for parabolic operators”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 131 (1982), 375–413
  22. A. S. Cherny, “On the strong and weak solutions of stochastic differential equations governing Bessel processes”, Stochastics Stochastics Rep., 70:3-4 (2000), 213–219
  23. A. S. Cherny, H.-J. Engelbert, Singular stochastic differential equations, Lecture Notes in Math., 1858, Springer-Verlag, Berlin, 2005, viii+128 pp.
  24. A. Eberle, Uniqueness and non-uniqueness of semigroups generated by singular diffusion operators, Lecture Notes in Math., 1718, Springer-Verlag, Berlin, 1999, viii+262 pp.
  25. A. Eberle, “$L^p$ uniqueness of non-symmetric diffusion operators with singular drift coefficients. I. The finite-dimensional case”, J. Funct. Anal., 173:2 (2000), 328–342
  26. Г. М. Фатеева, “Краевые задачи для квазилинейных вырождающихся уравнений параболического типа”, УМН, 22:3(135) (1967), 244–245
  27. Г. М. Фатеева, “О краевых задачах для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений”, Матем. сб., 76(118):4 (1968), 537–565
  28. В. Феллер, “К теории стохастических процессов (теоремы существования и единственности)”, УМН, 1938, № 5, 57–96
  29. W. Feller, “The parabolic differential equations and the associated semi-groups of transformations”, Ann. of Math. (2), 55:3 (1952), 468–519
  30. W. Feller, “Generalized second order differential operators and their lateral conditions”, Illinois J. Math., 1:4 (1957), 459–504
  31. G. Fichera, “On a unified theory of boundary value problems for elliptic parabolic equations of second order”, Boundary problems in differential equations, Univ. of Wisconsin Press, Madison, WI, 1960, 97–120
  32. A. Friedman, “On the uniqueness of the Cauchy problem for parabolic equations”, Amer. J. Math., 81:2 (1959), 503–511
  33. А. Фридман, Уравнения с частными производными параболического типа, Мир, М., 1968, 427 с.
  34. А. К. Гущин, “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с граничной функцией из $L_p$”, Матем. сб., 203:1 (2012), 3–30
  35. А. К. Гущин, “О разрешимости задачи Дирихле для неоднородного эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 206:10 (2015), 71–102
  36. А. К. Гущин, “О граничных значениях решений эллиптического уравнения”, Матем. сб., 210:12 (2019), 67–97
  37. E. Hille, “The abstract Cauchy problem and Cauchy's problem for parabolic differential equations”, J. Anal. Math., 3 (1954), 81–196
  38. K. Ishige, M. Murata, “Uniqueness of nonnegative solutions of the Cauchy problem for parabolic equations on manifolds or domains”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 30:1 (2001), 171–223
  39. А. В. Иванов, “Квазилинейные вырождающиеся и неравномерно эллиптические и параболические уравнения второго порядка”, Тр. МИАН СССР, 160, 1982, 3–285
  40. А. Н. Колмогоров, “Об аналитических методах в теории вероятностей”, УМН, 1938, № 5, 5–41
  41. А. Н. Колмогоров, “К теории непрерывных случайных процессов”, Теория вероятностей и математическая статистика, Наука, М., 1986, 149–161
  42. Т. И. Красовицкий, “Вырожденные эллиптические уравнения и неединственность решений уравнения Колмогорова”, Докл. РАН, 487:4 (2019), 361–364
  43. О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967, 736 с.
  44. C. Le Bris, P.-L. Lions, “Existence and uniqueness of solutions to Fokker–Planck type equations with irregular coefficients”, Comm. Partial Differential Equations, 33:7-9 (2008), 1272–1317
  45. L. D. Lemle, “On the $L^{infty}$-uniqueness of symmetric diffusion operators on complete non-compact Riemannian manifolds”, J. Geom. Anal., 25:4 (2015), 2375–2385
  46. G. M. Lieberman, “A mostly elementary proof of Morrey space estimates for elliptic and parabolic equations with VMO coefficients”, J. Funct. Anal., 201:2 (2003), 457–479
  47. O. A. Manita, S. V. Shaposhnikov, “On the Cauchy problem for Fokker–Planck–Kolmogorov equations with potential terms on arbitrary domains”, J. Dynam. Differential Equations, 28:2 (2016), 493–518
  48. P. J. Mendez-Hernandez, M. Murata, “Semismall perturbations, semi-intrinsic ultracontractivity, and integral representations of nonnegative solutions for parabolic equations”, J. Funct. Anal., 257:6 (2009), 1799–1827
  49. G. Metafune, D. Pallara, M. Wacker, “Feller semigroups on $mathbf R^N$”, Semigroup Forum, 65:2 (2002), 159–205
  50. M. Murata, “Non-uniqueness of the positive Cauchy problem for parabolic equations”, J. Differential Equations, 123:2 (1995), 343–387
  51. О. А. Олейник, Е. В. Радкевич, Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой, Изд-во Моск. ун-та, М., 2010, 359 с.
  52. Y. Pinchover, “On uniqueness and nonuniqueness of the positive Cauchy problem for parabolic equations with unbounded coefficients”, Math. Z., 223:4 (1996), 569–586
  53. Y. Pinchover, “Topics in the theory of positive solutions of second-order elliptic and parabolic partial differential equations”, Spectral theory and mathematical physics: a Festschrift in honor of Barry Simon's 60th birthday, Part 1, Proc. Sympos. Pure Math., 76, Part 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, 329–355
  54. M. H. Protter, H. F. Weinberger, Maximum principles in differential equations, Corr. reprint of the 1967 original, Springer-Verlag, New York, 1984, x+261 pp.
  55. Е. В. Радкевич, “Вторая краевая задача для уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1967, № 4, 3–11
  56. D. Revuz, M. Yor, Continuous martingales and Brownian motion, Grundlehren Math. Wiss., 293, 3rd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1999, xiv+602 pp.
  57. G. Savare, “Parabolic problems with mixed variable lateral conditions: an abstract approach”, J. Math. Pures Appl. (9), 76:4 (1997), 321–351
  58. S. Sawyer, “A Fatou theorem for the general one-dimensional parabolic equation”, Indiana Univ. Math. J., 24:5 (1974/75), 451–498
  59. С. В. Шапошников, “О единственности интегрируемых и вероятностных решений задачи Коши для уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова”, Докл. РАН, 439:3 (2011), 323–328
  60. С. В. Шапошников, “О единственности вероятностного решения задачи Коши для уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова”, Теория вероятн. и ее примен., 56:1 (2011), 77–99
  61. Г. Н. Смирнова, “О классах единственности решения задачи Коши для параболических уравнений”, Докл. АН СССР, 153:6 (1963), 1269–1272
  62. Г. Н. Смирнова, “Задачи Коши для параболических уравнений, вырождающихся на бесконечности”, Матем. сб., 70(112):4 (1966), 591–604
  63. В. А. Солонников, “О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида”, Краевые задачи математической физики. 3. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида, Тр. МИАН СССР, 83, 1965, 3–163
  64. W. Stannat, “(Nonsymmetric) Dirichlet operators on $L^1$: existence, uniqueness and associated Markov processes”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 28:1 (1999), 99–140
  65. A. Tychonoff, “Theorèmes d'unicite pour l'equation de la chaleur”, Матем. сб., 42:2 (1935), 199–216
  66. А. Д. Вентцель, “Полугруппы операторов, соответствующие обобщенному дифференциальному оператору второго порядка”, Докл. АН СССР, 111:2 (1956), 269–272
  67. А. Д. Вентцель, “О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов”, Теория вероятн. и ее примен., 4:2 (1959), 172–185
  68. D. V. Widder, “Positive temperatures on an infinite rod”, Trans. Amer. Math. Soc., 55 (1944), 85–95
  69. Liming Wu, Yiping Zhang, “A new topological approach to the $L^infty$-uniqueness of operators and the $L^1$-uniqueness of Fokker–Planck equations”, J. Funct. Anal., 241:2 (2006), 557–610
  70. K. Yosida, “Integration of Fokker–Planck's equation in a compact Riemannian space”, Ark. Mat., 1 (1949), 71–75

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Богачев В.I., Красовицкий Т.I., Шапошников С.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».