Отправить статью по E-mail Лакуны в спектре тонкостенного прямоугольного бесконечного короба Дирихле с периодическим семейством перегородок
- Авторы: Назаров С.А.1
-
Учреждения:
- Институт проблем машиноведения РАН
- Выпуск: Том 214, № 7 (2023)
- Страницы: 91-133
- Раздел: Статьи
- URL: https://bakhtiniada.ru/0368-8666/article/view/133540
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm9868
- ID: 133540
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
Рассматривается спектральная задача Дирихле для оператора Лапласа в бесконечном тонкостенном прямоугольном коробе с периодическим семейством перегородок, толщина которых пропорциональна толщине стенок. При помощи асимптотического анализа доказано раскрытие лакун в спектре при “тонких” или “достаточно толстых” перегородках, для которых относительная толщина ограничена сверху или снизу некоторыми характеристиками модельных задач Дирихле в $\mathsf L$- и $\mathsf T$-образных областях на плоскости и объединении взаимно перпендикулярных двух половин и одной четверти пространственных слоев. Сформулированы многочисленные открытые вопросы, в частности, из-за отсутствия информации о пороговых резонансах в трехмерной модельной задаче осталась неизученной структура спектра в случае перегородок всех промежуточных толщин. Библиография: 35 названий.
Об авторах
Сергей Александрович Назаров
Институт проблем машиноведения РАН
Автор, ответственный за переписку.
Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
- М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т. 3, Теория рассеяния, Мир, М., 1982, 445 с.
- П. А. Кучмент, “Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных”, УМН, 37:4(226) (1982), 3–52
- М. М. Скриганов, “Геометрические и арифметические методы в спектральной теории многомерных периодических операторов”, Тр. МИАН СССР, 171, Наука, Л., 1985, 3–122
- С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей, Наука, М., 1991, 336 с.
- P. Kuchment, Floquet theory for partial differential equations, Oper. Theory Adv. Appl., 60, Birchäuser Verlag, Basel, 1993, xiv+350 pp.
- О. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики, Наука, М., 1973, 407 с.
- Ж.-Л. Лионс, Э. Мадженес, Неоднородные граничные задачи и их приложения, Мир, М., 1971, 371 с.
- М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1980, 264 с.
- Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972, 740 с.
- W. G. Mazja, S. A. Nasarow, B. A. Plamenewski, Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten, v. 1, Math. Lehrbucher und Monogr., 82, Akademie-Verlag, Berlin, 1991, 432 pp.
- M. Dauge, Y. Lafranche, T. Ourmières-Bonafos, “Dirichlet spectrum of the Fichera layer”, Integral Equations Operator Theory, 90:5 (2018), 60, 41 pp.
- F. L. Bakharev, A. I. Nazarov, “Existence of the discrete spectrum in the Fichera layers and crosses of arbitrary dimension”, J. Funct. Anal., 281:4 (2021), 109071, 19 pp.
- Г. Фикера, “Асимптотическое поведение электрического поля и плотности электрического заряда в окрестности сингулярных точек проводящей поверхности”, УМН, 30:3(183) (1975), 105–124
- P. Exner, P. Šeba, P. Štoviček, “On existence of a bound state in an $L$-shaped waveguide”, Czechoslovak J. Phys. B, 39:11 (1989), 1181–1191
- И. В. Камоцкий, C. А. Назаров, “О собственных функциях, локализованных около кромки тонкой области”, Проблемы матем. анализа, 19, № 1, Научная книга, Новосибирск, 1999, 105–148
- С. А. Назаров, “Дискретный спектр коленчатых, разветвляющихся и периодических волноводов”, Алгебра и анализ, 23:2 (2011), 206–247
- S. A. Nazarov, A. V. Shanin, “Trapped modes in angular joints of 2D waveguides”, Appl. Anal., 93:3 (2014), 572–582
- С. А. Назаров, “Локализованные волны в $T$-образном волноводе”, Акустический журн., 56:6 (2010), 747–758
- С. А. Назаров, “О спектре оператора Лапласа на бесконечной лестнице Дирихле”, Алгебра и анализ, 23:6 (2011), 144–177
- S. Molchanov, B. Vainberg, “Scattering solutions in networks of thin fibers: small diameter asymptotics”, Comm. Math. Phys., 273:2 (2007), 533–559
- D. Grieser, “Spectra of graph neighborhoods and scattering”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 97:3 (2008), 718–752
- С. А. Назаров, “Пороговые резонансы и виртуальные уровни в спектре цилиндрических и периодических волноводов”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:6 (2020), 73–130
- K. Pankrashkin, “Eigenvalue inequalities and absence of threshold resonances for waveguide junctions”, J. Math. Anal. Appl., 449:1 (2017), 907–925
- Ф. Л. Бахарев, С. А. Назаров, “Критерии отсутствия и наличия ограниченных решений на пороге непрерывного спектра в объединении квантовых волноводов”, Алгебра и анализ, 32:6 (2020), 1–23
- С. А. Назаров, “Ограниченные решения в $mathrm{T}$-образном волноводе и спектральные свойства лестницы Дирихле”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 54:8 (2014), 1299–1318
- М. И. Вишик, Л. А. Люстерник, “Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром”, УМН, 12:5(77) (1957), 3–122
- S. A. Nazarov, “The Navier–Stokes problem in thin or long tubes with periodically varying cross-sections”, ZAMM Z. Angew. Math. Mech., 80:9 (2000), 591–612
- Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер, Уравнения с частными производными, Мир, М., 1966, 351 с.
- И. В. Камоцкий, С. А. Назаров, “Экспоненциально затухающие решения задачи о дифракции на жесткой периодической решетке”, Матем. заметки, 73:1 (2003), 138–140
- Ф. Л. Бахарев, С. Г. Матвеенко, С. А. Назаров, “Дискретный спектр крестообразных волноводов”, Алгебра и анализ, 28:2 (2016), 58–71
- В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский, “Оценки в $L_p$ и в классах Гельдера и принцип максимума Миранда–Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе”, Math. Nachr., 81:1 (1978), 25–82
- В. А. Кондратьев, “Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками”, Тр. ММО, 16, Изд-во Моск. ун-та, М., 1967, 209–292
- V. A. Kozlov, V. G. Maz'ya, J. Rossmann, Elliptic boundary value problems in domains with point singularities, Math. Surveys Monogr., 52, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, x+414 pp.
- С. А. Назаров, “Асимптотика решения краевой задачи в тонком цилиндре с негладкой боковой поверхностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 57:1 (1993), 202–239
- G. Kirchhoff, “Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich dünnen elastischen Stabes”, J. Reine Angew. Math., 1859:56 (1859), 285–313
Дополнительные файлы
