Uniform convergence and asymptotics for problems in domains finely perforated along a prescribed manifold in the case of the homogenized Dirichlet condition

封面

如何引用文章

全文:

开放存取 开放存取
受限制的访问 ##reader.subscriptionAccessGranted##
受限制的访问 订阅存取

详细

A boundary value problem for a second-order elliptic equation with variable coefficients is considered in a multidimensional domain which is perforated by small holes along a prescribed manifold. Minimal natural conditions are imposed on the holes. In particular, all of these are assumed to be of approximately the same size and have a prescribed minimal distance to neighbouring holes, which is also a small parameter. The shape of the holes and their distribution along the manifold are arbitrary. The holes are divided between two sets in an arbitrary way. The Dirichlet condition is imposed on the boundaries of holes in the first set and a nonlinear Robin boundary condition is imposed on the boundaries of holes in the second. The sizes and distribution of holes with the Dirichlet condition satisfy a simple and easily verifiable condition which ensures that these holes disappear after homogenization and a Dirichlet condition on the manifold in question arises instead. We prove that the solution of the perturbed problem converges to the solution of the homogenized one in the $W_2^1$-norm uniformly with respect to the right-hand side of the equation, and an estimate for the rate of convergence that is sharp in order is deduced. The full asymptotic solution of the perturbed problem is also constructed in the case when the holes form a periodic set arranged along a prescribed hyperplane. Bibliography: 32 titles.

作者简介

Denis Borisov

Institute of Mathematics with Computing Centre — Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences; Bashkir State University; University of Hradec Králové

Email: borisovdi@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

Albina Mukhametrakhimova

Bashkir State Pedagogical University n. a. M. Akmulla

参考

  1. А. Г. Беляев, “Усреднение смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона в области, перфорированной вдоль границы”, в ст.: “Совместные заседания семинара имени И. Г. Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики и Московского математического общества (тринадцатая сессия, 2–5 февраля 1990 г.)”, УМН, 45:4(274) (1990), 123
  2. G. A. Chechkin, Yu. O. Koroleva, A. Meidell, L.-E. Persson, “On the Friedrichs inequality in a domain perforated aperiodically along the boundary. Homogenization procedure. Asymptotics for parabolic problems”, Russ. J. Math. Phys., 16:1 (2009), 1–16
  3. G. A. Chechkin, T. A. Chechkina, C. D'Apice, U. De Maio, “Homogenization in domains randomly perforated along the boundary”, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 12:4 (2009), 713–730
  4. M. Lobo, O. A. Oleinik, M. E. Perez, T. A. Shaposhnikova, “On homogenization of solutions of boundary value problems in domains, perforated along manifolds”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 25:3-4 (1997), 611–629
  5. М. Лобо, М. Е. Перес, В. В. Сухарев, Т. А. Шапошникова, “Об усреднении краевой задачи в области, перфорированной вдоль $(N-1)$-мерного многообразия с нелинейным краевым условием третьего типа на границе полостей”, Докл. РАН, 436:2 (2011), 163–167
  6. D. Gomez, E. Perez, T. A. Shaposhnikova, “On homogenization of nonlinear Robin type boundary conditions for cavities along manifolds and associated spectral problems”, Asymptot. Anal., 80:3-4 (2012), 289–322
  7. D. Gomez, M. Lobo, M. E. Perez, T. A. Shaposhnikova, “Averaging of variational inequalities for the Laplacian with nonlinear restrictions along manifolds”, Appl. Anal., 92:2 (2013), 218–237
  8. Y. Amirat, O. Bodard, G. A. Chechkin, A. L. Piatnitski, “Asymptotics of a spectral-sieve problem”, J. Math. Anal. Appl., 435:2 (2016), 1652–1671
  9. Р. Р. Гадыльшин, А. Л. Пятницкий, Г. А. Чечкин, “Об асимптотиках собственных значений краевой задачи в плоской области типа сита Стеклова”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:6 (2018), 37–64
  10. G. A. Chechkin, R. R. Gadyl'shin, C. D'Apice, U. De Maio, “On the Steklov problem in a domain perforated along a part of the boundary”, ESAIM Math. Model. Numer. Anal., 51:4 (2017), 1317–1342
  11. J. I. Diaz, D. Gomez-Castro, T. A. Shaposhnikova, M. N. Zubova, “Classification of homogenized limits of diffusion problems with spatially dependent reaction over critical-size particles”, Appl. Anal., 98:1-2 (2019), 232–255
  12. М. Ш. Бирман, “О процедуре усреднения для периодических операторов в окрестности края внутренней лакуны”, Алгебра и анализ, 15:4 (2003), 67–71
  13. М. Ш. Бирман, Т. А. Суслина, “Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения”, Алгебра и анализ, 15:5 (2003), 1–108
  14. В. В. Жиков, “Об операторных оценках в теории усреднения”, Докл. РАН, 403:3 (2005), 305–308
  15. С. Е. Пастухова, “Операторные оценки в нелинейных задачах повторного усреднения”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Труды МИАН, 261, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2008, 220–233
  16. D. Borisov, G. Cardone, “Homogenization of the planar waveguide with frequently alternating boundary conditions”, J. Phys. A., 42:36 (2009), 365205, 21 pp.
  17. D. Borisov, R. Bunoiu, G. Cardone, “On a waveguide with frequently alternating boundary conditions: homogenized Neumann condition”, Ann. Henri Poincare, 11:8 (2010), 1591–1627
  18. D. Borisov, R. Bunoiu, G. Cardone, “On a waveguide with an infinite number of small windows”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 349:1-2 (2011), 53–56
  19. Д. Борисов, Р. Бюнуау, Дж. Кардоне, “Усреднение и асимптотики для волновода с бесконечным числом близко расположенных малых окон”, Проблемы матем. анализа, 58, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 59–68
  20. D. Borisov, R. Bunoiu, G. Cardone, “Waveguide with non-periodically alternating Dirichlet and Robin conditions: homogenization and asymptotics”, Z. Angew. Math. Phys., 64:3 (2013), 439–472
  21. D. Borisov, G. Cardone, L. Faella, C. Perugia, “Uniform resolvent convergence for strip with fast oscillating boundary”, J. Differential Equations, 255:12 (2013), 4378–4402
  22. Т. Ф. Шарапов, “О резольвенте многомерных операторов с частой сменой краевых условий в случае усредненного условия Дирихле”, Матем. сб., 205:10 (2014), 125–160
  23. Д. И. Борисов, Т. Ф. Шарапов, “О резольвенте многомерных операторов с частой сменой краевых условий в случае третьего усредненного условия”, Проблемы матем. анализа, 83, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2015, 3–40
  24. D. Borisov, G. Cardone, T. Durante, “Homogenization and norm-resolvent convergence for elliptic operators in a strip perforated along a curve”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 146:6 (2016), 1115–1158
  25. А. М. Ильин, Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Наука, М., 1989, 336 с.
  26. J. Cheeger, “A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian”, Problems in analysis, In honor of S. Bochner, 1969, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1970, 195–199
  27. I. Chavel, Isoperimetric inequalities. Differential geometric and analytic perspectives, Cambridge Tracts in Math., 145, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2001, xii+268 pp.
  28. Ж.-Л. Лионс, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, Мир, М., 1972, 587 с.
  29. Д. И. Борисов, “Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном”, Матем. сб., 197:4 (2006), 3–32
  30. D. Borisov, P. Exner, R. Gadyl'shin, “Geometric coupling thresholds in a two-dimensional strip”, J. Math. Phys., 43:12 (2002), 6265–6278
  31. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, 2-е изд., Наука, М., 1973, 576 с.
  32. Д. И. Борисов, А. И. Мухаметрахимова, “О равномерной резольвентной сходимости для эллиптических операторов в многомерных областях с малыми отверстиями”, Проблемы матем. анализа, 92, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2018, 69–81

补充文件

附件文件
动作
1. JATS XML
下载

版权所有 © Borisov D.I., Mukhametrakhimova A.I., 2021

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).