On the heritability of the Sylow $\pi$-theorem by subgroups

Capa

Citar

Texto integral

Acesso aberto Acesso aberto
Acesso é fechado Acesso está concedido
Acesso é fechado Somente assinantes

Resumo

Let $\pi$ be a set of primes. We say that the Sylow $\pi$-theorem holds for a finite group $G$, or $G$ is a $\mathscr D_\pi$-group, if the maximal $\pi$-subgroups of $G$ are conjugate. Obviously, the Sylow $\pi$-theorem implies the existence of $\pi$-Hall subgroups. In this paper, we give an affirmative answer to Problem 17.44, (b), in the Kourovka notebook: namely, we prove that in a $\mathscr D_\pi$-group an overgroup of a $\pi$-Hall subgroup is always a $\mathscr D_\pi$-group. Bibliography: 52 titles.

Sobre autores

Evgeny Vdovin

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Novosibirsk State University

Email: vdovin@math.nsc.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

Nomina Manzaeva

Novosibirsk State University

Email: manzaeva@gmail.com

Danila Revin

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Novosibirsk State University

Email: revin@math.nsc.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

Bibliografia

  1. Z. Arad, D. Chillag, “$pi$-solvability and nilpotent Hall subgroups”, The Santa Cruz conference on finite groups (Univ. California, Santa Cruz, CA, 1979), Proc. Sympos. Pure Math., 37, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1980, 197–199
  2. Z. Arad, D. Chillag, “Finite groups containing a nilpotent Hall subgroup of even order”, Houston J. Math., 7:1 (1981), 23–32
  3. M. Aschbacher, “On the maximal subgroups of the finite classical groups”, Invent. Math., 76:3 (1984), 469–514
  4. M. Aschbacher, R. Lyons, S. D. Smith, R. Solomon, The classification of finite simple groups. Groups of characteristic $2$ type, Math. Surveys Monogr., 172, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, xii+347 pp.
  5. A. Beltran, M. J. Felipe, G. Malle, A. Moreto, G. Navarro, L. Sanus, R. Solomon, Pham Huu Tiep, “Nilpotent and abelian Hall subgroups in finite groups”, Trans. Amer. Math. Soc., 368:4 (2016), 2497–2513
  6. A. Borel, R. Carter, C. W. Curtis, N. Iwahori, T. A. Springer, R. Steinberg, Seminar on algebraic groups and related finite groups (Institute for Advanced Study, Princeton, NJ, 1968/69), Lecture Notes in Math., 131, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1970, viii+321 pp.
  7. С. А. Чунихин, “О разрешимых группах”, Изв. НИИММ Том. ун-та, 1938, № 2, 220–223
  8. С. А. Чунихин, “О подгруппах относительно разрешимых групп”, Докл. АН СССР, 58:7 (1947), 1295–1296
  9. С. А. Чунихин, “О $Pi$-отделимых группах”, Докл. АН СССР, 59:3 (1948), 443–445
  10. С. А. Чунихин, “О $Pi$-свойствах конечных групп”, Матем. сб., 25(67):3 (1949), 321–346
  11. D. Gorenstein, R. Lyons, The local structure of finite groups of characteristic $2$ type, Mem. Amer. Math. Soc., 42, no. 276, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983, vii+731 pp.
  12. D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon, The classification of the finite simple groups. Number 3. Part I. Chapter A. Almost simple $K$-groups, Math. Surveys Monogr., 40.3, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, xvi+419 pp.
  13. F. Gross, “Odd order Hall subgroups of $operatorname{GL}(n,q)$ and $operatorname{Sp}(2n,q)$”, Math. Z., 187:2 (1984), 185–194
  14. F. Gross, “On a conjecture of Philip Hall”, Proc. London Math. Soc. (3), 52:3 (1986), 464–494
  15. F. Gross, “On the existence of Hall subgroups”, J. Algebra, 98:1 (1986), 1–13
  16. F. Gross, “Conjugacy of odd order Hall subgroups”, Bull. London Math. Soc., 19:4 (1987), 311–319
  17. F. Gross, “Odd order Hall subgroups of the classical linear groups”, Math. Z., 220 (1995), 317–336
  18. Wenbin Guo, D. O. Revin, E. P. Vdovin, “Confirmation for Wielandt's conjecture”, J. Algebra, 434 (2015), 193–206
  19. Wenbin Guo, D. O. Revin, “Pronormality and submaximal $mathfrak{X}$-subgroups in finite groups”, Commun. Math. Stat., 6:3 (2018), 289–317
  20. P. Hall, “A note on soluble groups”, J. London Math. Soc., 3:2 (1928), 98–105
  21. P. Hall, “A characteristic property of soluble groups”, J. London Math. Soc., 12:3 (1937), 198–200
  22. P. Hall, “Theorems like Sylow's”, Proc. London Math. Soc. (3), 6:2 (1956), 286–304
  23. I. M. Isaacs, Finite group theory, Grad. Stud. Math., 92, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, xii+350 pp.
  24. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, 2-е изд., Наука, М., 1977, 240 с.
  25. P. Kleidman, M. Liebeck, The subgroup structure of the finite classical groups, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 129, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990, x+303 pp.
  26. M. W. Liebeck, J. Saxl, G. M. Seitz, “Subgroups of maximal rank in finite exceptional groups of Lie type”, Proc. London Math. Soc. (3), 65:2 (1992), 297–325
  27. M. W. Liebeck, G. M. Seitz, “Maximal subgroups of exceptional groups of Lie type, finite and algebraic”, Geom. Dedicata, 35:1-3 (1990), 353–387
  28. G. Malle, “The maximal subgroups of $ ^2F_4(q^2)$”, J. Algebra, 139:1 (1991), 52–69
  29. Н. Ч. Манзаева, “Решение проблемы Виланда для спорадических групп”, Сиб. электрон. матем. изв., 9 (2012), 294–305
  30. Н. Ч. Манзаева, “Наследуемость свойства $mathscr D_pi$ надгруппами $pi$-холловых подгрупп в случае, когда $2 {in} pi$”, Алгебра и логика, 53:1 (2014), 26–44
  31. A. Moreto, “Sylow numbers and nilpotent Hall subgroups”, J. Algebra, 379 (2013), 80–84
  32. The Kourovka notebook. Unsolved problems in group theory, 19th ed., eds. V. D. Mazurov, E. I. Khukhro, Rus. Acad. Sci. Sib. Branch Inst. Math., Novosibirsk, 2018, 248 pp.
  33. М. Н. Нестеров, “О пронормальности и сильной пронормальности холловых подгрупп”, Сиб. матем. журн., 58:1 (2017), 165–173
  34. Д. О. Ревин, “Свойство $mathscr D_pi$ в конечных простых группах”, Алгебра и логика, 47:3 (2008), 364–394
  35. Д. О. Ревин, “Вокруг гипотезы Ф. Холла”, Сиб. электрон. матем. изв., 6 (2009), 366–380
  36. D. O. Revin, E. P. Vdovin, “On the number of classes of conjugate Hall subgroups in finite simple groups”, J. Algebra, 324:12 (2010), 3614–3652
  37. R. Steinberg, “Automorphisms of finite linear groups”, Canad. J. Math., 12:4 (1960), 606–615
  38. R. Steinberg, Endomorphisms of linear algebraic groups, Mem. Amer. Math. Soc., 80, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968, 108 pp.
  39. M. L. Sylow, “Theorèmes sur les groupes de substitutions”, Math. Ann., 5:4 (1872), 584–594
  40. Е. П. Вдовин, Н. Ч. Манзаева, Д. О. Ревин, “О наследуемости свойства $D_pi$ подгруппами”, Тр. ИММ УрО РАН, 17, № 4, 2011, 44–52
  41. Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин, “Холловы подгруппы нечетного порядка в конечных группах”, Алгебра и логика, 41:1 (2002), 15–56
  42. D. O. Revin, E. P. Vdovin, “Hall subgroups of finite groups”, Ischia group theory 2004, Contemp. Math., 402, Israel Math. Conf. Proc., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006, 229–263
  43. Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин, “Теоремы силовского типа”, УМН, 66:5(401) (2011), 3–46
  44. Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин, “Пронормальность холловых подгрупп в конечных простых группах”, Сиб. матем. журн., 53:3 (2012), 527–542
  45. Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин, “О пронормальности холловых подгрупп”, Сиб. матем. журн., 54:1 (2013), 35–43
  46. Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин, “Существование пронормальных $pi$-холловых подгрупп в $E_pi$-группах”, Сиб. матем. журн., 56:3 (2015), 481–486
  47. A. J. Weir, “Sylow $p$-subgroups of the classical groups over finite fields with characteristic prime to $p$”, Proc. Amer. Math. Soc., 6:4 (1955), 529–533
  48. H. Wielandt, “Zum Satz von Sylow”, Math. Z., 60 (1954), 407–408
  49. H. Wielandt, “Entwicklungslinien in der Strukturtheorie der endlichen Gruppen”, Proc. Internat. Congress Math. 1958, Cambridge Univ. Press, New York, 1960, 268–278
  50. H. Wielandt, “Zum Satz von Sylow. II”, Math. Z., 71 (1959), 461–462
  51. H. Wielandt, “Zusammengesetzte Gruppen endlicher Ordnung”, Vorlesung an der Universität Tübingen im Wintersemester 1963/64, Mathematische Werke/Mathematical works, v. 1, Group theory, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1994, 607–656
  52. H. Wielandt, “Zusammengesetzte Gruppen: Hölder Programm heute”, The Santa Cruz conference on finite groups (Univ. California, Santa Cruz, CA, 1979), Proc. Sympos. Pure Math., 37, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1980, 161–173

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Declaração de direitos autorais © Vdovin E.P., Manzaeva N.C., Revin D.O., 2020

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».