Существование и единственность слабого решения интегро-дифференциального уравнения агрегации на римановом многообразии

На компактном римановом многообразии $\mathscr{M}$ рассматривается класс интегро-дифференциальных уравнений агрегации с нелинейным параболическим членом $b(x,u)_t$. Дивергентный член в уравнениях может вырождаться с потерей коэрцитивности и содержит нелинейности с переменными показателями. Краевое условие “непротекания” на границе $\partial\mathscr{M}\times[0,T]$ цилиндра $Q^T=\mathscr{M}\times[0,T]$ обеспечивает при отсутствии внешних источников сохранение “массы” $\displaystyle\int_\mathscr{M}b(x,u(x,t)) d\nu=\mathrm{const}$. В цилиндре $Q^T$ с достаточно малым $T$ доказано существование ограниченного решения смешанной задачи для уравнения агрегации. При дополнительных условиях доказано существование ограниченного решения задачи в цилиндре $Q^{\infty}=\mathscr{M}\times[0,\infty)$. Для уравнений вида $b(x,u)_t=\Delta A(x,u)-\operatorname{div}(b(x,u)\mathscr{G}(u))+f(x,u)$ с оператором Лапласа–Бельтрами $\Delta$ и интегральным оператором $\mathscr{G}(u)$ доказана единственность ограниченного решения смешанной задачи. Библиография: 26 названий.

уравнение агрегации на многообразии, существование решения, единственность решения