PT-symmetry and radiation structure of high-power laser diodes

Resumo

Possible conditions for the application of the quantum formalism of PT-symmetry in solving the wave equation in systems with pseudo-Hermitian Hamiltonian for determining the structure of the optical field and radiation spectra of modern high-power laser diodes are considered. The physical mechanisms affecting the spatial and spectral separation of radiation into separate generation channels are discussed.

Texto integral

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы проводились работы по исследованию излучения мощных лазерных диодов (МЛД) с широким контактом (ШК) и квантовой ямой (КЯ) [1–4], в которых исследовалась их деградация с течением времени наработки [5–12]. Было установлено, что определить ресурс конкретного МЛД и необходимость его замены на новый лазер можно по спектру, поляризации и когерентности его излучения [9, 10]. На этом основана возможная диагностика качества МЛД. Спектр излучения МЛД связан с пространственной структурой излучения прибора в ближнем поле. При этом он (спектр) медленно меняется со временем в процессе работы МЛД. Периодическое измерение и анализ спектра излучения приборов дают информацию о перспективах дальнейшей их работоспособности. Для этого требуется понимание того, как формируется распределение излучения в пределах лазерного резонатора МЛД. Следует учесть, что даже в идеальной структуре МЛД с ШК более 50 мкм при длине когерентности излучения в несколько сантиметров [13, 14] происходит распад излучения на каналы генерации (самоорганизация), не связанные между собой по фазе [15–19].

В данной работе мы обсуждаем возможности использования формализма РТ-симметрии для решения волноводной задачи (уравнения Гельмгольца) в лазерном планарном резонаторе со сложной структурой распределения комплексной диэлектрической проницаемости å(y) по латеральной оси резонатора (ось y). Это распределение при непрерывной генерации лазера определяется прежде всего нелинейной рефракцией и усилением в резонаторе. Вызвано это явление пространственным “выжиганием” неравновесных носителей N(y) посредством вынужденного излучения (лазерный эффект). В простейшем случае зависимость ε(N(y) имеет вид [11, 15, 18, 19]:

$\epsilon \left(N\right(y\left)\right)={\epsilon }^0-A_{\mathrm{нл}}N\left(y\right)+j\left(B_{\text{нл}}N\right(y)-F),$ (1)

где ε⁰, F — действительная и мнимая части эффективной диэлектрической проницаемости лазерного волновода без накачки, А_нл, В_нл — дифференциальные коэффициенты нелинейной рефракции и усиления. Отметим, что здесь рассматривается эффективная диэлектрическая проницаемость расширенного волновода МЛД, рассчитанная для фундаментальной трансверсальной моды (по оси x), перпендикулярной слоям лазерной структуры [1], методом эффективного показателя преломления [20].

РТ-СИММЕТРИЯ В ЛАЗЕРНОМ РЕЗОНАТОРЕ

Рассмотрение РТ-симметричных структур в оптике изложено в обзорах [21–23] и в ссылках к ним. В силу того, что МЛД с ШК в процессе генерации есть самоорганизующаяся оптическая система с компенсированными потерями, то в нем при определенных условиях также должны возникать РТ-симметричные пространственные моды.

Переход от квантово-механической задачи с одномерным стационарным уравнением Шредингера с PT-симметричным гамильтонианом происходит следующим образом. PT-симметричный псевдоэрмитовый гамильтониан имеет вид [21]:

$H(\overrightarrow{p},\overrightarrow{r},t)=H^{*}(\overrightarrow{p},-\overrightarrow{r},-t),$ (2)

где $\overrightarrow{\mathrm{p}}$ — импульс, $\overrightarrow{\mathrm{r}}$ — координаты частицы.

Для PT-симметричного гамильтониана частицы в потенциальном поле справедливо в частности:

$H=\frac{{\overrightarrow{p}}^2}{2m}+V\left(\overrightarrow{r}\right),$(3)

$\mathrm{V}\left(\overrightarrow{\mathrm{r}}\right)={\mathrm{V}}^{*}(-\overrightarrow{\mathrm{r}}),$(4)

где V($\overrightarrow{\mathrm{r}}$) — потенциальная энергия частицы.

При переходе к оптической задаче осуществляется замена соответствующих переменных и операторов: p²/2m → д²/ дy², V(y) → (ω/c)² · ε(y), E → β², где E — энергия частицы, β — продольная постоянная распространения оптического поля, c — скорость света в вакууме, ω — частота моды оптического излучения.

В волноводной и лазерной оптике для определения вида модовой структуры излучения используется одномерное уравнение Гельмгольца [9]:

$\frac{d^2{\psi }_j\left(y\right)}{d{y}^2}+\left(\frac{{\omega }_j^2}{c^2}\epsilon \left(y\right)-{\beta }^2\right){\psi }_{\text{j}}\left(y\right)=\mathrm{0,}$(5)

где ${\mathrm{\psi }}_j\left(\mathrm{y}\right)$ — латеральные собственные функции (СФ), j — номер латеральной моды. Для МЛД с ШК данное уравнение можно использовать в пространственных рамках отдельного когерентного канала генерации [16, 19].

Уравнение (5) в случае волноводной задачи (нижний индекс w) совпадает с одномерным стационарным уравнением Шредингера с гамильтонианом (3, 4):

$H_w\left(y\right)=\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\omega }^2}{c^2}\epsilon \left(y\right)$(6)

и c собственными значениями (СЗ):

$E_{wj}={\mathrm{\beta }}_j^2.$(7)

Решения уравнения (5) для модели параболического волновода применительно к каналу генерации МЛД были рассмотрены, например, в работе [18].

В случае решения лазерной (резонаторной) задачи (нижний индекс r) СЗ являются комплексные частоты ω_j. В этом случае для того, чтобы свести задачу (5) к аналогу уравнения Шредингера, необходимо сделать несколько предположений, которые выполняются в реальных устройствах МЛД практически всегда:

1. $\frac{{\omega }_0^2}{c^2}{\epsilon }^0={\mathrm{Re\beta }}_0^2$, где ω₀ — средняя частота излучения в канале генерации.
2. ${\mathrm{\omega }}_{\mathrm{j}}={\mathrm{\omega }}_0+{\mathrm{\delta \omega }}_{\mathrm{j}};\left|{\mathrm{\delta \omega }}_{\mathrm{j}}\right|\ll {\mathrm{\omega }}_0.$
3. $\epsilon \left(y\right)=({\epsilon }^0-iF)+\delta \epsilon \left(y\right)=({\epsilon }^0-iF)-j_{\text{нл}}N\left(y\right)+i{B}_{\text{нл}}N\left(y\right);\left|\delta \epsilon \left(y\right)\right|\ll {\epsilon }^0.$
4. $\left|Im{\beta }_0\right|\ll \left|Re{\beta }_0\right|.$

С учетом указанных допущений уравнение (5) примет вид:

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2{\psi }_j\left(y\right)}{\partial y^2}+\left(\frac{{\omega }_0^2}{c^2}\delta \epsilon \left(y\right)-\mathrm{Im}{\beta }_0^2\right){\psi }_j\left(y\right)=\\ =\frac{2{\omega }_0{\epsilon }^0}{c^2}\delta {\omega }_j{\psi }_j\left(y\right),\end{array}$ (8)

а гамильтониан H_r(y) и СЗ E_rj:

$H_r\left(y\right)=\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\left(\frac{{\omega }_0^2}{c^2}\delta \epsilon \left(y\right)-\mathrm{Im}{\beta }_0^2\right),$(9)

$E_{rj}=\frac{2{\omega }_0{\epsilon }^0}{c^2}\delta {\omega }_j.$(10)

Таким образом, не частота генерации, а величина отклонения частоты δω_j от некоторой средней величины ω₀ при расчетах будет играть роль СЗ. При непрерывной стационарной генерации МЛД величины Re(δω_j) будут задавать дискретный спектр поперечных мод в оптическом канале, а Im(δω_j) = 0. Кроме того, гамильтониан (9) по сравнению с (6) оказывается другим, что позволяет его варьировать (перенормировать) в определенном интервале значений координаты и частоты для локального выполнения условий РТ-симметрии.

Величина постоянной распространения β₀ в резонаторе МЛД для продольной моды с номером M хорошо описывается выражением [15, 19, 20]:

${\mathrm{\beta }}_0=\frac{M\pi }{L}+\frac{i}{2}\left[{\alpha }_{\text{внутр}}+\frac{1}{2L}\ln \left(\frac{1}{R_1{R}_2}\right)\right],$(11)

где L — длина лазерного резонатора, R₁ и R₂ — коэффициенты отражения зеркал по мощности, M — номер центральной продольной моды в спектре канала излучения МЛД. При этом величина внутренних потерь α_внутр является определяющей для средней длины когерентности излучения L_ког и ширины канала генерации w₀ [15].

Для подробного рассмотрения всего спектра продольных мод надо принять тот факт, что каждая продольная мода с номером М в отдельном канале генерации имеет очень близко распределенные по пространству СФ (латеральные моды) по отношению к модам с другими значениями индекса М, а число таких мод (пиков тонкой структуры спектра МЛД в одном канале) невелико и составляет всего несколько десятков в зависимости от конкретной реализации МЛД. Например, если спектральная ширина канала излучения равна 1.4 нм [9], а спектральный интервал между модами Фабри-Перо при длине резонатора L = 2 мм равен ∆λ_ФП = 0.064 нм, то это дает 22–23 продольные моды. Такие значения соответствуют экспериментальным данным и аналитическим оценкам [6, 9, 19].

Остановимся подробнее на том, как могут быть реализованы РТ-симметричные структуры поля в МЛД с ШК и КЯ. Основное положение теории РТ-симметричных оптических структур гласит [21], что при условии антисимметрии (нечетности) мнимой части функции диэлектрической проницаемости по латеральной координате волновода МЛД решения уравнения Гельмгольца имеют только дискретный и ограниченный спектр СЗ. Это условие аналогично (4) и записывается как [21]:

$\mathrm{Im} \mathrm{\delta \epsilon }\left(\mathrm{y}\right)=-\mathrm{Im} \mathrm{\delta \epsilon }(-\mathrm{y}).$(12)

Такая реализация стационарного значения диэлектрической проницаемости волновода получается в результате решения самосогласованной задачи, рассмотренной, например, в [15].

Однако стационарное решение уравнения (8) не может быть точно реализовано в реальных структурах МЛД в рамках одного канала генерации даже с помощью компьютерного моделирования. Это происходит потому, что в реальных устройствах в силу сильной нелинейности, присутствия шумов и неустойчивости активной среды резонатора обязательно возникают динамические процессы, которые постоянно нарушают состояние РТ-симметрии в системе. В том числе вполне вероятно возникновение ограниченных хаотических колебаний. В результате мы можем говорить только о каком-то среднем состоянии системы, рассматривая только решения уравнения (8) и приписывая их стационарному случаю, но подразумевая возможность наличия динамики.

Поэтому в данных рассмотрениях мы всегда обязаны помнить, что модель, коей является данный подход к описанию поля в МЛД, является грубой моделью, так как не учитывает обязательного присутствия стохастической нелинейной динамики поля в лазере и рассматривает только основные закономерности поведения сложной системы.

Более точный расчет, который был сделан в свое время для лазеров с узкой пространственной областью генерации [15, 24], приводит к выводу о том, что он имеет смысл до некоторого предела точности коэффициентов структуры МЛД, характеризующих лазер. Увеличение точности и уменьшение шага сетки не приводит к адекватному улучшению модели в силу неустойчивости среды и в конце концов к невыполнению условий устойчивости расчетного алгоритма по Раусу-Гурвицу при компьютерной реализации модели. Поэтому при любой точности коэффициентов модель всегда остается качественной, несмотря на улучшение методов расчета. Соответствие модели и эксперимента становится возможным только в результате сравнения и пошаговой корректировки результатов. Мы приводим в соответствие исходные данные модели и экспериментальные кривые. Если корректировка незначительная и подтверждается неоднократно, то модель считается адекватной и может быть основой для расчета целого класса структур полупроводниковых лазеров.

В силу изложенного мы останавливаемся только на качественном рассмотрении идеализированной модели МЛД и хотим привлечь к решению задачи те же соображения, которые возникли в результате исследования квантово-механических систем с компенсацией затухания усилением. На языке моделирования полупроводниковых лазеров это означает, что мы оставляем в стороне точное решение кинетических (скоростных) уравнений [15], описывающих динамику плотности неравновесных носителей N(y) в активной области и плотности фотонов S в каждой пространственной моде излучения МЛД. При этом мы ищем такие формы распределения ε(y) и N(y), которые бы давали действительное значение СЗ уравнения (8). В простейшем случае фундаментальной латеральной моды такое значение будет единственным для каждого канала генерации.

ПРИМЕР ПЕРИОДИЧЕСКОЙ РТ-СИММЕТРИИ В МЛД

В уравнениях (8–10), описывающих систему резонаторного типа, СЗ E_кj пропорциональны действительным частотам Re(dω_j), образующим измеряемый спектр ЛД. Как было отмечено выше, в реальных МЛД обязательно присутствуют шумовые и динамические процессы, обусловленные локальной неустойчивостью активного резонатора лазера, тепловыми фононами и спонтанным излучением активной среды. При этом стационарная генерация на поперечной моде Ψ_j(y) в канале присутствует в среднем на временах, существенно больших, чем время жизни фотонов в лазерном резонаторе. Таким образом, фазовый переход второго рода между РТ-симметричными и несимметричными модами в активном резонаторе происходит постоянно в двух направлениях. Это означает присутствие состояния динамического равновесия в системе. Поэтому решение уравнения (8) с действительными СЗ (9) будет адекватным для описания стационарного состояния канала генерации МЛД.

В качестве примера рассмотрим мнимую часть вариации эффективной диэлектрической проницаемости (1) лазерного волновода Im(δε(y), вызванную действием инжекции носителей, как гармоническую функцию координаты: Im(δε(y) ∼ sin(2πy / w₀), где w₀ — ширина канала генерации. Каждый канал генерации мы подразумеваем состоящим из двух пространственных областей: с потерями и с усилением. В пределах одного канала генерации автоматически должно выполняться условие (12). Вместо синуса можно взять любую ограниченную нечетную функцию. На рис. 1 для примера схематически изображены профили действительной и мнимой частей ε(y) эффективной диэлектрической проницаемости лазерного волновода, соответствующие им профили N(y) концентрации носителей и |Ψ(y)|² поперечных мод нулевого порядка (j=0). Для моделирования структуры можно пользоваться профилями, для которых существуют аналитические решения задачи (5). Часто в расчетах волноводных структур в оптике используют профиль Эпштейна $\epsilon \left(y\right)={\epsilon }^0+\frac{\delta \epsilon }{c{h}^2(2y/w_0)},$ при котором уравнение (5) имеет аналитическое решение. По своим свойствам этот профиль аналогичен потенциалу Пешля-Теллера в квантовой механике. Данные соображения годятся и для расчета модовой структуры отдельных каналов МЛД. При этом расчет полной структуры оптического поля МЛД с ШК с учетом самосогласованности процессов через общую для всех каналов структуру накачки лазера и с учетом отсутствия когерентной фазировки полей между каналами генерации представляет собой нетривиальную задачу.

Рис. 1. Периодические профили |Ψ(y)|² волноводных мод нулевого порядка, N(y) — концентрации неравновесных носителей и распределение действительной и мнимой частей ε(y) эффективной диэлектрической проницаемости лазерного волновода, W — ширина активной области МЛД.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в данной работе формулируется задача для расчета оптического поля в канале МЛД с ШК при стационарной генерации с использованием понятия РТ-симметричных оптических структур. Определены условия и рамки постановки задачи, обсуждены возможности применения модели.