Internal Symmetrical Lamb Waves for High Phase Velocities

Обозначения:

Также используются следующие сокращения и соотношения:

$\alpha =\gamma \sqrt{c^2/c_1^2-1},\beta =\gamma \sqrt{c^2/c_2^2-1},$ (1)

$c_1^2=c_0^2\frac{1-\nu }{\left(1+\nu \right)\left(1-2\nu \right)};c_2^2=\frac{c_0^2}{2\left(1+\nu \right)},$ (2)

$\begin{array}{c}\lambda =\frac{E\nu }{\left(1+\nu \right)\left(1-2\nu \right)}=\rho \left(c_1^2-2c_2^2\right);\\ \mu =\frac{E}{2\left(1+\nu \right)}=\rho c_2^2.\end{array}$ (3)

Введение

Поверхностные тензодатчики [1, 2] широко используются для контроля напряженно-деформированного состояния. Исходя из их устройства, их применение оптимально для измерения деформаций статических или медленно меняющихся. Использование поверхностных тензодатчиков обосновано тем, что статические и квазистатические уравнения теории линейной упругости являются эллиптическими, т.е. максимальные значения компонент напряжений и деформаций находятся на границе рассчитываемой области, иначе говоря, на поверхности контролируемого объекта [3].

Тем не менее, если компоненты деформации изменяются быстро, влиянием инерции материала пренебречь нельзя. Волновые уравнения упругости являются гиперболическими, т.е. деформации и напряжения могут локализоваться в глубине материала, многократно превышая значения на поверхности.

В работе [4] обнаружено семейство симметричных волн Лэмба, фазовая скорость которых соответствует скорости Ламе [5], и обладающих отличительным свойством: их напряжения и деформации на поверхности пластины равны нулю (далее такие волны называются внутренними).

Уравнения, полученные Лэмбом [6], описывают поведение упругой волны, распространяющейся в неограниченной толстой пластине. Их подробное решение можно найти у более поздних авторов, например, [7–9].

Поскольку пластины широко используются как конструкционный элемент, ряд исследователей изучает распространение волн Лэмба в средах с различными свойствами, таких как ауксетичность [10] или анизотропность [11]. Представляет интерес также поведение упругих волн в неоднородных средах: функционально-градиентных [12, 13], многослойных [14–16] и пр. К классу таких задач можно отнести задачи о пластине, погруженной в жидкую или газообразную среду [17].

Кроме того, волны Лэмба могут применяться для обследования конструкций [1]. Многие исследователи (например, [18–23]) изучают поведение упругих волн в пластинах, содержащих разнообразные дефекты.

Внутренние волны Лэмба, такие как в [4], могут создавать концентрации напряжений в толще пластины и не вызывать поверхностных напряжений и деформаций, иначе говоря, поверхностные датчики могут не обнаружить их распространение.

В представленной работе доказано существование внутренних симметричных волн Лэмба с фазовыми скоростями больших значений, чем обнаруженные в [4], проведен расчет их характеристик и отмечены их особенности.

Основные формулы

Для симметричных волн Лэмба (в данном исследовании ограничиваемся положительными значениями коэффициента Пуассона) смещения могут быть представлены следующим образом [7]:

$\begin{array}{c}{u}_x=\left[-A\gamma \cos \left(\alpha z\right)+iB\beta \cos \left(\beta z\right)\right]\sin \Omega ,\\ u_z=\left[-A\alpha sin\left(\alpha z\right)-iB\gamma sin\left(\beta z\right)\right]\cos \Omega ,\\ u_y=0.\end{array}$ (4)

В данной работе рассматриваются волны с фазовой скоростью, большей c₁, поэтому величины α и β действительны, отсюда константы A и iB также должны быть действительны.

Исходя из определения деформаций, получаем:

$\begin{array}{c}{\epsilon }_{xx}=\left[-A{\gamma }^2\cos \left(\alpha z\right)+iB\gamma \beta \cos \left(\beta z\right)\right]\cos \Omega ,\\ {\epsilon }_{zz}=\left[-A{\alpha }^2\cos \left(\alpha z\right)-iB\gamma \beta \cos \left(\beta z\right)\right]\cos \Omega ,\\ {\epsilon }_{yy}={\epsilon }_{xy}={\epsilon }_{yz}=\mathrm{0,}\\ {\epsilon }_{xz}=\left[A\gamma \alpha \sin \left(\alpha z\right)-\frac{1}{2}\left({\beta }^2-{\gamma }^2\right)iB\sin \left(\beta z\right)\right]\sin \Omega ,\\ \Delta ={\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz}=-A\left({\gamma }^2+{\alpha }^2\right)\cos \left(\alpha z\right)\cos \Omega .\end{array}$ (5)

Из закона Гука получаем выражения для распределения напряжений:

$\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}=\mu \left[\begin{array}{c}-A\left({\beta }^2-2{\alpha }^2+{\gamma }^2\right)\cos \left(\alpha z\right)+\\ +2iB\gamma \beta \cos \left(\beta z\right)\end{array}\right]\cos \Omega ,\\ {\sigma }_{yy}=-A\mu \left({\beta }^2-2{\alpha }^2-{\gamma }^2\right)\cos \left(\alpha z\right)\cos \Omega ,\\ {\sigma }_{zz}=\mu \left[\begin{array}{c}A\left({\gamma }^2-{\beta }^2\right)\cos \left(\alpha z\right)-\\ -2iB\gamma \beta \cos \left(\beta z\right)\end{array}\right]\cos \Omega ,\\ {\sigma }_{xz}=\mu \left[\begin{array}{c}2A\gamma \alpha \sin \left(\alpha z\right)+\\ +iB\left({\gamma }^2-{\beta }^2\right)\sin \left(\beta z\right)\end{array}\right]\sin \Omega ,\\ {\sigma }_{xy}={\sigma }_{yz}=0.\end{array}$ (6)

Дисперсионное соотношение находится из граничных условий:

$\begin{array}{c}{\left.{\sigma }_{zz}\right|}_{z=\pm a}=-\mu \left[\begin{array}{c}A\left({\beta }^2-{\gamma }^2\right)\cos \left(\alpha a\right)+\\ +2iB\gamma \beta \cos \left(\beta a\right)\end{array}\right]\cos \Omega =\mathrm{0,}\\ {\left.{\sigma }_{xz}\right|}_{z=\pm a}=\mp \mu \left[\begin{array}{c}2A\gamma \alpha \sin \left(\alpha a\right)-\\ -iB\left({\beta }^2-{\gamma }^2\right)\sin \left(\beta a\right)\end{array}\right]\sin \Omega =0.\end{array}$ (7)

Тогда получаем отношение коэффициентов:

$\frac{A}{iB}=-\frac{2\gamma \beta \cos \left(\beta a\right)}{\left({\beta }^2-{\gamma }^2\right)\cos \left(\alpha a\right)}=\frac{\left({\beta }^2-{\gamma }^2\right)\sin \left(\beta a\right)}{2\gamma \alpha \sin \left(\alpha a\right)}$ (8)

и дисперсионное соотношение (ДС):

$\begin{array}{c}{\left({\beta }^2-{\gamma }^2\right)}^2\cos \left(\alpha a\right)\sin \left(\beta a\right)+\\ +4{\gamma }^2\alpha \beta \sin \left(\alpha a\right)\cos \left(\beta a\right)=0.\end{array}$ (9)

Расчет смещений внутренней волны

Чтобы получить внутренние волны, нужно приравнять к нулю на поверхности (z = ±a) не только σ_zz, σ_xz, но и σ_xx, σ_yy:

$\begin{array}{c}{\left.{\sigma }_{xx}\right|}_{z=\pm a}=\\ =\mu \left[\begin{array}{c}-A\left({\beta }^2-2{\alpha }^2+{\gamma }^2\right)\cos \left(\alpha a\right)+\\ +2iB\gamma \beta \cos \left(\beta a\right)\end{array}\right]\cos \Omega =\mathrm{0,}\\ {\left.{\sigma }_{yy}\right|}_{z=\pm a}=-A\mu \left({\beta }^2-2{\alpha }^2-{\gamma }^2\right)\times \\ \times \cos \left(\alpha a\right)\cos \Omega =0.\end{array}$ (10)

Отсюда получаем систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}-A\left({\beta }^2-2{\alpha }^2+{\gamma }^2\right)\cos \left(\alpha a\right)+2iB\gamma \beta \cos \left(\beta a\right)=\mathrm{0,}\\ A\left({\beta }^2-2{\alpha }^2-{\gamma }^2\right)\cos \left(\alpha a\right)=0.\end{array}\right.$ (11)

Рассмотрим второе уравнение. Оно представляет собой произведение трех множителей, соответственно, приравнивание любого из множителей к нулю дает его решение.

Приравнивание к нулю множителя A приводит к тому, что, исходя из ДС, B тоже должно быть равно нулю, но тогда получаем тривиальное решение, не представляющее интереса.

Множитель

${\beta }^2-2{\alpha }^2-{\gamma }^2={\gamma }^2\left(\frac{c^2}{c_2^2}-2\frac{c^2}{c_1^2}\right)={\gamma }^2\frac{c^2}{c_2^2}\frac{\nu }{1-\nu }$ (12)

положителен, так как в данной работе рассматриваются материалы с положительным коэффициентом Пуассона.

Тогда единственное нетривиальное решение второго уравнения имеет вид

$\cos \left(\alpha a\right)=0.$ (13)

Отсюда из первого уравнения получаем

$\cos \left(\beta a\right)=0.$ (14)

Тогда получаем

$\begin{array}{c}\alpha a=\frac{\pi }{2}\left(2n_1+1\right)=\frac{\pi }{2}{N}_1;\\ \beta a=\frac{\pi }{2}\left(2n_2+1\right)=\frac{\pi }{2}{N}_2,\end{array}$ (15)

где n₁, n₂ – неотрицательные целые числа, N₁, N₂ – нечетные натуральные числа.

Отметим, что

$\sin \left(\alpha a\right)={\left(-1\right)}^{n_1};\sin \left(\beta a\right)={\left(-1\right)}^{n_2}.$ (16)

Учитывая (1), получаем выражения для фазовой скорости, волнового числа и круговой частоты внутренней волны:

$c^2=c_1^2{c}_2^2\frac{N_2^2-N_1^2}{c_2^2{N}_2^2-c_1^2{N}_1^2},$ (17)

${\gamma }^2=\frac{{\pi }^2}{4a^2}\frac{c_2^2{N}_2^2-c_1^2{N}_1^2}{c_1^2-c_2^2},$ (18)

${\omega }^2=\frac{{\pi }^2}{4a^2}{c}_1^2{c}_2^2\frac{N_2^2-N_1^2}{c_1^2-c_2^2}.$ (19)

Из формулы (18) делаем вывод, что отношение индексов должно удовлетворять следующему неравенству:

$c_2^2{N}_2^2-c_1^2{N}_1^2>0\Rightarrow \frac{N_2}{N_1}>\frac{c_1}{c_2}=\sqrt{\frac{2-2\nu }{1-2\nu }}.$ (20)

Из формул (8) и (16) получим отношение коэффициентов A и iB для внутренней волны:

$\frac{A}{iB}=\frac{\left({\beta }^2-{\gamma }^2\right){\left(-1\right)}^{n_2}}{2\gamma \alpha {\left(-1\right)}^{n_1}}=\frac{{\beta }^2-{\gamma }^2}{2\gamma \alpha }{\left(-1\right)}^{n_1+n_2}.$ (21)

Рассмотрим смещения в данном случае:

$\begin{array}{c}{u}_x=-A\gamma \left[\begin{array}{c}\cos \left(\alpha z\right)-\frac{2\alpha \beta }{{\beta }^2-{\gamma }^2}\times \\ \times {\left(-1\right)}^{n_1+n_2}\cos \left(\beta z\right)\end{array}\right]\sin \Omega ,\\ u_z=-A\alpha \left[\begin{array}{c}sin\left(\alpha z\right)+\frac{2{\gamma }^2}{{\beta }^2-{\gamma }^2}\times \\ \times {\left(-1\right)}^{n_1+n_2}sin\left(\beta z\right)\end{array}\right]\cos \Omega .\end{array}$ (22)

 Учитывая (13) и (14), получаем, что на поверхности u_x также равно нулю, как и деформации и напряжения. На поверхности остается единственная ненулевая компонента:

${\left.u_z\right|}_{z=\pm a}=-A{\left(-1\right)}^{n_1}\alpha \frac{{\beta }^2+{\gamma }^2}{{\beta }^2-{\gamma }^2}\cos \Omega .$ (23)

Обозначим амплитуду волны на поверхности как ${\widehat{u}}_z$ (для простоты допустим отрицательную величину амплитуды, в этом случае будем считать, что волна находится в противофазе):

${\widehat{u}}_z=-A{\left(-1\right)}^{n_1}\alpha \frac{{\beta }^2+{\gamma }^2}{{\beta }^2-{\gamma }^2}.$ (24)

Соответственно

$\begin{array}{c}A=-{\widehat{u}}_z\frac{{\left(-1\right)}^{n_1}}{\alpha }\frac{{\beta }^2-{\gamma }^2}{{\beta }^2+{\gamma }^2};\\ iB=-{\widehat{u}}_z{\left(-1\right)}^{n_2}\frac{2\gamma }{{\beta }^2+{\gamma }^2}.\end{array}$ (25)

Теперь можно записать смещения через поверхностную амплитуду ${\widehat{u}}_z$:

$\begin{array}{c}{u}_x=\frac{{\widehat{u}}_z\gamma }{{\beta }^2+{\gamma }^2}\left[\begin{array}{c}{\left(-1\right)}^{n_1}\frac{1}{\alpha }\left({\beta }^2-{\gamma }^2\right)\cos \left(\alpha z\right)-\\ -2\beta {\left(-1\right)}^{n_2}\cos \left(\beta z\right)\end{array}\right]\sin \Omega ,\\ u_z=\frac{{\widehat{u}}_z}{{\beta }^2+{\gamma }^2}\left[\begin{array}{c}{\left(-1\right)}^{n_1}\left({\beta }^2-{\gamma }^2\right)sin\left(\alpha z\right)+\\ +2{\gamma }^2{\left(-1\right)}^{n_2}sin\left(\beta z\right)\end{array}\right]\cos \Omega .\end{array}$ (26)

Используя формулы (15) и (18), получаем:

$\begin{array}{c}{u}_x={\widehat{u}}_z\frac{\sqrt{\left(c_1^2-c_2^2\right)\left(c_2^2{N}_2^2-c_1^2{N}_1^2\right)}}{c_1^2\left(N_2^2-N_1^2\right)}\times \\ \times \left[\begin{array}{c}\frac{c_1^2{N}_1^2+\left(c_1^2-2c_2^2\right)N_2^2}{\left(c_1^2-c_2^2\right)N_1}{\left(-1\right)}^{n_1}\cos \left(\alpha z\right)-\\ -2N_2{\left(-1\right)}^{n_2}\cos \left(\beta z\right)\end{array}\right]\sin \Omega ,\\ u_z=\frac{{\widehat{u}}_z}{c_1^2\left(N_2^2-N_1^2\right)}\times \\ \times \left[\begin{array}{c}\left(c_1^2{N}_1^2+\left(c_1^2-2c_2^2\right)N_2^2\right)\times \\ \times {\left(-1\right)}^{n_1}sin\left(\alpha z\right)+\\ +2\left(c_2^2{N}_2^2-c_1^2{N}_1^2\right){\left(-1\right)}^{n_2}sin\left(\beta z\right)\end{array}\right]\cos \Omega .\end{array}$ (27)

Применяя (2), также можно получить смещения в зависимости от коэффициента Пуассона:

$\begin{array}{c}{u}_x={\widehat{u}}_z\frac{\sqrt{\left(1-2\nu \right)N_2^2-\left(2-2\nu \right)N_1^2}}{\left(1-\nu \right)N_1\left(N_2^2-N_1^2\right)}\times \\ \times \left[\begin{array}{c}\left(\left(1-\nu \right)N_1^2+\nu N_2^2\right){\left(-1\right)}^{n_1}\cos \left(\alpha z\right)-\\ -N_1{N}_2{\left(-1\right)}^{n_2}\cos \left(\beta z\right)\end{array}\right]\sin \Omega ,\\ \\ u_z=\frac{{\widehat{u}}_z}{\left(1-\nu \right)\left(N_2^2-N_1^2\right)}\times \\ \times \left[\begin{array}{c}\left(\left(1-\nu \right)N_1^2+\nu N_2^2\right)\times \\ \times {\left(-1\right)}^{n_1}sin\left(\alpha z\right)+\\ +\left(\left(1-2\nu \right)N_2^2-\left(2-2\nu \right)N_1^2\right)\times \\ \times {\left(-1\right)}^{n_2}sin\left(\beta z\right)\end{array}\right]\cos \Omega .\end{array}$ (28)

Расчет напряжений внутренней волны

Используя формулы (25), получим следующий вид напряжений:

$\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}=\frac{\mu {\widehat{u}}_z}{{\beta }^2+{\gamma }^2}\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\alpha }\left({\beta }^2-{\gamma }^2\right)\left({\beta }^2-2{\alpha }^2+{\gamma }^2\right)\times \\ \times {\left(-1\right)}^{n_1}\cos \left(\alpha z\right)-\\ -4{\gamma }^2\beta {\left(-1\right)}^{n_2}\cos \left(\beta z\right)\end{array}\right]\cos \Omega ,\\ {\sigma }_{yy}=\mu {\widehat{u}}_z\frac{1}{\alpha }\frac{{\beta }^2-{\gamma }^2}{{\beta }^2+{\gamma }^2}\left({\beta }^2-2{\alpha }^2-{\gamma }^2\right)\times \\ \times {\left(-1\right)}^{n_1}\cos \left(\alpha z\right)\cos \Omega ,\\ \\ {\sigma }_{zz}=\frac{\mu {\widehat{u}}_z}{{\beta }^2+{\gamma }^2}\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\alpha }{\left({\beta }^2-{\gamma }^2\right)}^2{\left(-1\right)}^{n_1}\cos \left(\alpha z\right)+\\ +4{\gamma }^2\beta {\left(-1\right)}^{n_2}\cos \left(\beta z\right)\end{array}\right]\cos \Omega ,\\ {\sigma }_{xz}=-\frac{2\mu {\widehat{u}}_z\gamma }{{\beta }^2+{\gamma }^2}\left({\beta }^2-{\gamma }^2\right)\times \\ \times \left[{\left(-1\right)}^{n_1}\sin \left(\alpha z\right)-{\left(-1\right)}^{n_2}\sin \left(\beta z\right)\right]\sin \Omega .\end{array}$ (29)

Далее применим (15) и (18) и упростим выражения с помощью (2):

$\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}=\frac{\pi }{a}\frac{\mu {\widehat{u}}_z}{\left(1-\nu \right)\left(N_2^2-N_1^2\right)}\times \\ \times \left[\begin{array}{c}\frac{1}{N_1}\left(\left(1-\nu \right)N_1^2+\nu N_2^2\right)\times \\ \times \left(\left(1-\nu \right)N_2^2-\left(2-\nu \right)N_1^2\right)\times \\ \times {\left(-1\right)}^{n_1}\cos \left(\alpha z\right)-\\ -\left(\left(1-2\nu \right)N_2^2-2\left(1-\nu \right)N_1^2\right)\times \\ \times N_2{\left(-1\right)}^{n_2}\cos \left(\beta z\right)\end{array}\right]\cos \Omega ,\end{array}$

$\begin{array}{c}{\sigma }_{yy}=\frac{\pi }{a}\mu {\widehat{u}}_z\frac{\nu }{1-\nu }\frac{1}{N_1}\times \\ \times \left(\left(1-\nu \right)N_1^2+\nu N_2^2\right){\left(-1\right)}^{n_1}\cos \left(\alpha z\right)\cos \Omega ,\\ {\sigma }_{zz}=\frac{\pi }{a}\frac{\mu {\widehat{u}}_z}{\left(1-\nu \right)\left(N_2^2-N_1^2\right)}\times \\ \times \left[\begin{array}{c}{\left(\left(1-\nu \right)N_1^2+\nu N_2^2\right)}^2\frac{1}{N_1}{\left(-1\right)}^{n_1}\cos \left(\alpha z\right)+\\ +\left(\left(1-2\nu \right)N_2^2-2\left(1-\nu \right)N_1^2\right)\times \\ \times N_2{\left(-1\right)}^{n_2}\cos \left(\beta z\right)\end{array}\right]\cos \Omega ,\end{array}$ (30)

$\begin{array}{c}{\sigma }_{xz}=-\frac{\pi }{a}\mu {\widehat{u}}_z\sqrt{\left(1-2\nu \right)N_2^2-2\left(1-\nu \right)N_1^2}\times \\ \times \frac{\left(1-\nu \right)N_1^2+\nu N_2^2}{\left(1-\nu \right)\left(N_2^2-N_1^2\right)}\times \\ \times \left[{\left(-1\right)}^{n_1}\sin \left(\alpha z\right)-{\left(-1\right)}^{n_2}\sin \left(\beta z\right)\right]\sin \Omega .\end{array}$

Нетрудно убедиться, что напряжения на поверхности равны нулю, т.е. соответствуют свойствам внутренней волны.

Представляет также интерес проанализировать, как изменяется волна при малом отклонении параметров от значений внутренней волны. Пусть есть внутренняя волна с параметрами (c^*, γ^*, ω^*). Рассмотрим теперь волну, имеющую параметры близкие к параметрам внутренней: (c^* + dc, γ^* + dγ, ω^* + dω). Взяв выражение дисперсионного соотношения (9), используя формулы (15) и ограничившись малыми величинами первого порядка, получим следующее выражение:

$\begin{array}{c}\left(d\gamma +{\gamma }^{*}\frac{c^{*}dc}{c^{*}{}^2-c_1^2}\right){\left(\frac{{\pi }^2}{4{\gamma }^{*2}{a}^2}{N}_2^2-1\right)}^2=\\ =-\frac{{\pi }^2}{{\gamma }^{*2}{a}^2}{N}_2^2\left(d\gamma +{\gamma }^{*}\frac{c^{*}dc}{c^{*}{}^2-c_2^2}\right).\end{array}$ (31)

Учитывая соотношения (17) и (18), получаем

$\begin{array}{c}2N_1^2{c}_1^4{\left(c_1^2-c_2^2\right)}^{3/2}{\left(N_2^2-N_1^2\right)}^{3/2}{c}_1{c}_2\frac{a}{\pi }d\gamma =\\ =\left(c_2^2{N}_2^2-c_1^2{N}_1^2\right)\times \\ \times \left[4\left(c_1^2-c_2^2\right){\left(c_2^2{N}_2^2-c_1^2{N}_1^2\right)}^2-c_2^2{c}_1^4{\left(N_2^2-N_1^2\right)}^2\right]dc.\end{array}$ (32)

Для краткости введем величину:

$N^{\prime }=\sqrt{\frac{c_2^2{N}_2^2-c_1^2{N}_1^2}{c_1^2-c_2^2}}.$ (33)

Тогда (32) можно переписать следующим образом:

$\begin{array}{c}d\gamma =\frac{\pi }{a}\left(\frac{4{N^{\prime }}^4{\left(c_1^2-c_2^2\right)}^3}{c_1^4{\left(N_2^2-N_1^2\right)}^2}-c_2^2\right)\times \\ \times \frac{{N^{\prime }}^2}{2c_1{c}_2{N}_1^2}\sqrt{\frac{N_2^2-N_1^2}{c_1^2-c_2^2}}dc.\end{array}$ (34)

Малое изменение частоты можно найти следующим образом:

$d\omega =c^{*}d\gamma +{\gamma }^{*}dc.$ (35)

Тогда, после ряда преобразований получаем:

$d\omega =\frac{\pi }{2a}\frac{{N^{\prime }}^3}{N_1^2}\left[\frac{4{N^{\prime }}^2{\left(c_1^2-c_2^2\right)}^2}{c_1^4\left(N_2^2-N_1^2\right)}-1\right]dc.$ (36)

Выражения (34) и (36) показывают, что выражение дисперсионного соотношения в точках, соответствующих внутренним волнам, остается непрерывным и гладким.

Свойство кратности внутренних волн

Перепишем выражение для фазовой скорости (17) следующим образом:

$c=c_1{c}_2\sqrt{\frac{\left(N_2^2/N_1^2\right)-1}{c_2^2\left(N_2^2/N_1^2\right)-c_1^2}}=c_1{c}_2\sqrt{\frac{Q^2-1}{c_2^2{Q}^2-c_1^2}}$, (37)

здесь Q = N₂/N₁ – отношение индексов волны.

Отсюда можно сделать вывод, что существует бесконечное число внутренних симметричных волн для каждого допустимого значения Q. Действительно, пусть существует внутренняя волна с индексами (N₁, N₂). Если умножить индексы на некоторое нечетное число, то новые значения индексов также будут соответствовать ограничению (20), и при этом их отношение Q не изменится. Следовательно, если существует хотя бы одна внутренняя волна с отношением Q (т.е. с соответствующим значением фазовой скорости (37)), то существует бесконечное количество внутренних волн с таким Q.

Далее, если существует ряд внутренних волн с отношением Q, то первая волна из ряда имеет минимальные значения индексов, и любая другая волна из этого ряда имеет индексы, равные индексам первой волны, умноженные на нечетное число.

Исходя из формул (18), (19), можно получить выражения для волнового числа и круговой частоты:

$\gamma =\frac{\pi }{2a}{N}_1\sqrt{\frac{c_2^2{Q}^2-c_1^2}{c_1^2-c_2^2}},$ (38)

$\omega =\frac{\pi }{2a}{c}_1{c}_2{N}_1\sqrt{\frac{Q^2-1}{c_1^2-c_2^2}}.$ (39)

Таким образом, для ряда внутренних волн с одинаковой фазовой скоростью частота и волновое число пропорциональны N₁, иначе говоря, являются арифметической прогрессией.

Рассмотрим теперь длину волны:

$\begin{array}{c}l=\frac{2\pi }{\gamma }=\frac{4a}{N_1}\sqrt{\frac{c_1^2-c_2^2}{c_2^2{Q}^2-c_1^2}}=\\ =\frac{4a}{N_1\sqrt{Q^2\left(1-2\nu \right)-2+2\nu }}.\end{array}$ (40)

Согласно (40), длина волна обратно пропорциональна N₁. Поскольку N₁ не может быть меньше 1, то для каждого значения Q длина волны не может превышать величину $4a/\sqrt{Q^2\left(1-2\nu \right)-2+2\nu }$.

На рис. 1 представлено дисперсионное соотношение безразмерной фазовой скорости c/c₀ относительно безразмерной частоты ωa/c₀ для ν = 0.3; штриховые и пунктирные линии соответствуют выражениям (13) и (14), точки их пересечения (и пересечения с линиями ДС) соответствуют внутренним волнам. Белыми точками отмечены уже известные внутренние волны с фазовой скоростью, равной скорости Ламе [4], далее такие волны будем называть внутренними волнами типа I. Черными точками отмечены обнаруженные в этой работе внутренние волны с большими фазовыми скоростями (больше c₁), далее такие волны будем называть внутренними волнами типа II. Горизонтальные черные прямые на рис. 1 соединяют точки волн типа II, имеющие одну фазовую скорость, т.е. принадлежащие одному ряду.

Локализация напряжений в пластине

С точки зрения прочности конструкции важна локализация максимальных растягивающих и сдвиговых напряжений, так как именно в этих точках наиболее вероятна инициализация разрушения. Так как у внутренней волны напряжения на поверхности равны нулю, то концентрация напряжений находится в толще пластины.

Рассмотрим распределения напряжений в некоторых внутренних волнах (параметры пластины: полутолщина a = 1 см, модуль Юнга E = 2 ГПа, коэффициент Пуассона ν = 0.3). Прежде всего для сравнения представим распределения для первой внутренней волны типа I фундаментальной моды [4]: на рис. 2а представлен вид продольного сечения деформированной пластины в условном масштабе (сегмент ограничен одним периодом волны); на рис. 2б и 2в – распределения первого главного напряжения (что соответствует максимальному растягивающему напряжению) и максимального сдвига соответственно. Свойства внутренней волны типа I таковы, что и максимальное растяжение, и максимальный сдвиг между собой равны. Кроме того, материал находится в состоянии чистого сдвига. Максимальные напряжения локализуются на срединной плоскости пластины (z = 0).

Далее на рис. 3, 4 и 5 представлены сечения деформированной пластины и распределения максимальных растяжения и сдвига для внутренних волн типа II для пар индексов (N₁, N₂) = (1, 3), (1, 5), (3, 7).

Сравнение максимальных напряжений в этих случаях показывает, что общего правила для локализации напряжений нет. Действительно, в случае волны (1, 3) максимальное растяжение и максимальный сдвиг находятся на срединной плоскости пластины, как и в случае волн типа I (однако точек локализации сдвига вдвое больше, чем точек локализации растяжения, и уже поэтому они не могут всегда совпадать, см. рис. 3).

В случае волны (1, 5) и максимальное растяжение, и максимальный сдвиг локализуются не на срединной плоскости, а на глубине z ≈ ±0.4a (рис. 4). В случае же волны (3, 7), максимальное растяжение локализуется на срединной плоскости (z = 0), а максимальный сдвиг – на глубине z ≈ ±0.4a, т.е. их локализации полностью не совпадают (рис. 5).

Далее, исходя из (30), среднее напряжение имеет следующий вид:

$\begin{array}{c}\Delta \sigma =\frac{\pi }{3a}\frac{\mu {\widehat{u}}_z}{N_1}\frac{1+\nu }{1-\nu }\left(\left(1-\nu \right)N_1^2+\nu N_2^2\right)\times \\ \times {\left(-1\right)}^{n_1}\cos \left(\alpha z\right)\cos \Omega .\end{array}$ (41)

Отсюда получаем, что среднее напряжение ненулевое, следовательно, напряженно-деформированное состояние не соответствует состоянию чистого сдвига, что является еще одним отличием между волнами типа I и II.

Заключение

Изучение симметричных решений волновых уравнений Лэмба при больших фазовых скоростях (c > c₁) показало, что в этом диапазоне существует семейство решений (внутренние волны типа II), которые имеют нулевые напряжения и деформации на поверхности пластины, как и внутренние волны с фазовой скоростью Ламе (тип I). Однако волны типа II отличаются от волн типа I рядом свойств, таких, например, как ненулевое значение среднего напряжения и иная локализация максимальных напряжений.

В то же время, волны типа II (как и тип I) обладают свойством кратности частоты и волнового числа. Аналитически доказано, что если существует внутренняя волна с фазовой скоростью c, то существует бесконечное количество волн с такой же фазовой скоростью, при этом их частоты и волновые числа образуют арифметическую прогрессию.

Существование внутренних волн Лэмба показывает, что проведение контроля деформаций конструкции посредством поверхностных тензодатчиков в этом случае может быть неэффективным, таким образом необходимо совершенствовать применяемые методы контроля надежности.

Работа выполнена по теме Государственного задания № госрегистрации 124012500437-9 “Вопросы фундаментальной механики и оптимизации процессов деформирования, разрушения, трения и износа, аддитивного роста конструкций и их элементов, работающих в нормальных и экстремальных условиях”.