Акустическое излучение турбулентного пограничного слоя, образующегося над плоской гладкой границей

Введение

Описание генерации звука турбулентными течениями было впервые предложено в фундаментальных работах Лайтхилла [1, 2] применительно к безграничной среде и малым скоростям потока. При этом исходные уравнения динамики сплошной среды сведены к волновому уравнению, в правой части которого имеются слагаемые, квадратичные по пульсационным компонентам скорости движения среды. Согласно теории Лайтхилла, эти слагаемые и рассматриваются как источник звука (т.н. акустическая аналогия [3-5]). Как следствие, нестационарное, нелинейное, турбулентное движение среды с точки зрения акустики оказывается аналогичным волновому линейному процессу, возбуждаемому источниками звука специального вида.

В соответствии с теорией Лайтхилла турбулентность, как источник звука, аналогична распределенной системе квадруполей, т.е. пар сил, равных по величине и противоположных по направлению. Точки приложения сил в каждой паре находятся друг от друга на расстоянии, много меньшем длины волны излучаемого звука. Акустические поля сил в каждом квадруполе почти полностью взаимно уничтожаются из-за противоположной направленности сил, поэтому свободная турбулентность при малых скоростях потока является неэффективным источником звука. Работы Лайтхилла являются основой как теории шума турбулентности в отсутствие границ, так и расчетных методик и интерпретации экспериментов [3-5].

Далее естественно возникает вопрос о влиянии границы на генерацию аэродинамического шума турбулентными течениями. Границы обтекаемого тела играют двойную роль в процессе излучения звука турбулентностью. Во-первых, граница изменяет течение и, собственно говоря, порождает турбулентность. Во-вторых, наличие границы может изменить излучаемый звук уже имеющейся турбулентности. Обобщение теории Лайтхилла на случай течения вблизи границ впервые было выполнено в работе Кёрла [6], где показано, что граница акустически эквивалентна системе диполей, т.е. сил, распределенных по ней и равных силам, фактически действующим со стороны границы на среду. Акустические поля этих сил, в отличие от сил, входящих в квадруполи в свободном пространстве, не уничтожаются друг другом, поэтому турбулентность вблизи границы, вообще говоря, должна излучать звук более эффективно, чем свободная турбулентность.

Этот эффект можно рассматривать и с точки зрения теории рассеяния. Поля квадруполей, присутствующих в турбулентном потоке, рассеиваются на границе тела, что эквивалентно добавлению внешней силы [7-10]. Для акустически компактных тел (характерный размер тела меньше длины волны) такой подход позволяет искать форму тела, обеспечивающего снижение амплитуды индуцированных квадрупольными источниками диполей и тем самым снижать шум обтекания этого тела потоком [7, 11].

Что будет, если размеры тела большие? На первый взгляд, кажется, что дипольные источники существуют независимо от того, большое тело или маленькое: турбулентность действует на тело, по третьему закону Ньютона тело действует на среду и излучается дипольный звук. Естественно, на самом деле не все так просто. Решающую роль играет пространственная корреляция сил.

В работе Крейчнана [12] рассмотрен предельный случай очень большого тела - жесткой плоскости, около которой имеется турбулентный поток - турбулентный пограничный слой (ТПС). Со стороны плоскости на среду действуют нормальные и касательные силы. В работе [12] показано, что плоскость выступает в роли зеркала, которое отражает звук, излучаемый объемной турбулентностью (это приводит к дополнительному квадрупольному излучению), но кроме того плоскость действительно создает излучающие дипольно силы, не сводящиеся к эффекту отражения. Эти силы направлены по касательной к границе и вызваны вязкими напряжениям. Если пренебречь вязкостью для течений с большими числами Рейнольдса, то плоская граница является зеркальным отражателем. Аналогичные расчеты в том же году были выполнены Филлипсом [13].

Более выпукло этот анализ дал Пауэлл [14]. Пауэлл очень определенно утверждал, что эти касательные силы, хотя, в принципе, и могут существовать (речь идет, конечно, о переменной компоненте касательных сил, а не о постоянной силе сопротивления), но должны быть очень малы для течений с большими числами Рейнольдса, так как по данным многочисленных измерений пульсационные касательные напряжения на порядок меньше по амплитуде, чем пульсационные нормальные напряжения (см. напр. [15]). Поэтому в работе [14] был сделан вывод, что на плоской границе турбулентность излучает только квадрупольно, а дипольного излучения нет. Впоследствии этот вывод стал называться теоремой Крейчнана-Филлипса, которую можно математически сформулировать следующим образом: “Для несжимаемого, однородного, турбулентного течения над плоской, жесткой границей частотно-волновой спектр пульсаций давления на поверхности p(k, ω) → 0 для волнового числа k→ 0 при условии, что частота ω ≠ 0” [16].

Вопрос о том, следует ли принимать касательные напряжения во внимание при практических оценках, имеет принципиальное значение для течений со скоростями, малыми по сравнению со скоростью звука. Простые оценки с использованием анализа размерностей показывают [4], что излучаемая мощность в течениях с диполями в 1/M² раз больше, чем в течениях без диполей (M = U/c - отношение характерной скорости течения к скорости звука). Если M - малая величина, то наличие дипольных источников должно существенно увеличивать интенсивность излучаемого звука. В результате, как отмечено уже в [12], большая эффективность излучения касательных диполей может компенсировать малость амплитуды дипольных источников и обеспечить их значительный вклад в суммарное акустическое поле пристенной турбулентности.

В 1971 г. (а фактически года на полтора раньше) К.А. Наугольных и С.А. Рыбак [17] дали очень веский теоретический аргумент в пользу дипольного излучения для турбулентного течения над пластиной. Идея заключалась в том, чтобы более детально учесть вязкость среды вблизи плоской границы. Взаимодействие турбулентности с границей было сведено к отражению плоских сдвиговых (вязких, вихревых) волн от границы. При отражении возникала, помимо сдвиговой волны, продольная волна, которую можно интерпретировать как звук (обратный эффект Константинова; прямой эффект Константинова поглощения звука при распространении акустических волн вблизи твердых границ рассмотрен в [18-20]). Иллюстрация этого механизма [17] приведена на рис. 1.

Рис. 1. Генерация звука при отражении сдвиговой волны от плоской границы (обратный эффект Константинова) [18].

Зависимость от скорости звука в среде получалась дипольной, а интенсивность звука - большой. Предложенный подход оказался очень неожиданным и, как показало время, нетривиальным. Сила и одновременно слабость предложенного подхода была в его оригинальности - он совершенно не был связан с предшествующей идеей Крейчнана и Пауэлла и при этом апеллировал к физическому эффекту (обратный эффект Константинова), а не к математическим теоремам. Настоящая работа развивает идею Наугольных-Рыбака в части происхождения вязких волн в турбулентном пограничном слое.

Фактически, результаты Крейчнана-Пауэлла и Наугольных-Рыбака не противоречат друг другу. Они оба правильны. Первый утверждает, что, формально, на плоской границе под ТПС могут существовать касательные диполи, излучающие звук. Далее можно задаваться параметрами касательных диполей, в частном случае, считать, что амплитуда диполей равна нулю. Второй подход указывает на конкретный путь возникновения звука - преобразование вязких волн в продольные на границе. Далее можно постулировать параметры этих вязких волн. Таким образом, основной вопрос заключается в количественной оценке роли вязкости (касательных диполей на поверхности границы) при излучении звука ТПС. Однако проведение этой оценки оказывается нетривиальной задачей.

Значимость дипольного излучения шума ТПС была показана в фундаментальной работе Ландала [22]. Здесь касательные напряжения связываются с так называемыми всплесками (взрывами, bursts) в пристенной области ТПС и делается вывод, что дипольный звук возникает из-за поверхностных флуктуаций касательных напряжений, которые, в свою очередь, порождаются рейнольдсовыми напряжениями (т.е. лайтхилловскими квадруполями) в процессе всплесков и транслируются к границе посредством вязкой диффузии. Под вязкой диффузией естественно понимать вязкие волны. Отличие этой концепции от теории [17] заключается в явном определении источника вязких волн, именно, процессов всплесков. На основе подхода Ландала [22] в работе [23] была предложена расчетная формула для оценки интенсивности звука, излучаемого касательными напряжениями ТПС.

С другой стороны, Хау в статье [24] пришел к выводу, что учет вязкости приводит не к увеличению звука, излучаемого ТПС, а, наоборот, к его снижению. В [24] рассматривается задача отражения плоской поверхностью звуковых волн, создаваемых квадрупольными источниками в турбулентном потоке. Вязкость и вязкие волны при этом учитываются с помощью условия прилипания на границе, так что при падении плоской звуковой волны кроме отраженной звуковой волны порождается еще вязкая волна (рис. 2), т.е. имеет место прямой эффект Константинова [18-20]. Вязкая волна изменяет фазовое соотношение между скоростью и давлением в звуковой волне, что приводит к уменьшению амплитуды отраженной звуковой волне. Таким образом, в работе [24] был сделан вывод, что учет вязкости среды и касательных напряжений на границе приводит не к генерации звука, а к его частичному поглощению.

Рис. 2. Генерация сдвиговой волны при отражении от плоскости звуковой волны (прямой эффект Константинова) [18].

Расхождение выводов работ [17] и [24] может быть объяснено тем обстоятельством, что в [24] в качестве исходного пункта взято уравнение Лайтхилла: волновое уравнение с правой частью - лайтхилловскими квадруполями. Оно не содержит среди своих решений сдвиговых волн, падающих на границу. В результате в данной постановке на границу падают только акустические волны, которые приводят к появлению сдвиговых волн, уходящих от границы. Как следствие, учет вязкости среды при отражении звука от жесткой поверхности, естественно, приводит только к уменьшению общей излучаемой мощности. Таким образом, подход работы [24] оказывается, как минимум, непоследовательным при учете роли вязкости среды.

Тем не менее, подход Хау [24] получил широкое распространение в литературе [25]. В работе [26] этот подход был обобщен на случай, когда толщина пограничного слоя не мала по сравнению с длиной звуковой волны и был сделан вывод о том, что вязкость (касательные диполи) вносит хотя и ненулевой, но незначительный вклад в шум ТПС по сравнению с квадрупольными источниками.

В работе Смольякова [27] проанализирована роль вязкости и вязких волн с использованием исходной системы уравнений вязкой сжимаемой среды. Здесь обращено внимание (по-видимому, впервые в журнальной литературе) на то, что турбулентность может генерировать не только потенциальное поле (звук и длинноволновые пульсации давления), но и вихревое поле (вязкие волны). Определено влияние вязкости на частотно-волновой спектр длинноволновых нормальных напряжений на поверхности пластины и найдено соотношение между спектрами касательных и нормальных напряжений при малых волновых числах. В целом автор был согласен с аргументом Крайчнана-Пауэлла о малости вязких эффектов при больших числах Рейнольдса [28]. Как будет показано в настоящей работе, и это является одним из основных ее результатов, при стремлении вязкости к нулю влияние вязкости на касательные напряжения и излучаемый ими звук не стремится к нулю.

Последовательный анализ проблемы вязкости дан в работах Чейза [29, 30]. В них подробно, но формально математически, рассматривается влияние вязкости и условия прилипания на обтекаемой границе на длинноволновую часть спектров давления и касательных напряжений. При этом в явном виде вязкие волны не формулируются. Устанавливается связь между произведениями флуктуирующей скорости, рассматриваемых в качестве источников (фактически, лайтхилловских квадруполей), и частотно-волновыми спектрами флуктуирующего давления и напряжения сдвига на границе (стенке). На этой основе исследуется результирующая спектральная плотность обычного “невихревого” вклада в давление на стенку и вклада вихревого поля как в давление на стенку, так и в напряжение сдвига, которое возникает в результате применения условия прилипания на стенке. Осторожно утверждается, что, вопреки некоторым предыдущим оценкам (в том числе и самого автора), вклад вихревого поля может доминировать в турбулентном давлении на стенке при малых волновых числах. В этих работах даже говорится о неправильности теоремы Крайчнана-Филлипса об отсутствии касательных источников. Аналогичный вывод делается в обзорных работах [12, 31, 32].

В работе [33] рассмотрено преобразование вихревых волн в звуковые на границе жидкости и упругого полупространства. Оказалось, что замена недеформируемой границы на деформируемую может существенно изменить (уменьшить) амплитуду излучаемого звука. Этот эффект был рассмотрен также в работе [34].

С появлением возможностей численного анализа турбулентных течений проблема поверхностных источников под ТПС рассматривалась в ряде работ. Статья [35] посвящена физическим и численным оправданиям реального существования касательных источников под ТПС. В работе [36] обсуждалась текущая ситуация с ролью касательных диполей и возможностью численных подходов к решению этой проблемы. Отмечается, что обоснованность использования диполей вязких напряжений в качестве источника звука остается спорной. При этом если касательные источники действительно существуют, то они должны давать доминирующий вклад в излучаемый ТПС звук.

Для практических количественных оценок звука и вибрации оболочек, порождаемых ТПС, используют эмпирические модели частотно-волновых спектров пульсаций давления на обтекаемой поверхности. Они, в основном, приведены в [37-39]. Авторы всех моделей отмечают неопределенность моделируемого спектра давлений именно в области малых волновых чисел, ответственных за излучение звука и вибрации. Однако, за последние 10-15 лет появилось много работ по экспериментальному и численному исследованию касательных напряжений в пограничном слое и в течениях в канале [40-44]. В этих работах не рассматривается излучение звука касательными напряжениями, и недостаточно данных для прямых вычислений излучаемого звука.

Основная идея настоящей работы состоит в доказательстве физического существования касательных диполей как источников звука в ТПС. Разрабатываемая теория представляет собой обобщение теории Лайтхилла, в котором учитывается также генерация вязких волн. В неограниченной среде эти вязкие волны не играют никакой роли в генерации звука, т.к. они экспоненциально быстро затухают при удалении от места генерации, однако если в пределах достижимости вязких волн есть жесткая граница, возникает новый источник звука. Разработанная теория позволяет учесть этот источник звука и получить количественные оценки спектра удельной звуковой мощности, генерируемой ТПС.

Генерация волн квадрупольными источниками

Для выяснения принципиальной роли касательных сил на поверхности тела в генерации звука средним потоком можно пренебречь. Разумеется, при практическом приложении к высокоскоростной аэродинамике скоростью и средним сдвигом пренебрегать нельзя, однако ценность низкоскоростного приближения и низкоскоростных измерений заключается в том, что здесь касательные источники существуют (или не существуют) в чистом виде.

На рис. 3 изображена система объемных квадруполей и поверхностных диполей.

Рис. 3. Источники поля скорости в ТПС: 1 – лайтхилловские квадруполи, 2 – нормальные поверхностные диполи, 3 – касательные поверхностные диполи.

Геометрия постановки задачи и обозначения показаны на рис. 4. Ось x направлена по потоку, ось y - по нормали к обтекаемой плоскости, ось z - поперек потока. $p\left(x,y,z\right)$ - поле давления, $u_x, u_y, u_z$ - проекции поля скорости $u$ на оси координат. Иногда ниже вместо обозначения координат (x,y,z) используются обозначения (x₁,x₂,x₃), а проекции скоростей обозначаются (u₁,u₂,u₃).

Рис. 4. Система координат, поле давления и проекции поля скорости.

Исходная система уравнений - это система уравнений вязкой сжимаемой среды, в которой нелинейное слагаемое - конвективное ускорение - перенесено в правую часть:

$\begin{array}{c}\frac{\partial p}{\partial t}+{\rho }_0{c}^2\frac{\partial u_i}{\partial x_i}=\mathrm{0,}\\ {\rho }_0\frac{\partial u_i}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial x_i}-\mu \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\frac{2}{3}{\delta }_{ij}\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)=\\ =-{\rho }_0\frac{\partial }{\partial x_i}\left(u_i{u}_j-⟨u_i{u}_j⟩\right),\end{array}$          (1)

p - флуктуации давления; u - флуктуации скорости; ρ₀ - средняя плотность среды; c - скорость звука; µ - коэффициент динамической вязкости,

 $F_i=-{\rho }_0\frac{\partial }{\partial x_i}\left(u_i{u}_j-u_i{u}_j\right)=-{\rho }_0\frac{\partial }{\partial x_i}{T}_{ij}$   (2)

- поле лайтхилловских пульсационных напряжений, вызванное конвективным ускорением.

Система (1) - это система линейных неоднородных уравнений, описывающих как потенциальные, так и вихревые поля, порождаемые сторонними силами F. Если применить к первому уравнению дифференцирование по времени, а ко второму - оператор дивергенции, и вычесть второе из первого, то получим уравнение Лайтхилла для поля давления:

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}-{\nabla }^{2}p=\nabla F\left(=-\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}{T}_{ij}\right).$    (3)

При переходе от исходных уравнений (1) к уравнению Лайтхилла (3) теряются вихревые волны, генерируемые лайтхилловскими источниками F. Они были в (1), но их нельзя получить из (3) ни добавлением в тензор напряжений T_ij вязких напряжений, ни с помощью учета вязких волн, порождаемых при отражении звука от границы [16]. Однако, как обсуждалось выше во Введении, без учета вихревых волн нельзя получить и касательные диполи на обтекаемой границе, излучающие звук.

Система уравнений (1) в качестве решений содержит как потенциальные, так и вихревые волны. Полное поле скорости u является суммой потенциального u_p и вихревого полей u_r:

$u=u_p+u_r$,

$\text{rot} u_p=0;\text{div} u_r=0$.

Применяя к уравнению импульса системы (1) операцию rot, получаем уравнение для вихревого поля

 $\frac{\partial \text{rot}{u}_r}{\partial t}-\nu \text{rot} u_r=\text{rot}\left[u\text{rot}u\right],$ (4)

где ν = µ/ρ0 - коэффициент кинематической вязкости.

Это уравнение можно назвать уравнением Лайтхилла для вихревого поля. Правая часть этого уравнения является источником вихревого поля. Простейшее решение однородного уравнения (4) - плоская поперечная гармоническая волна с частотой ω и волновым числом $k_{\tau }=\sqrt{i\omega /\nu }$, распространяющаяся вдоль оси $z$ от плоскости $z=z_0$ с поляризацией вдоль оси $x$:

$u_{\tau }=u_{x\tau }\left(z_0\right)\text{exp}\left[+i{k}_{\tau }\left(z-z_0\right)-i\omega t\right]$.

Система (1), или пара уравнений для потенциального (3) и вихревого (4) полей, дополняется граничным условием на обтекаемой границе - условием прилипания

 ${(u_x, u_y, u_z)}_{y=0}=0.$         (5)

Касательные напряжения на границе определяются через нормальные производные касательных проекций скорости:

 ${\tau }_x=\mu \frac{\partial u_x}{\partial z}, {\tau }_y=\mu \frac{\partial u_y}{\partial z}.$              (6)

Важный результат относительно роли вязкости в излучении звука поверхностными источниками получается еще до вычисления поля давления и скорости. Непосредственно из условия (5) и уравнения импульсов на границе получаем:

 $\frac{\partial p}{\partial z}=\mu \frac{{\partial }^2{u}_3}{\partial x_3{}^2}.$     (7)

Закон сохранения массы (в приближении несжимаемой среды) после выражения производной вертикальной скорости $u_3$ через горизонтальные производные горизонтальных проекций скорости примет вид:

 $\frac{\partial u_3}{\partial x_3}=-\frac{\partial u_1}{\partial x_1}-\frac{\partial u_2}{\partial x_2}.$        (8)

Подставляя (8) в (7) и учитывая (6), получаем простую связь между нормальными и касательными напряжениями:

$\frac{\partial p}{\partial z}=-\frac{\partial {\tau }_1}{\partial x_1}-\frac{\partial {\tau }_2}{\partial x_2}.$              (9)

Как отметил еще Крейчнан [12], это соотношение ясно демонстрирует роль вязкости в структуре напряжений на обтекаемой границе. Если пренебрегать касательными напряжениями, полагая ${\tau }_1={\tau }_2=\mathrm{0,}$ то вертикальный градиент давления на границе равен нулю. Для невязкой среды это соответствует очевидному условию равенства нулю нормальной скорости.

Соотношение (9) позволяет получить фундаментальную связь волновых спектров нормальных и касательных напряжений на границе. Представляя поле в пристенной области ТПС - вязком подслое [45] - в виде набора свободных плоских волн, и переходя к частотно-волновым спектрам напряжений, получаем из (9) соотношение для спектров:

$\begin{array}{c}\tilde{p}\left(\omega ,k_x,k_y\right)=\frac{k_x}{q_z}{\tilde{\tau }}_x\left(\omega ,k_x,k_y\right)+\\ +\frac{k_y}{q_z}{\tilde{\tau }}_y\left(\omega ,k_x,k_y\right) .\end{array}$                                   (10

$k_x, k_y$ - волновые числа в плоскости z $=0$, $q_z=\sqrt{{\left(\omega /c\right)}^2-k_x^2-k_y^2}$ - вертикальное волновое число потенциальной волны. Знак тильды обозначает Фурье-образ соответствующей величины. Из формулы (10) непосредственно следует, что при $k_x, k_z=0$, спектр давления точно равен нулю, независимо от равенства или неравенства нулю спектра касательных напряжений:

 $\tilde{p}\left(\omega \mathrm{,0,0}\right)=0.$                     (11)

Далее будут выписаны выражения для спектров давления и касательных напряжений через спектры компонент тензора рейнольдсовых (лайтхилловских) напряжений. Для компонент спектра тензора напряжений введем обозначения:

$\begin{array}{l}\rho u_1{u}_1=g_1;\rho u_2{u}_2=g_2;\rho u_3{u}_3=g_3;\\ \rho u_1{u}_2=g_4;\rho u_1{u}_3=g_5;\rho u_2{u}_3=g_6.\end{array}$                         (12)

Свертки этих компонент с экспонентами, соответствующими потенциальным и вихревым волнам, обозначаются через $g_{i\alpha , }{g}_{i\beta }$:

$g_{i\alpha }=\underset{\infty }{\overset{0}{{\displaystyle \int }}}{g}_i\left(z\right)\exp \left(-\alpha z\right)dz,$ (13)

 $g_{i\beta }=\underset{\infty }{\overset{0}{{\displaystyle \int }}}{g}_i\left(z\right)\exp \left(-\beta z\right)dz.$ (14)

Здесь обозначено:

 $\alpha =\sqrt{k^2-i\omega /\nu } ,$            (15)

 $\beta =\sqrt{k^2-{\left(\frac{\omega }{c}\right)}^2/\left(1-\frac{2i\omega \nu }{c^2}\right)} ,$              (16)

где $k^2=k_x^2+k_y^2$.

Технически громоздкая, но принципиально понятная процедура решения дает следующий ответ для частотно-волновых спектров нормальных и касательных напряжений на стенке (знаки преобразования Фурье $\underset{⃛}{\sim }$ над спектрами p, τ_{x, y}, $g$ _iα, $g$ _iβ и источников опущены):

$\begin{array}{c}\frac{p}{{\rho }_0}=\frac{\alpha \beta }{\alpha \beta -k^2}\left(i{k}_x{g}_{5\beta }+i{k}_z{g}_{6\beta }+\beta g_{3\beta }\right)+\\ +i\frac{\alpha k_x}{\alpha \beta -k^2}\left(i{k}_x{g}_{1\beta }+i{k}_z{g}_{4\beta }+\beta g_{5\beta }\right)+\\ +i\frac{\alpha k_z}{\alpha \beta -k^2}\left(i{k}_x{g}_{4\beta }+i{k}_z{g}_{2\beta }+\beta g_{6\beta }\right)+\\ +i\frac{k^2}{\alpha \beta -k^2}\left(i{k}_x{g}_{5\alpha }+i{k}_z{g}_{6\alpha }+\alpha g_{3\alpha }\right)-\\ -i\frac{\alpha k_x}{\alpha \beta -k^2}\left(i{k}_x{g}_{1\alpha }+i{k}_z{g}_{4\alpha }+\alpha g_{5\alpha }\right)-\\ -i\frac{\alpha k_z}{\alpha \beta -k^2}\left(i{k}_x{g}_{4\alpha }+i{k}_z{g}_{2\alpha }+\alpha g_{6\alpha }\right)\end{array}$            (17)

$\begin{array}{c}\frac{{\tau }_x}{{\rho }_0}=\frac{{\alpha }^2\beta k_x}{\alpha \beta -k^2}\frac{\nu }{\omega }\left(i{k}_x{g}_{5\beta }+i{k}_z{g}_{6\beta }+\beta g_{3\beta }\right)+\\ +\frac{{\alpha }^2{k}_x}{\alpha \beta -k^2}\frac{\nu }{\omega }\left(i{k}_x{g}_{1\beta }+i{k}_z{g}_{4\beta }+\beta g_{5\beta }\right)+\\ +\frac{{\alpha }^2{k}_x{k}_z}{\alpha \beta -k^2}\frac{\nu }{\omega }\left(i{k}_x{g}_{4\beta }+i{k}_z{g}_{2\beta }+\beta g_{6\beta }\right)-\\ -\left(\alpha \frac{\nu }{\omega }{k}_x-i\frac{k^2\alpha k_z}{\alpha \beta -k^2}\frac{\nu }{\omega }\right)\left(i{k}_x{g}_{5\alpha }+i{k}_z{g}_{6\alpha }+\alpha g_{3\alpha }\right)-\\ -\left(1+i{k}_x^2\frac{\nu }{\omega }+i\frac{{\alpha }^2{k}_x^2}{\alpha \beta -k^2}\frac{\nu }{\omega }\right)\left(i{k}_x{g}_{4\alpha }+i{k}_z{g}_{6\alpha }+\alpha g_{5\alpha }\right)-\\ -\left(i{k}_x{k}_z\frac{\nu }{\omega }+i\frac{{\alpha }^2{k}_x{k}_z}{\alpha \beta -k^2}\frac{\nu }{\omega }\right)\left(i{k}_x{g}_{4\alpha }+i{k}_z{g}_{2\alpha }+\alpha g_{6\alpha }\right).\end{array}$ (18)

Формула для ${\tau }_y$ получается из формулы (18) заменой $k_x\text{}\leftrightarrow \text{}{k}_y$ и $u_1\text{}\leftrightarrow \text{}{u}_2$ в (12).

Несмотря на громоздкость этих расчетных формул, они имеют простую физическую интерпретацию. В правых частях (17), (18) все слагаемые можно разделить на две группы: слагаемые, содержащие $g$ _iβ, и слагаемые, содержащие $g$ _iα. Первая группа определяет вклад потенциальных волн в нормальные и касательные напряжения на границе. Вторая группа определяет вклад вихревых волн в нормальные и касательные напряжения на границе. В работах [6, 12, 13] нормальные и касательные напряжения вводились формально, не связывая их с объемными пульсациями. В работе [14] не учитывались вихревые волны, приходящие к границе. Существенность вихревых волн, приходящих к границе, впервые показана в [17], при этом последовательного вывода амплитуд этих волн в этой работе не дано.

Формулы (17), (18) являются математически точной связью спектра поверхностных и объемных (лайтхилловских) напряжений и позволяют анализировать роль вязкости и вязких волн в генерации длинноволновой части поля давления. Под длинными волнами понимается часть частотно-волнового спектра с волновыми числами, характерными для звука и вибрационных волн, распространяющихся по границе.

Оценки вклада различных компонент

Формулы (17), (18) выражают частотно-волновые спектры нормальных и касательных напряжений на границе через частотно-волновые спектры рейнольдсовых напряжений, распределенных по всему ТПС. Спектры напряжений являются суммой слагаемых, каждое из которых соответствует собственным волнам - продольным и вихревым, приходящим к границе и отраженным от границы. При отражении от границы происходит частичное преобразование продольных волн в сдвиговые, и сдвиговых волн в продольные. Именно преобразование сдвиговых волн в продольные порождает звуковое дипольное излучение. Этот механизм предложен К.А. Наугольных и С.А. Рыбаком в [17].

Сначала проанализируем слагаемые в спектре давления (17), порождаемые потенциальными волнами. Это слагаемые, содержащие индексы β. Отметим, что слагаемые с индексом α равны нулю, если формально положить вязкость равной нулю. Действительно, при ν = 0 действительная часть α

$\mathrm{Re}\left(\alpha \right)=\mathrm{Re}\left(\sqrt{k^2-\frac{i\omega }{\nu }}\right)=+\infty$,

соответственно все $g_{i\alpha }$ обращаются в нуль. Выражение (17) тогда примет вид:

$\begin{array}{c}\frac{p_{\beta }}{{\rho }_0}=\left(i{k}_x{g}_{5\beta }+i{k}_z{g}_{6\beta }+\beta g_{3\beta }\right)+\\ +i\frac{k_x}{\beta }\left(i{k}_x{g}_{1\beta }+i{k}_z{g}_{4\beta }+\beta g_{5\beta }\right)+\\ +i\frac{k_z}{\beta }\left(i{k}_x{g}_{4\beta }+i{k}_z{g}_{2\beta }+\beta g_{6\beta }\right).\end{array}$ (19)

Чтобы получить оценку длинноволновой части этого спектра, учтем, что толщина пограничного слоя δ мала по сравнению с длинами звуковых волн: $\left|\beta \delta \right|\ll 1$. Тогда выражение (14) можно записать, считая, что экспоненциальный множитель равен 1, в виде

 $g_{i\beta }=\underset{\infty }{\overset{0}{{\displaystyle \int }}}{g}_i\left(y\right)\exp \left(-\beta y\right)dy=h{g}_0,$ (20)

где $h$ - характерный вертикальный масштаб, а $g_0$ - характерная амплитуда спектра турбулентных напряжений (оба параметра зависят от частоты). Подставив (20) в (19), получим

 $\frac{p_{\beta }}{{\rho }_0}=\left(i{k}_x+i{k}_y+\beta \right)\left(1+i\frac{i{k}_x+k_y}{\beta }\right)h{g}_0.$              (21)

Для определенности положим $k_z=0$

$\frac{p_{\beta }}{{\rho }_0}=\left\{\sqrt{k_x{}^2-{\left(\frac{\omega }{c}\right)}^2}+i{k}_x\left[2+\frac{i{k}_x}{\sqrt{k_x{}^2-{\left(\frac{\omega }{c}\right)}^2}}\right]\right\}h{g}_0$. (22)

При $k_x=0$ получим $\frac{p_{\beta }}{{\rho }_0}=\frac{i\omega h}{c}{g}_0$. При $k_x\gg \frac{\omega }{c} \frac{p_{\beta }}{{\rho }_0}=2i{k}_{x}h{g}_0$ $k_x\gg \frac{\omega }{c} \frac{p_{\beta }}{{\rho }_0}=2i{k}_{x}h{g}_0$.

При $k_x=\omega /c$, т.е. при скользящем угле, функция (22) имеет сингулярность, которая объясняется тем, что звук собирается с бесконечной площади генерирующей звук турбулентности. Бесконечность устраняется при учете конечности обтекаемой поверхности, или при учете влияния поглощения в среде (добавления мнимой компоненты к скорости звука).

Если положить скорость звука бесконечной (несжимаемая среда), то спектр давления (22) равен нулю при $k_x=0$, а вблизи нуля он пропорционален $k_x$. Таким образом, формула (17) полностью воспроизводит результаты [2, 6, 12], полученные при пренебрежении вязкостью.

Учет вязкости выражается, с одной стороны, изменением слагаемых, пропорциональных $g_{i\beta }$, с другой стороны добавлением слагаемых, пропорциональных $g_{i\alpha }$. Первое изменение соответствует изменению вклада потенциальных волн в спектр давления. Второе изменение соответствует вкладу вихревых волн. Что касается первого, то вязкость подавляет бесконечность при $k_x=\omega /c$. Действительно, поведение спектра вблизи волнового числа звука описывается множителем $\frac{\alpha }{\alpha \beta -k^2}$, общим для всех слагаемых, содержащих $g_{i\beta }$. В отсутствие вязкости именно этот множитель дает бесконечность в спектре давления. Подставляя из уравнений (15) и (16) величины α, δ в этот множитель, получим:

 $\frac{\alpha }{\alpha \beta -k^2}={\left[\sqrt{k^2-\frac{{\left(\omega /c\right)}^2}{1-2\left(i\omega \nu /c^2\right)}}-\frac{k}{\sqrt{1-\left(i\omega /\nu k^2\right)}}\right]}^{-1}$. (23)

При $\nu \ne 0$ это выражение конечно при всех вещественных $k$. Физически это объясняется поглощением звука, генерируемого турбулентными объемными напряжениями, распространяющимся вдоль границы. Два слагаемых в правой части (23), содержащих ν, описывают два принципиально разных механизма поглощения. Комбинация 2iων/c² описывает объемное поглощение, которое существует и в отсутствие границы. Комбинация iω/(νk²) описывает поглощение, вызванное частичным переходом потенциальных волн в вихревые при отражении их от границы. Именно второй эффект учтен в работе Хау [16]. Итак, учет вязкости не увеличивает вклад потенциальных волн в длинноволновую часть спектра давления на обтекаемой границе.

Далее рассматривается вклад вихревых волн. Он описывается слагаемыми в (17), содержащими $g_{5\alpha }$. Учитывая, что $\left|\alpha \right|\gg k$, можно выделить наибольшие слагаемые: $\frac{p_{\alpha }}{{\rho }_0}=-i\frac{{\alpha }^2{k}_x}{\alpha \beta -k^2}{g}_{5\alpha }-i\frac{{\alpha }^2{k}_y}{\alpha \beta -k^2}{g}_{6\alpha }.$      (24)

Для численной оценки необходимо учесть, что под интегралами в (13) для $g_{i\alpha }$ стоит быстро затухающая экспонента. Вследствие этого вклад в этот интеграл дает только ближайшая к границе область, занятая турбулентностью. Это переходная область, отстоящая от границы на расстояние порядка толщины вязкого подслоя ${\delta }_{*}$. Внутри вязкого подслоя источники волн отсутствуют: $g{\left(y\right)}_{i\alpha }{|}_{z<{\delta }_{*}}$ = 0. Допустим, что вне вязкого подслоя спектр источников постоянен:

$g{\left(y\right)}_{i\alpha }{|}_{z>{\delta }_{*}}=g_{i0}$.

Выражение для $g_{i\alpha }$ записывается в виде:

 $g_{i\alpha }=\frac{1}{\alpha }{g}_{i0}\exp \left(-\alpha {\delta }_{*}\right).$ (25)

Соответственно спектр давления равен

 $\frac{p_{\alpha }}{{\rho }_0}=-i\frac{\alpha k_x}{\alpha \beta -k^2}{g}_{50}-i\frac{\alpha k_y}{\alpha \beta -k^2}{g}_{60}.$      (26)

Рассмотрим для примера случай $k_y=0$:

$\frac{p_{\alpha }}{{\rho }_0}=-\frac{i{k}_x}{\sqrt{k^2-{\left(\omega /c\right)}^2}-k^2/\alpha }{g}_{50}\exp \left(-\alpha {\delta }_{*}\right).$       (27)

При $k_x=0$ спектр давления (27) равен нулю, независимо от величины скорости звука. Площадь корреляции поля давления, создаваемого вихревыми волнами и пропорциональная квадрату $p_{\alpha }$, равна нулю. Максимум спектра, расположенный при $k=\omega /c$, образуется при перерассеянии вихревых волн в потенциальные [17]. Наличие экспоненциального множителя $\exp \left(-\alpha {\delta }_{*}\right)$ показывает зависимость спектра давления от соотношения между толщиной вязкого подслоя и глубиной проникновения вихревой волны, равной $\frac{1}{\mathrm{Re}\alpha }=\sqrt{2\nu /\omega }$. При ${\delta }_{*}<\sqrt{2\nu /\omega }$ экспонента равна примерно 1, вихревая волна не меняет своей амплитуды и $\left|\frac{p_{\alpha }}{{\rho }_0}\right|\approx \left|g_{50}\right|$. При ${\delta }_{*}>\sqrt{2\nu /\omega }$ амплитуда вихревой волны экспоненциально затухает при распространении по вязкому подслою, соответственно, амплитуда спектра давления экспоненциально спадает при увеличении частот

$\left|\frac{p_{\alpha }}{{\rho }_0}\right|\approx \left|g_{50}\exp \left(-{\delta }_{*}\sqrt{\frac{\omega }{2\nu }}\right)\right|$.

Спектр касательных напряжений также представляется в виде суммы вкладов потенциальных и вихревых волн (для сокращения формул далее выписываются только x-компоненты касательных напряжений):

${\tau }_x={\tau }_{x\beta }+{\tau }_{x\alpha . }$ (28)

Вклад от потенциальных волн обозначается индексом β. Это три первых слагаемых в (18). Вклад от вихревых волн обозначается индексом α. Это три последних слагаемых в (18). Сопоставление вклада потенциальных волн в спектр касательных напряжений с вкладом потенциальных волн в спектр давления показывает:

$\left|{\tau }_{x\beta }/p_{\beta }\right|\approx \left|k/\alpha \right|\ll 1$.

Касательные напряжения, создаваемые потенциальными волнами, малы по сравнению с давлением, создаваемым потенциальными волнами.

Вклад вихревых волн в спектр касательных напряжений определяется слагаемым $g_{5\alpha }$. С учетом (25) получаем

${\tau }_{x\alpha }=-\exp \left(-{\delta }_{*}\cdot \alpha \right)g_{50.}$               (29

Если выполняется условие $\text{Re}({\delta }_{*}\alpha )<1$, то спектр касательных напряжений равен $g_{50}$:

$\left|{\tau }_{x\alpha }\right|=\left|g_{50}\right|.$       (30)

В работе Ландала [22] получена именно такая связь между касательными напряжениями и пристенными “взрывными” структурами в ТПС. Если выполняется противоположное условие: $\mathrm{Re}({\delta }_{*}\alpha )>1$, затухание вихревой волны приводит к экспоненциальному спаданию спектра касательных напряжений. Экспоненциальное затухание вихревых волн в [22] не учтено.

Основной вывод из анализа слагаемых в формулах (17), (18) для спектров давления и касательных напряжений на обтекаемой границе формулируется следующим образом. Длинноволновая часть этих спектров генерируется одними и теми же источниками - турбулентностью пристенной области ТПС. Поэтому они жестко связаны между собой. Эта связь дается следующей простой формулой (ср. (27) и (29)):

 $p\left(\omega ,k_x\right)=\frac{i{k}_x}{\sqrt{k^2-{\left(\frac{\omega }{c}\right)}^2}-k^2/\alpha }{\tau }_x\left(\omega ,k_x\right).$       (31)

Эта формула позволяет, в частности, использовать результаты измерений, или численного счета касательных напряжений на обтекаемой границы, для расчетов шума и вибраций, генерируемых ТПС.

Формула (31) разъясняет существующее разногласие относительно поведения спектра давления при малых волновых числах в районе $k~\omega /c$. Из нее следует, что, независимо от учета или неучета вязкости, при $k=0$ спектр давления равен нулю. При $k\gg \omega /c$ спектр давления практически совпадает со спектром касательных напряжений. В ряде работ измеренные значения спектра давления при $k\gg \omega /c$ экстраполируются на область $k<\omega /c$. Отсюда возникает ошибка при определении диаграммы направленности излучаемого звука. Выражение (31) соответствует дипольному излучению с максимумом, направленным вдоль обтекаемой плоскости. Излучение в направлении перпендикулярно плоскости отсутствует. Экстраполяция значений спектра при $k\gg \omega /c$ на область $k<\omega /c$, в частности, на $k=0$, приводит к эффективному излучению звука по нормали [38].

Оценки излучения шума турбулентным пограничным слоем

Для получения численных оценок шума ТПС на основе выражения (29) необходимы данные о пульсационных касательных напряжениях ${\tau }_x$. Из полученных выше выражений для касательных напряжений, создаваемых вязкими волнами, видно, что зависимость энергетического спектра ${\left|{\tau }_x\right|}^2$ от частоты ω имеет вид

 ${\left|{\tau }_x\right|}^2~\exp \left[-2\sqrt{\frac{\omega }{2\nu }}{\delta }_{*}\right]$.               (32)

Такая частотная зависимость очень близка к результатам численного эксперимента работы [40]. В [40] получены энергетические спектры касательных напряжений для турбулентного пограничного слоя над плоской границей при числах Рейнольдса ${\text{Re}}_{\theta }=\mathrm{790,} \mathrm{1090,} \mathrm{1470,} \mathrm{1650,} 1820.$ Результаты показаны на рис. 5.

Рис. 5. Энергетический спектр касательных напряжений на основе численного моделирования [40].

По оси ординат на рис. 5 отложен нормированный на квадрат среднего касательного напряжения ${\tau }_{*}^2$ и умноженный на частоту ω энергетический спектр пульсаций касательного напряжений ${\left|\tau \left(\omega \right)\right|}^2$, а по оси абсцисс - нормированная частота $\omega \nu /u_{*}^2$. При такой нормировке спектры для пяти чисел Рейнольдса практически совпадают. Их можно представить в виде функции:

${\frac{\omega \left|\tau \left(\omega \right)\right|}{{\tau }_{*}^2}}^2=F\left(\Omega \right), \Omega =\omega \nu /u_{*}^2$.    (33

Используя теоретическую зависимость (32), мы получаем, что зависимость F(Ω) должна иметь вид

$F\left(\Omega \right)~A\left(\Omega \right)\Omega \exp \left[-C\sqrt{\Omega }\right], C=\text{const}$.                (34)

$\text{A}\left(\Omega \right)$ - слабо зависящая от частоты функция. Подбор дает следующую частотную зависимость (34):

$F\left(\Omega \right)=10\frac{\Omega }{0.016+\Omega }\Omega e^{-8.2\sqrt{\Omega }}$.                                  (35)

Сравнение результатов численного моделирования и теоретической функции (35) приведено на рис. 6. Видно, что соответствие между формами спектров действительно очень хорошее.

Рис. 6. Сравнение результатов теоретической модели и численного счета [40]: пунктир – численный эксперимент, красная кривая – теория.

Рассмотрим выражение (35) более подробно. Запишем показатель экспоненты в виде произведения:

$8.2\sqrt{\Omega }=2\times 4.1\sqrt{2}\frac{\nu }{u_{*}}\sqrt{\frac{\omega }{2\nu }}$.

Первый сомножитель $\nu /u_{*}$ - это внутренний (вязкий) масштаб ТПС. Второй сомножитель $\sqrt{\omega /2\nu }$ - это вещественная часть волнового числа вязкой волны. Примем, что толщина вязкого подслоя (область, где отсутствует турбулентность), равна ${\delta }_{*}=5\frac{\nu }{u_{*}}$. Последняя формула запишется в виде:

$8.2\sqrt{\Omega }=2\times 1.16{\delta }_{*}\sqrt{\frac{\omega }{2\nu }}$.             (36)

Видно, что расстояние от области турбулентности до границы действительно равно примерно толщине вязкого подслоя ${\delta }_{*}$.

Выражение (33) с учетом (35) можно переписать в виде

 $\frac{{\left|\tau \left(\omega \right)\right|}^2}{{\rho }^2{u}_{*}^2\nu }=10\frac{\omega \nu /u_{*}^2}{0.016+\omega \nu /u_{*}^2}{e}^{-8.2\sqrt{\omega \nu /u_{*}^2}}$.            (37)

Следует еще раз подчеркнуть, что эта зависимость точно описывает результат численного эксперимента [40]. График зависимости (37) показан на рис. 7.

Рис. 7. Теоретический спектр касательных напряжений с нормировкой на внутренние масштабы.

Излучение звука касательными диполями зависит не только от касательных напряжений, но и от площади корреляции касательных напряжений $\sigma \left(\omega \right)$. Мощность, излучаемая с единицы площади, равна

$J\left(\omega \right)=\frac{1}{12\pi \rho c}{k}^2\tau {\left(\omega \right)}^2\sigma \left(\omega \right),$                                       (38)

$k=\omega /c$, $c$ - скорость звука.

К сожалению, в [40] не приводится конкретных данных по площади корреляции. В работе [15] приведены экспериментальные данные по взаимной продольной корреляции касательных напряжений. Нормированные на внутренний масштаб пограничного слоя $\frac{\nu }{u_{*}}$ зависимости характерного масштаба от числа Рейнольдса $\mathrm{Re}=\frac{\delta u_{*}}{\nu }$ (δ - толщина пограничного слоя) и частоты $\Omega =\frac{\omega \nu }{u_{*}{}^2}$ удовлетворительным образом описываются следующей формулой:

$\Lambda \left(\Omega ,\mathrm{Re}\right)=\frac{20}{1200{\mathrm{Re}}^{-1.4}+{\Omega }^{1.3}}.$                                   (39)

При увеличении числа Рейнольдса продольный масштаб увеличивается, при увеличении частоты - уменьшается. Поперечный масштаб корреляции, согласно [15], примерно в 10 раз меньше. С учетом (39), площадь корреляции касательных напряжений записывается следующим образом

 $\sigma \left(\omega \right)=\Lambda {\left(\Omega ,\mathrm{Re}\right)}^2{\left(\frac{\nu }{u_{*}}\right)}^2{10}^{-1}.$                                     (40)

На рис. 8 в качестве примера построен размерный спектр излучаемой мощности, соответствующий выражению (40). Параметры, входящие в расчетные формулы, имеют значения: $\rho =1.2 {\text{êã/ì}}^{\text{3}}$, $\nu =1.5\times {10}^{-5} {\text{ì}}^{\text{2}}\text{/ñ}$, $c=340 \text{ì/ñ}$, $\delta =0.03\text{ ì}$.

Зависимости построены для двух скоростей: $u_{*}=3.3 \text{ì/ñ}$ и $u_{*}=10 \text{ì/ñ}$. По оси абсцисс отложена частота $f$, Гц, по оси ординат спектр уровня звуковой мощности, излучаемой с квадратного метра плоскости в дБ относительно базового уровня ${10}^{-12} \text{Âò}$.

Интегрируя по частоте спектра мощности, получаем суммарную излучаемую мощность как функцию скорости $u_{*}$. На рис. 8 эта зависимость показана для толщины пограничного слоя $\delta =0.03 \text{ì}$.

Рис. 8. Примеры спектра уровня излучаемой мощности: 1 – $u_{*}=3.3 \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}м/с}$, 2 – $u_{*}=10 \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}м/с}$.

Рассмотрим подробнее зависимость излучаемого звука от коэффициента кинематической вязкости. Связь между скоростью течения вдали от границы U₀ и касательным напряжением ${\tau }_x$ задается следующим выражением:

 ${\tau }_x=C_F\frac{1}{2}\rho U_0^2$,              (41)

где коэффициент трения C_F для турбулентного пограничного слоя без продольного градиента давления известен и равен (см. напр. [45]):

 $C_F=\frac{0.027}{{\mathrm{Re}}_x^{1/7}},{\mathrm{Re}}_x=\frac{U_{0}x}{\nu }$,          (42)

где $x$ - расстояние вдоль потока от точки перехода ламинарного пограничного слоя к турбулентному. Приравнивая выражения (41) и (42), получим

 ${\tau }_x=0.0135{\rho }_0{U}_0^2{\left(\frac{U_{0}x}{\nu }\right)}^{-1/7}$.    (43)

Как уже обсуждалось выше при анализе вклада сдвиговых волн, основной вклад в (13) дает переходная область, отстоящая от границы на расстояние порядка толщины вязкого подслоя ${\delta }_{*}$, тогда как внутри вязкого подслоя источники волн отсутствуют. В качестве толщины вязкого подслоя обычно берется значение $5{\delta }_{*}$ (см. напр. [45]), так что расстояние, на котором должны находиться лайтхилловские квадруполи для эффективного излучения шума за счет обратного эффекта Константинова, равно

$h=5{\delta }_{*}=\frac{5\nu }{\sqrt{{\tau }_x/{\varrho }_0}}=\frac{\nu }{U_0}\frac{5}{\sqrt{0.0135}}{\left(\frac{U_{0}x}{\nu }\right)}^{1/14}$.   (44)

Полученные соотношения позволяют получить оценку верхней частотной границы, выше которой происходит резкий спад спектра касательных напряжений. Действительно, приравнивая глубину проникновения вихревых (вязких) волн толщине вязкого подслоя, получим: $\sqrt{2\nu /{\omega }_{*}}=5\frac{\nu }{u_{*}}$,

откуда

 ${\omega }_{*}=\frac{2\nu }{{\left(5\nu \right)}^2}{u}_{*}{}^2=0.04\frac{u_{*}{}^2}{\nu }=0.02C_F\frac{U_0{}^2}{\nu }$.           (45)

Подставляя выражение (44) в (45), получим, что показатель экспоненты равен $h\sqrt{\frac{\omega }{2\nu }}=\frac{\nu }{U_0}\frac{5}{\sqrt{0.0135}}{\left(\frac{U_{0}x}{\nu }\right)}^{1/14}\sqrt{\frac{\omega }{2\nu }}~{\nu }^{3/7}$.      (46)

Из этого следует важный вывод: при уменьшении вязкости (и, следовательно, при увеличении числа Рейнольдса) ν → 0 показатель экспоненты (46) уменьшается, так что затухание сдвиговых волн при уменьшении вязкости уменьшается. Соответственно, эффективность переизлучения сдвиговых волн в звуковые волны увеличивается.

Рис. 9. Зависимость уровня излучаемой мощность с единичной площади от скорости.

Заключение

В данной работе изложена последовательная теория источников звука в турбулентном пограничном слое (ТПС), развивающемся над плоской гладкой границей при малых числах Маха. Основным источником звука и длинноволновой части пульсаций давления на обтекаемой границе являются приходящие сдвиговые (вязкие) волны, генерируемые лайтхилловскими квадруполями в пристенной области ТПС. Даны количественные оценки спектра удельной звуковой мощности, генерируемой ТПС. Показано, что при увеличении числа Рейнольдса (уменьшении вязкости) роль вязкости в генерации звука не уменьшается, а увеличивается. На необходимость учета вязких волн впервые указали К.А. Наугольных и С.А. Рыбак в работе [17].

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РНФ 23-41-00023.