Estimation of the amplitude-frequency response of a sound source from measurements in a tank with reflecting boundaries

Full Text

1. Введение

Традиционные методы калибровки источников звука в бассейне с отражающими границами базируются на выделении прямых сигналов, т.е. сигналов, приходящих в точки приема без отражений от границ. Для подавления отражений обычно используются поглощающие покрытия стенок бассейна и/или разделение прямых и отраженных сигналов по временам прихода [1, 2]. Оба метода применимы лишь на достаточно высоких частотах. На низких частотах вклады отраженных сигналов подавляются с помощью специальной обработки [3-6]. В работах [7, 8] предложен альтернативный подход, позволяющий осуществить калибровку источника, т.е. реконструировать его диаграмму направленности в свободном пространстве по измерениям в бассейне, без выделения прямых сигналов. Подход основан на предположении о том, что поле калибруемого источника (КИ) и в бассейне, и в свободном пространстве можно представить в виде суперпозиции полей некоторого количества одних и тех же воображаемых акустических монополей, которые называют эквивалентными источниками (ЭИ) [9-14].

Реконструкция поля КИ в свободном пространстве по измерениям в бассейне (она кратко описана в следующем разделе) выполняется с использованием вспомогательного источника, рассматриваемого как эталонный акустический монополь (ЭМ) с известной амплитудно-частотной характеристикой. Процедура реконструкции включает калибровку бассейна, в ходе которой ЭМ поочередно помещается в точки расположения ЭИ и из каждой точки излучает один и тот же сигнал. Волны, излученные ЭМ из каждой точки, регистрируются стационарно установленными приемными гидрофонами. Теми же гидрофонами регистрируется поле КИ, излучившего тот же сигнал. В процессе обработки данных измерений амплитуды ЭИ подбираются таким образом, чтобы суперпозиция возбуждаемых ими полей наилучшим образом аппроксимировала поле КИ в бассейне. После этого поле КИ в свободном пространстве вычисляется аналитически с использованием известной функции Грина свободного пространства и найденных амплитуд ЭИ.

В статье представлены результаты тестирования данного метода в лабораторном эксперименте. В качестве КИ использован излучатель монопольного типа, интенсивность которого в свободном пространстве слабо зависит от направления распространения. По данным измерений в бассейне восстанавливалась частотная зависимость интенсивности КИ, усредненной по всем направлениям. Результат сопоставлен с оценками амплитудно-частотной характеристики КИ, полученными другими методами.

2. Теория

Рассматриваемый метод калибровки источника звука базируется на представлении поля $u$, возбуждаемого им в свободном пространстве на заданной частоте $f$, в виде суперпозиции полей $N$ ЭИ - акустических монополей, расположенных в точках $r_n$, $n=\mathrm{1,...,}N$. При этом

$u\left(R\right)={\displaystyle \sum }_{n=1}^{N}G\left(R,r_n\right)A_n,$ (1)

где $R$ - радиус-вектор точки наблюдения,

 $G\left(R,r_n\right)=\frac{\text{exp}\left(ik\left|R-r_n\right|\right)}{\left|R-r_n\right|}$         (2)

- поле ЭМ, $k=2\pi f/c$ - волновое число, $c$ - скорость звука, $A_n$ - подлежащие определению неизвестные амплитуды.

Как отмечено во Введении, наше ключевое предположение заключается в том, что поле $\tilde{u}$, возбуждаемое калибруемым источником в бассейне с отражающими границами, можно представить в виде суперпозиции тех же ЭИ с теми же амплитудами $A_n$. Это означает, что

 $\tilde{u}\left(R\right)={\displaystyle \sum }_{n=1}^N\tilde{G}\left(R,r_n\right)A_n,$       (3)

где $\tilde{G}\left(R,r_n\right)$ $–$ поле, возбуждаемое в бассейне ЭМ, помещенным в точку $r_n$. Функции $\tilde{G}\left(R,r_n\right)$, описывающие многократные переотражения волн от границ бассейна, нам неизвестны.

Поле в бассейне регистрируется $M$ приемниками, расположенными в точках $R_m$, $m=\mathrm{1,...,}M$. Значения комплексных амплитуд $\tilde{u}$, зарегистрированные этими приемниками, образуют вектор $\tilde{u}={\left[\tilde{u}\left(R_1\right)\mathrm{,...,}\tilde{u}\left(R_M\right)\right]}^T$, где символ $T$ означает операцию транспонирования. Согласно (3), cвязь этого вектора с вектором неизвестных амплитуд $A={\left[A_1\mathrm{,...,}{A}_N\right]}^T$ выражается соотношением

 $\tilde{u}=\tilde{G}A,$                                (4)

где $\tilde{G}$ $–$ матрица размера $M\times N$ с элементами

 ${\tilde{G}}_{mn}=\tilde{G}\left(R_m,r_n\right).$                (5)

Эти матричные элементы измеряются в процессе описанной во Введении процедуры калибровки бассейна [7, 8]: ЭМ поочередно помещается во все точки $r_n$ и поле, возбуждаемое им из каждой точки, регистрируется всеми $M$ приемниками. Матричный элемент ${\tilde{G}}_{mn}$ $–$ это комплексная амплитуда поля в точке приема $R_m$ при установке ЭМ в точке $r_n$.

Таким образом, измерения в бассейне дают вектор $\tilde{u}$ и матрицу $\tilde{G}$. После этого выражение (4) рассматривается как система из $M$ линейных алгебраических уравнений относительно $N$ неизвестных элементов вектора $A$. Для решения таких систем имеется ряд известных методов [15, 16]. Мы применяем метод, базирующийся на использовании сингулярного разложения матрицы $G$ [17]

$\tilde{G}={\displaystyle \sum _{q=1}^Q{\lambda }_q}{\xi }_q{\eta }_q^H,$

где λ_q $–$ сингулярные числа (λ_{1 $³$} λ₂... $³$ λ_Q), а ${\xi }_q$ и η_q $–$ сингулярные векторы $\tilde{G}$, символ $H$ означает эрмитово сопряжение. Ограничиваясь учетом первых $Q_1\le Q$ сингулярных чисел, превышающих некоторый заданный порог, и отвечающих им сингулярных векторов, находим оценку вектора ^$A$

$A={\displaystyle \sum _{q=1}^{Q_1}\frac{1}{{\lambda }_q}}({\xi }_q^H\tilde{u}){\eta }_q.$       (6)

Подстановка найденных таким образом амплитуд ЭИ в (1) дает искомую оценку поля калибруемого источника в свободном пространстве.

В следующем разделе описан пример применения данного метода для калибровки источника звука монопольного типа. Пренебрегая слабой зависимостью амплитуды этого источника от направления на точку приема, мы полагаем, что его поле в свободном пространстве приближенно описывается функцией $u\left(R\right)=b/R$, где $b$ $–$ постоянная величина. Своей целью мы ставим оценку значения $\left|b\right|$ по данным измерений в бассейне. Выражение для $\left|b\right|$ через реконструированные амплитуды ЭИ $A_n$ найдем, приравнивая величину ${\left|b\right|}^2$ к интенсивности поля КИ в свободном пространстве, усредненной по сфере $S$ большого радиуса $R$:

 ${\left|b\right|}^2=\frac{R^2}{4\pi }{{\displaystyle \int }}_S{\left|u\right|}^{2}do,$  (7)

где $do$ $–$ элемент телесного угла. Выбирая радиус сферы $R\gg l^2/\lambda ,$ где $l$ $–$ характерный размер области, занятой ЭИ, а λ $–$ длина волны, воспользуемся приближением $\left|R-r_n\right|\simeq R-q{r}_n$, где $q=R/R$ и перепишем (1) в виде

$u\left(R\right)=\frac{e^{ikR}}{R}{\displaystyle \sum }_{n=1}^N{A}_n{e}^{-ikq{r}_n}.$

Подставляя это выражение в (7), находим

 ${\left|b\right|}^2=\frac{1}{4\pi }{\displaystyle \sum }_{n_1=1}^N{\displaystyle \sum }_{n_2=1}^N{A}_{n_1}{A}_{n_2}^{\text{*}}\int do{e}^{-ikq\left(r_{n_1}-r_{n_2}\right)}.$ (8)

Отметим, что поле, возбуждаемое реальным эталонным источником, отличается от (2) некоторым постоянным множителем $a$. Данное обстоятельство легко учесть, заменяя в приведенных выше формулах $G$ на $aG$ и $\tilde{G}$ на $a\tilde{G}$. При этом элементы вектора $A$ не зависят от $a$ и результатом реконструкции станет

$\frac{\left|u\left(R\right)\right|}{\left|a\right|}=\frac{\left|b\right|}{\left|a\right|R}.$

C учетом этого замечания постоянную $\left|b\right|$ левой части (8) следует заменить на

 $w_{\text{es}}=\frac{\left|b\right|}{\left|a\right|}.$                              (9)

Для каждого интеграла в правой части (8) введем свою сферическую систему координат ( $r,\theta ,\phi$ ) с полярным углом $\theta$, отсчитываемым от направления, заданного вектором $r_{n_1}-r_{n_2}$. Тогда

$\begin{array}{c}\int do{e}^{-ikq\left(r_{n_1}-r_{n_2}\right)}={{\displaystyle \int }}_0^{2\pi }d\phi {{\displaystyle \int }}_0^{\pi }d\theta \text{sin}{\theta }^{ik\left|r_{n_1}-r_{n_2}\right|\cos \theta }=\\ =4\pi \frac{\text{sin}\left(k\left|r_{n_1}-r_{n_2}\right|\right)}{k\left|r_{n_1}-r_{n_2}\right|}\end{array}$

и

 $w_{\text{es}}^2={\displaystyle \sum }_{n_1=1}^N{\displaystyle \sum }_{n_2=1}^N{A}_{n_1}{A}_{n_2}^{\text{*}}\frac{\text{sin}\left(k\left|r_{n_1}-r_{n_2}\right|\right)}{k\left|r_{n_1}-r_{n_2}\right|}.$    (10)

3. Эксперимент

В лабораторном эксперименте, проведенном для тестирования обсуждаемого метода, измерения проводились в бассейне, представляющем собой заполненный водой куб со стороной 1 м. Точки $r_n$, в которые поочередно помещался ЭМ, играющий роль ЭИ, образовывали куб размером $3\times 3\times 3$ см, показанный в центре рис. 1. Были проведены две серии измерений с кубами, в которых расстояния между соседними точками (шаг кубической решетки) составляли 2 и 3 см. Таким образом, в каждой серии были измерены поля $N=27$ ЭИ.

 

Рис. 1. Позиции ЭИ (точки в центре) и приемных гидрофонов (небольшие цилиндры).

 

Приемные гидрофоны располагались в 32 точках $R_m$, удаленных от куба на расстояния около 30 см. Пять из этих гидрофонов оказались неисправными и калибровка выполнялась с использованием $M=27$ приемников. Схема размещения ЭИ и приемников приведена на рис. 1.

В качестве ЭМ использовался миниатюрный эталонный обратимый гидрофон B&K 8103. В режиме излучения он не имеет резонансов и других особенностей в амплитудно-частотной характеристике в используемом в работе диапазоне частот. Для позиционирования ЭМ использовалась автоматизированная система, обеспечивающая точность перемещения по каждой из трех координат не хуже 0.1 мм. В качестве КИ использовался излучатель простейшей конструкции на основе кольца из пьезокерамики. Размеры кольца: внешний диаметр 50 мм, внутренний диаметр 46 мм, высота 30 мм. Для герметизации пьезокерамический элемент был покрыт воском. Рассматриваемый излучатель существенно меньше характерных длин волн, излучаемых в эксперименте, поэтому имеет характеристику направленности монопольного типа, что было проверено с помощью моделирования методом конечных элементов. Оба источника звука показаны на рис. 2.

 

Рис. 2. Вверху: гидрофон B&K 8103, используемый в качестве эталонного монополя. Внизу: калибруемый источник.

 

В процессе калибровки бассейна из каждой точки куба ЭМ излучал одинаковый ЛЧМ звуковой импульс длительности 1 с с вариацией частоты от 5 до 10 кГц. Возбужденное поле регистрировалось всеми $M$ приемниками. С использованием преобразования Фурье вычислялись комплексные амплитуды зарегистрированных звуковых импульсов на сетке частот $f_l$, $l=\mathrm{1,...,2001}$, равномерно заполняющих интервал от 5 до 10 кГц с шагом 25 Гц. Таким образом, для каждого куба на каждой частоте были получены значения $M\times N=729$ комплексных амплитуд $a_j$, $j=\mathrm{1,...,729}$, представляющие значения введенных выше матричных элементов ${\tilde{G}}_{mn}$ (см. (5)) для всех возможных пар $\left(r_n,R_m\right)$.

Аналогичным образом были измерены поля, возбуждаемые КИ, который последовательно помещался в точки тех же кубов и излучал тот же ЛЧМ импульс. С помощью преобразования Фурье на каждой частоте $f_l$ были найдены значения комплексных амплитуд КИ $b_j$, $j=\mathrm{1,..,729}$, для тех же пар $\left(r_n,R_m\right)$.

Фигурирующий в (4) и (6) вектор комплексных амплитуд КИ $\tilde{u}$ на каждой частоте $f_l$ формировался $M$ амплитудами $b_j$, отвечающими точке $r_n$ в центре куба. При оценке амплитуд ЭИ $A_n$ по формуле (6) в сумме учитывались лишь те слагаемые, которые отвечали сингулярным числам ${\lambda }_q$, превышающим ${\lambda }_1/300$. Оценки отношений амплитуд КИ и ЭМ $w_{\text{es}}$ на каждой частоте $f_l$ были получены подстановкой найденных $A_n$ в (10). Полученные значения $w_{\text{es}}$ были сопоставлены с альтернативными оценками того же отношения. Эти оценки были получены на основе следующих соображений.

Если бы калибруемый и эталонный источники были идеальными монополями, на каждой частоте $f_l$ отношения $w_j=\left|b_j/a_j\right|$ для всех $j$ принимали бы одно и то же значение, совпадающее с отношением амплитуд данных источников в свободном пространстве (9). В действительности это не так. На рис. 3 приведены значения $w_j$, полученные на частоте $f_l$ = 7000 Гц для куба с шагом 2 см и (в верхнем левом углу) гистограмма распределения этих значений. Похожие распределения наблюдаются на всех частотах для обоих кубов. В качестве оценок отношения амплитуд сравниваемых источников на каждой частоте мы принимаем $w_{\text{mean}}$ и $w_{\text{median}}$ $–$ среднее и медианное значения измеренных величин $w_j$. В качестве еще одной оценки принимаем

$w_{\text{rms}}={\left({\displaystyle \sum }_{j=1}^{729}{\left|b_j\right|}^2/{\displaystyle \sum }_{j=1}^{729}{\left|a_j\right|}^2\right)}^{1/2}$

- отношение среднеквадратичных значений амплитуд КИ и ЭМ для всех 729 пар $\left(r_n,R_m\right)$.

 

Рис. 3. Точки показывают отношения амплитуд КИ и ЭМ для всех 729 пар $\left(r_n,R_m\right)$ на частоте 7 кГц. В левом верхнем углу показана гистограмма распределения этих отношений.

 

Таким образом, мы имеем четыре оценки отношений амплитуд КИ и ЭМ: $w_{\text{es}}$, $w_{\text{mean}}$, $w_{\text{median}}$ и $w_{\text{rms}}$. На рис. 4 представлены полученные с их помощью оценки отношений мощности калибруемого источника $I_c$ к мощности эталонного источника $I_e$. Значения $I_c/I_e$ выражены в децибеллах: они представлены величинами $20\lg w$, где в качестве $w$ берутся описанные выше оценки отношений амплитуд, сглаженные по частоте с интервалом 300 Гц. Отметим, что значения каждой из четырех сравниваемых оценок, полученные для кубов с шагом 2 и 3 см, почти совпадают на всех частотах. Поэтому на рис. 4 представлены лишь результаты, полученные для куба с шагом 2 см.

 

Рис. 4. Оценки отношения интенсивностей КИ и ЭМ, полученные с использованием оценок отношения амплитуд этих источников $w_{\text{es}}$ (жирная сплошная кривая), $w_{\text{mean}}$ (тонкая сплошная кривая), $w_{\text{median}}$ (пунктир) и $w_{\text{rms}}$ (точки).

 

4. Заключение

Обсуждаемый метод позволяет реконструировать диаграмму направленности КИ в свободном пространстве, а также оценивать амплитуды сферических гармоник возбужденного им поля [8]. Однако в данной работе для демонстрации работоспособности метода мы ограничиваемся реконструкцией частотной зависимости интенсивности источника, который приближенно можно считать монопольным. Дело в том, что при работе с таким источником найденную оценку отношений КИ и ЭМ $w_{\text{es}}$ мы можем сопоставить с альтернативными оценками того же отношения $w_{\text{mean}}$, $w_{\text{median}}$ и $w_{\text{rms}}$, полученными на основе тех же измерений. На рис. 4 мы видим, что все четыре оценки, как и должно быть, дают близкие результаты. Разброс их значений на каждой из рассмотренных частот не превышает 2.5 дБ. Практическое применение обсуждаемого подхода для реконструкции диаграммы направленности более сложного мультипольного КИ и разложения его поля по сферическим гармоникам мы планируем рассмотреть в последующих работах.

Следует отметить, что возможности метода ЭИ, а поэтому и возможности нашего подхода, заметно ограничиваются отсутствием обоснованных общих рекомендаций по выбору количества ЭИ и точек их размещения, гарантирующих эффективность моделирования поля произвольного источника звука [10, 14]. Несмотря на то, что в работе [8] сформулированы некоторые критерии для выбора точек расположения приемников и точек, в которые помещается ЭМ (эти критерии учитывались при планировании эксперимента), окончательный выбор количества таких точек и их координат приходится выполнять эмпирически. Этот вопрос требует дальнейшего изучения.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИПФ РАН (проект FFUF-2024-0041).

About the authors

V. K. Bakhtin

Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences; Lobachevsky State University

Email: viro@ipfran.ru
Russian Federation, 603950, N. Novgorod, Ul’yanov str., 46; 603022, N. Novgorod, Gagarin Ave., 23

A. L. Virovlyansky

Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: viro@ipfran.ru
Russian Federation, 603950, N. Novgorod, Ul’yanov str., 46

M. S. Deryabin

Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences; Lobachevsky State University

Email: viro@ipfran.ru
Russian Federation, 603950, N. Novgorod, Ul’yanov str., 46; 603022, N. Novgorod, Gagarin Ave., 23

A. Yu. Kazarova

Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences

Email: viro@ipfran.ru
Russian Federation, 603950, N. Novgorod, Ul’yanov str., 46

References

Supplementary files