Ratio between Trough and Crest of Surface Waves in the Coastal Zone of the Black Sea

Full Text

Введение.

В классическом представлении морские поверхностные волны имеют трохоидальную форму: заостренная вершина и плоская впадина. Волнам подобной формы соответствует распределение возвышений морской поверхности с положительной асимметрией. В опубликованной в 1963 г. работе [1] было показано, что в случае, когда структуру морской поверхности формируют свободные незатухающие волны, асимметрия всегда положительна. В настоящее время для описания распределения слабо нелинейного волнового поля используются несколько типов моделей: построенные на основе разложения Стокса [2, 3], а также модели, в которых кумулянты возвышений морской поверхности описываются многомерными интегралами волновых спектров [4, 5]. Определенная в рамках указанных моделей асимметрия также всегда является положительной.

В то же время многочисленные измерения, проведенные в разных регионах Мирового океана, свидетельствуют о том, что существуют ситуации, когда асимметрия возвышений морской поверхности является отрицательной [6–10]. Возможная причина, объясняющая, почему слабо нелинейные модели случайных волн не описывают эти ситуации, заключается в том, что они построены для статистически однородного поля, в котором нелинейность проявляется в виде незначительных поправок [3]. В реальном волновом поле существуют механизмы, приводящие к локальным эффектам, которые нельзя считать слабо нелинейными. Такими, в частности, являются аномально высокие волны [11], в присутствии которых наблюдаются значительные отклонения асимметрии и эксцесса от нулевых значений. Асимметрия может достигать значения –0,4, эксцесс – превышать единицу [7, 8].

Выделяют несколько форм аномальных волн [12, 13] с разным соотношением высоты гребня и глубины впадины, в том числе волны, у которых глубина впадины больше высоты гребня. Присутствие подобных волн должно приводить к смещению асимметрии распределения возвышений морской поверхности в сторону отрицательных значений.

Целью настоящей работы является анализ изменчивости отношения глубины впадины и высоты гребня поверхностных волн, а также связь этого отношения с асимметрией распределения возвышений морской поверхности.

Аппаратура и условия измерений.

Исследования поля морских поверхностных волн проводились на стационарной океанографической платформе, расположенной в прибрежной части Черного моря у Южного берега Крыма. Измерительная аппаратура, а также особенности проведения измерений со стационарной океанографической платформы описаны в работах [9, 14–16]. Глубина моря в точке, где установлена платформа, составляет ~ 30 м. Для характерных черноморских волн указанная глубина соответствует условию глубокой воды.

Измерения с несколькими небольшими перерывами проводились в период с мая 2018 г. по январь 2019 г. Для статистического анализа непрерывные измерения разбивались на сеансы длительностью 20 мин каждый, из которых определялись характеристики волн.

Соотношение впадина/гребень.

Для выявления аномально высоких волн используется индекс аномальности (abnormality index – AI) [17–19]

$AI=H_{\max }/H_S,$

где $H_{\max }$ – максимальная в течение сеанса измерений высота волны; $H_S$ – значимая высота волн, равная 1/3 части средней высоты самых высоких волн. Принято считать, что аномальными являются волны, высота которых более чем в два раза превышает значительную высоту волн, т. е. те волны, у которых $AI>2$.

Еще один менее распространенный критерий для выделения аномальных волн построен на основе отношения [20]

$CI=Cr/H_S,$

где Cr – высота гребня максимальной волны. Аномальными считаются волны с CI, превышающим критическое значение, которое задается равным 1,2, 1,25 или 1,3. Связь параметров AI и CI анализировалась в работе [19]. Было показано, что использование критерия CI приводит к заниженной оценке числа ситуаций, в которых наблюдаются аномальные волны, по сравнению с оценкой, полученной по критерию $AI>2$. Расхождение связано с существованием аномальных волн, у которых высота гребня меньше глубины впадины.

Анализируемый в настоящей работе массив данных составил 17083 сеанса измерений. Аномальные волны (по критерию $AI>2$) были зарегистрированы в 562 сеансах, что соответствует вероятности их появления, равной 3,3%. Для сравнения укажем, что при измерениях у западного черноморского побережья Турции (глубина 12,5 м) вероятность появления аномальных волн составила 2,6% [8].

Массив данных получен при скоростях ветра $W_{10}$ от штиля (условно 0 м/с) до 26 м/с при средней за весь период измерений скорости 5,6 м/с. Здесь скорость ветра $W_{10}$ приведена к горизонту 10 м. Значительная высота волн $H_S$ в этот период менялась в диапазоне 0,04–2,27 м при среднем значении 0,55 м/с. Практически в тех же диапазонах происходило изменение $W_{10}$ и $H_S$ в ситуациях, когда наблюдались аномальные волны: $W_{10}$ менялась в диапазоне 0–21,5 м/с при среднем значении 5,4 м/с;  – в диапазоне 0,06–2,1 м при среднем значении 0,52 м.

Согласно предложенной в работе [13] классификации, можно выделить три формы аномальных волн. Положительной является форма, при которой высота гребня Cr в полтора раза больше глубины впадины Th. Отрицательной является форма, при которой Th/Cr > 1,5. Третья форма – промежуточная. Вероятность появления этих трех форм составила 63, 17,5 и 19,5% соответственно. В наших измерениях волны второй формы не наблюдались, максимальное отношение Th/Cr равно 1,47. Можно предположить, что большие значения Th/Cr связаны с тем, что в работе [13] анализировались данные волновых измерений на малой глубине (2,7 м), где имеет место высокая нелинейность, вызванная взаимодействием поверхностных волн с дном.

По данным измерений на стационарной океанографической платформе, как и по данным ранее проведенных исследований, преобладают аномальные волны, у которых Th/Cr < 1. Отношение Th/Cr находится в пределах 0,37–1,47, среднее значение равно 0,79. В ситуациях, когда AI > 2, вероятность появления волн, у которых Th/Cr < 1, составила 19,4%. Рассчитанная для условий, когда аномальные волны не наблюдаются, вероятность того, что Th/Cr > 1, составила 10,9%, средняя по ансамблю всех ситуаций вероятность равна 11,3%. Зависимость Th/Cr от индекса аномальности показана на рис. 1.

Условная вероятность события $P\left(Th/Cr>1\left|AI<A{I}_0\right.\right)$, при котором $Th/Cr>1$, если индекс аномальности не превышает некое критическое значение $A{I}_0$, показана на рис. 2. Видно, что событие $Th/Cr>1$ не наступает, если $AI<A{I}_0=\mathrm{1,4}$. Условная вероятность построена для набора данных волновых измерений, в котором параметр AI менялся в пределах 1,16–2,79.

 

Рис.1. Зависимость отношения глубины впадины и высоты гребня Th/Cr от индекса аномально-сти AI

Fig.1. Dependence of the ratio between trough and crest Th/Cr on the abnormality index AI

 

Рис.2. Условная вероятность $P\left(Th/Cr>1\left|AI<A{I}_0\right.\right)$ 

Fig.2. Conditional probability $P\left(Th/Cr>1\left|AI<A{I}_0\right.\right)$ 

 

Условная вероятность $P\left(Th/Cr>1\left|AI<A{I}_0\right.\right)$ быстро растет в области AI < 2 и слабо меняется при AI > 2. На основе рис. 2 можно предположить, что статистические характеристики волн в присутствии аномальных волн отличаются от статистических характеристик в ситуациях, когда они не наблюдаются. Ниже будут приведены другие подтверждения справедливости этого предположения.

Асимметрия.

Одним из основных критериев нелинейности поля морских поверхностных волн являются отклонения статистических моментов от значений, соответствующих распределению Гаусса [10, 21]. Полагая, что среднее значение возвышения морской поверхности равно нулю, асимметрию A распределения возвышений морской поверхности можно определить как

$A={{\text{μ}}_3/{\text{μ}}_2}^{\mathrm{1,5}}$,

где  ${\text{μ}}_n=⟨{\text{ξ}}^n⟩$– статистический момент порядка n;  $\text{ξ}$– возвышение поверхности; символ $⟨\mathrm{...}⟩$ означает осреднение.

Естественно предположить, что появление отрицательных значений асимметрии статистически связано с отношением $Th/Cr$. Рассмотрим два массива данных волновых измерений. Первый массив включает все данные, второй – только данные, полученные в присутствии аномальных волн. Если проводить анализ для всего диапазона изменения AI, то связь между A и $Th/Cr$ не наблюдается (рис. 3, а), коэффициент корреляции ρ между этими параметрами равен –0,1. Статистическая связь между A и $Th/Cr$ появляется только в ситуациях, когда AI > 2 (рис. 3, b), для второго массива данных коэффициент корреляции $\text{ρ =}–\text{0,42}$.

 

Рис.3. Зависимость асимметрии A от отношения глубины впадины и высоты гребня Th/Cr: a – во всем диапазоне изменения AI; b – при AI > 2

Fig.3. Dependence of skewness A on the ratio between trough and crest Th/Cr: a – within the entire range of AI variation; b – at AI > 2

 

Обращает на себя внимание, что отрицательные значения асимметрии могут появляться при одновременном выполнении двух условий, Th/Cr < 1 и AI < 2.

Рассмотрим две группы оценок асимметрии. Оценки $A_{fw}$ получены в ситуациях, когда наблюдались аномальные волны (AI > 2), оценки $A_0$ – в ситуациях, когда аномальные волны отсутствовали (AI < 2). Функции плотности вероятностей оценок $A_{fw}$ и $A_0$ (обозначим их как $P_A\left(A_{fw}\right)$ и $P_A\left(A_0\right)$ соответственно), а также отношение $P_A\left(A_{fw}\right)/P_A\left(A_0\right)$ показаны на рис. 4. Функции плотности вероятностей рассчитывались как гистограммы, нормированные на длину выборки и ширину интервала, в который попадали оценки асимметрии. Вероятность появления больших отклонений асимметрии от нулевого значения при AI > 2 выше, чем при AI < 2. Это относится к отклонениям в сторону как положительных, так и отрицательных значений.

 

Рис.4. Изменения распределения асимметрии возвышений поверхности в присутствии аномаль-ных волн: а – функции плотности вероятностей асимметрии, кривая 1 – $P_A\left(A_{fw}\right)$ , кривая 2 – $P_A\left(A_0\right)$; b – отношение $P_A\left(A_{fw}\right)/P_A\left(A_0\right)$

Fig.4. Changes in the distribution of skewness of surface elevations in the presence of abnormal waves: a – probability density functions of skewness, curve 1 –$P_A\left(A_{fw}\right)$ , curve 2 – $P_A\left(A_0\right)$; b – ratio $P_A\left(A_{fw}\right)/P_A\left(A_0\right)$

 

Средние значения, рассчитанные для двух групп оценок асимметрии, близки: $⟨A_{fw}⟩=\mathrm{0,079}$ и $⟨A_0⟩=\mathrm{0,072}$0 .

Заключение.

Вероятность появления аномальных (по критерию AI > 2) волн в Черном море у Южного берега Крыма в условиях, когда выполняется условие глубокой воды, составляет 3,3%. Показано, что статистические характеристики волн, определенные в присутствии аномальных волн, заметно отличаются от характеристик, полученных при AI < 2. Установлено, что вероятность события, при котором глубина впадины Th наиболее высокой волны больше высоты ее гребня Cr, составляет 10,9%. В ситуациях, когда присутствуют волны с индексом аномальности AI > 2, вероятность события Th/Cr > 1 составила 19,4%. Событие Th/Cr > 1 не наступает, если AI < 1,4.

Вероятность больших отклонений асимметрии от нуля в сторону как положительных, так и отрицательных значений при AI > 2 выше, чем при AI < 2. Условие Th/Cr > 1 не является необходимым для появления отрицательной асимметрии распределения возвышений морской поверхности. Отрицательные значения асимметрии могут наблюдаться при одновременном выполнении двух условий: Th/Cr < 1 и AI < 2. Статистическая связь между асимметрией и отношением Th/Cr наблюдается только при AI > 2.

About the authors

Alexander S. Zapevalov

Marine Hydrophysical Institute, Russian Academy of Sciences

Email: sevzepter@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9942-2796
SPIN-code: 6784-7782
Scopus Author ID: 7004433476
ResearcherId: V-7880-2017

главный научный сотрудник, доктор физико-математических наук

Russian Federation, Sevastopol

Anton V. Garmashov

Marine Hydrophysical Institute, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: ant.gar@mail.ru
SPIN-code: 8941-9305
Scopus Author ID: 54924806400
ResearcherId: P-4155-2017

старший научный сотрудник, кандидат географических наук

Russian Federation, Sevastopol

References

Supplementary files