About some exact and approximate formulas for calculating the Rayleigh wave velocity

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A generalization of the analytical expression for the Rayleigh wave velocity in algebraic form and formulas with hyperbolic functions that do not contain cubic radicals are obtained. Their application is considered using the example of determining the deduction in problems of excitation and diffraction of surface acoustic waves in a homogeneous isotropic elastic half-space, allowing solutions for fields of deformations and stresses in the form of quadratures. The results obtained can help in obtaining analytical expressions, as well as approximate formulas, and reduce the calculation time at the stage of numerically solving problems of diffraction and excitation of acoustic waves. Approximate formulas of L. Bergmann, E.G. Nesvijski, P.C. Vinh and P.G. Malischewsky are also considered and their more optimal variants are proposed.

About the authors

Eugene V. Golubev

South Ural State University

Author for correspondence.
Email: golubevev@susu.ru
ORCID iD: 0000-0002-6641-0702
SPIN-code: 5384-6891
Scopus Author ID: 7004245154
ResearcherId: O-2602-2014

Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Optoinformatics Department, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation

Russian Federation, 454080 Chelyabinsk, Lenin pr-t, 76

References

  1. Rayleigh L. On Waves Propagated along the Plane Surface of an Elastic Solid // Proceedings of the London Mathematical Society. 1885. V. s1—17. Is. 1. P. 4—11. doi: 10.1112/plms/s1-17.1.4
  2. Husson D., Bennett S.D., Kino G.S. Rayleigh Wave Measurement of Surface Stresses in Stainless Steel Piping / In: C.O. Ruud, R.E. Green (eds.). Nondestructive Methods for Material Property Determination. Springer, Boston: MA, 1984. P. 365—375. doi: 10.1007/978-1-4684-4769-9_29
  3. Khlybov A.A., Uglov A.L., Rodyushkin V.M., Katasonov Yu.A., Katasonov O.Yu. The Determination of Mechanical Stresses using Rayleigh Surface Waves Excited by a Magnetoacoustic Transducer // Defectoskopiya. 2014. No. 12. P. 3—10. doi: 10.1134/S1061830914120055
  4. Hughes J.M., Vidler J., Khanna A., Mohabuth M., Kotousov A., Ng C.-T. Measurement of Residual Stresses in Rails Using Rayleigh Waves. Advances in Mechanics: Failure, Deformation, Fatigue, Waves and Monitoring / Proc. 11th International Conference on Structural Integrity and Failure. 2018. P. 160—164. doi: 10.1177/1475921718798146
  5. Crecraft D.I. Ultrasonic Instrumentation: Principles, Methods and Applications // J. Phys. E: Sci. Instrum. 1983. V. 16. P. 181—189. doi: 10.1088/0022-3735/16/3/001
  6. Singer F. Laser-Ultrasonic Measurement of Elastic Properties of Anodized Aluminum Coatings // Physics Procedia. 2015. V. 70. P. 334—337. doi: 10.1016/j.phpro.2015.08.219
  7. Ono K. Review on Structural Health Evaluation with Acoustic Emission // Appl. Sci. 2018. V. 8. P. 958. doi: 10.3390/app8060958
  8. Murav’ev V.V., Zuev L.B., Komarov K.L. Skorost’ zvuka i struktura staley i splavov (The speed of sound and the structure of steels and alloys). Novosibirsk: Nauka Publ., Sibirskaya izdatel’skaya firma RAN Publ., 1996. 184 p. (In Russ.).
  9. Hess P. Surface Acoustic Waves in Materials Science // Physics Today. 2002. V. 55. Is. 3. P. 42—47. doi: 10.1063/1.1472393
  10. Gulyaev Yu.V., Plesskii V.P. Propagation of Acoustic Surface Waves in Periodic Structures // Physics–Uspekhi. 1989. V. 32. Is. 1. P. 51—74. doi: 10.1070/PU1989v032n01ABEH002676
  11. Karabutov A.A. Laser Excitation of Surface Acoustic Waves: a New Direction in Opto-Acoustic Spectroscopy of a Solid // Physics—Uspekhi. 1985. V. 28. Is. 11. P. 1042—1051. doi: 10.1070/PU1985v028n11ABEH003981
  12. Gulyaev Yu.V., Dikshtein I.E., Shavrov V.G. Magnetoacoustic Surface Waves in Magnetic Crystals Near Spin-Reorientation Phase Transitions // Physics—Uspekhi. 1997. V. 40. Is. 7. P. 701—716. doi: 10.1070/PU1997v040n07ABEH000252
  13. Gurevich S.Yu., Petrov Yu.V., Golubev E.V. Experimental Investigations into Laser Generation of Surface Acoustic Waves in Ferromagnetics // Defectoskopiya. 2004. No. 2. P. 47—52.
  14. Cheeke J.D.N. Fundamentals and Applications of Ultrasonic Waves. CRC Press LLC, 2002. 452 p.
  15. Jian X., Dixon S., Guo N., Edwards R. Rayleigh Wave Interaction with Surface-Breaking Cracks // J. Appl. Phys. 2007. V. 101. Is. 6. P. 064906. doi: 10.1063/1.2435803
  16. Fan Y., Dixon S., Edwards R.S., Jian X. Ultrasonic Surface Wave Propagation and Interaction with Surface Defects on Rail Track Head // NDT & E International. 2007. V. 40. Is. 6. P. 471—477. doi: 10.1016/j.ndteint.2007.01.008
  17. Rosli M.H., Fan Y., Edwards R.S. Analysis of Rayleigh Wave Interactions for Surface Crack Characterization // AIP Conf. Proc. 2012. V. 1430. Is. 1. P. 209—216. doi: 10.1063/1.4716232
  18. He C., Deng P., Lu Y., Liu X., Liu Z., Jiao J., Wu B. Estimation of Surface Crack Depth using Rayleigh Waves by Electromagnetic Acoustic Transducers // International Journal of Acoustics and Vibration. 2017. V. 22. No. 4. P. 541—548. doi: 10.20855/ijav.2017.22.4501
  19. Danga P.H., Thoa L.D., Hungb L.Q., Kien D.D. Investigation of Rayleigh Wave Interaction with Surface Defects // Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE) — HUCE. 2019. V. 13. No. 3. P. 95—103. doi: 10.31814/stce.nuce2019-13(3)-09
  20. Ermolov I.N. Teoriya i praktika ul’trazvukovogo kontrolya (Theory and Practice of Ultrasound Control). Moscow: Mashinostroenie Publ., 1981. 240 p. (In Russ.).
  21. Ermolov I.N., Aleshin N.P., Potapov A.I. Nerazrushayushchiy kontrol’. Kn. 2. Akusticheskie metody kontrolya: prakt. posobie (Non-Destructive Testing. Book 2. Acoustic Control Methods: Practical Manual). Moscow: Vysshaya shkola Publ., 1991. 283 p. (In Russ.).
  22. Cernadas D., Trillo C., Doval Á.F., López J.C., Dorrío B.V., Fernández J.L., Pérez-Amor M. Non-destructive Testing with Surface Acoustic Waves using Double-Pulse TV Holography // Meas. Sci. Technol. 2002. No. 13. P. 438—444. doi: 10.1088/0957-0233/13/4/303
  23. Puzyrev N.N. Metody i ob”ekty seysmicheskikh issledovaniy. Vvedenie v obshchuyu seysmologiyu (Methods and Objects of Seismic Research. Introduction to General Seismology). Novosibirsk: SO RAN NITs OIGGM Publ., 1997. 301 p. (In Russ.).
  24. Novotny O. Seismic Surface Waves. Salvador, Bahia, 1999. 155 p.
  25. Meirion F.L. Rayleigh Waves — a Progress Report // Eur. J. Phys. 1995. V. 16. P. 1—7.
  26. Lonsdale A., Saunders M.J.B. Strain Measurement With Surface Acoustic Wave (SAW) Resonators. In: Sensors and Actuators. London: CRC Press, 1999. 256 p. doi: 10.1201/9781003076964-3
  27. Mizutani K., Wakatsuki N., Ebihara T. Introduction of Measurement Techniques in Ultrasonic Electronics: Basic Principles and Recent Trends // Japanese Journal of Applied Physics. 2016. V. 55. 07KA02. 16 p. doi: 10.7567/JJAP.55.07KA02
  28. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheckaya fizika. T. VII. Teoriya uprugosti (Theoretical Physics. V. VII. Theory of Elasticity). Moscow: Nauka Publ., 1987. 248 p. (In Russ.).
  29. Viktorov I.A. Fizicheskie osnovy primeneniya ul’trazvukovykh voln Releya i Lemba v tekhnike (The Physical Foundations of the Application of Rayleigh and Lamb Ultrasonic Waves in Engineering). Moscow: Nauka Publ., 1966. 168 p. (In Russ.).
  30. Viktorov I.A. Zvukovye poverkhnostnye volny v tverdykh telakh (Sound Surface Waves in Solids). Moscow: Nauka Publ., 1981. 287 p. (In Russ.).
  31. Mozhaev V.G. Approximate Analytical Expressions for the Velocity of Rayleigh Waves in Isotropic Media and on the Basal Plane in High-symmetry Crystals // Sov Phys. Acoust. 1991. V. 37. Is. 2. P. 186—189.
  32. Rahman M., Barber J.R. Exact Expressions for the Roots of the Secular Equation for Rayleigh Waves // Journal of Applied Mechanics. 1995. V. 62. P. 250—252. doi: 10.1115/1.2895917
  33. Herbison-Evans D. Solving Quartics and Cubics for Graphics. Technical Report TR94-487. 1994. (Updated 31 March 2011, 27 May 2017, 13 January 2019). doi: 10.1016/b978-0-12-543457-7.50009-7
  34. Cardano G. Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus. Nurmberg, 1545, 302 p. (In Latin).
  35. Stedall J. From Cardano’s Great Art to Lagrange’s Reflections. Filling a Gap in the History of Algebra. Heritage of European Mathematics. Zurich: European Mathematical Society (EMS), 2011. 236 p. (German, English). doi: 10.4171/092
  36. Zhao T., Wang D., Hong H. Solution Formulas for Cubic Equations without or with Constraints // J. Symb. Comput. 2011. V. 46. P. 904—918. doi: 10.1016/j.jsc.2011.02.001
  37. Nkemzi D.A. New Formula for the Velocity of Rayleigh Waves // Wave Motion. 1997. V. 26. P. 199—205. doi: 10.1016/s0165-2125(97)00004-8
  38. Malischewsky P.G. Comment to “A New Formula for the Velocity of Rayleigh Waves” by D. Nkemzi [Wave Motion 26 (1997) 199—205] // Wave Motion. 2000. V. 31. P. 93—96. doi: 10.1016/s0165-2125(99)00025-6
  39. Malischewsky P.G. Some Special Solutions of Rayleigh’s Equation and the Reflections of Body Waves at a Free Surface // Geofísica Internacional. 2000. V. 39. Is. 2. P. 155—160. doi: 10.22201/igeof.00167169p.2000.39.2.272
  40. Malischewsky P.G. A Note on Rayleigh-Wave Velocities as a Function of the Material Parameters // Geofísica Internacional. 2004. V. 43. No. 3. P. 507—509. doi: 10.22201/igeof.00167169p.2004.43.3.955
  41. Mechkour H. The Exact Expressions for the Roots of Rayleigh Wave Equation. BSG Proceedings 8, Geometry Balkan Press, 2003. P. 96—104.
  42. Gurevich S.Yu., Golubev E.V. A Note on Calculating Rayleigh Wave Velocity and the Derivative of the Rayleigh Determinant in Elastic Media // Bulletin of the South Ural State University. Series of “Mathematics. Mechanics. Physics”. 2023. V. 15. No. 1. P. 69—75. doi: 10.14529/mmph230108
  43. Holmes G.C. The Use of Hyperbolic Cosines in Solving Cubic Polynomials // The Mathematical Gazette. 2002. V. 86. No. 507. P. 473—477. doi: 10.2307/3621149
  44. Nickalls R.W.D. A New Approach to Solving the Cubic: Cardan’s Solution Revealed // The Mathematical Gazette. 1993. V. 77. P. 354—359. doi: 10.2307/3619777
  45. Kolomenskii Al.A., Maznev A.A. Poverkhnostnye otkliki pri lazernom vozdeystvii na tverdoe telo: releevskie volny i predvestniki (Laser Induced Surface Responses in Solid: Rayleigh Waves and Fore-runners) // Akusticheskij Zhurnal. 1990. V. 36. No. 3. P. 463—469. (In Russ.).
  46. Nowacki W. Teoria Sprezystosci. Warszawa, Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, 1970. 769 p. (In Polish).
  47. Pichugin A. Approximation of the Rayleigh Wave Speed. People.Brunel.Ac.Uk (Unpublished draft), 2008. P. 1—5. http://people.brunel.ac.uk/~mastaap/draft06rayleigh.pdf
  48. Gurevich S.Yu., Kozhevnikov D.G., Golubev E.V. The Roots of the Rayleigh Characteristic Equation for Rational Values of the Parameter // Bulletin of the South Ural State University. Series of “Mathematics. Mechanics. Physics”. 2024. V. 16. No. 1. P. 56—59. doi: 10.14529/mmph240107
  49. Bergmann L. Ultrasonics and their Scientific and Technical Applications. G. Bell and Sons Limited, 1938. 264 p.
  50. Nesvijski E.G. On Rayleigh Equation and Accuracy of Its Real Roots Calculations // Journal of Thermoplastic Composite Materials. 2001. V. 14. Is. 5. P. 356—364. doi: 10.1106/63UT-R7QM-6T7F-FRJQ
  51. Vinh P.C., Malischewsky P.G. Improved Approximations of the Rayleigh Wave Velocity // Journal of Thermoplastic Composite Materials. 2008. V. 21. Is. 4. P. 337—352. doi: 10.1177/0892705708089479
  52. Vinh P.C., Malischewsky P.G. Explanation for Malischewsky’s Approximate Expression for the Rayleigh Wave Velocity // Ultrasonics. 2006. V. 45. Is. 1—4. P. 77—81. doi: 10.1016/j.ultras.2006.07.001

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».