АДАПТИВНЫЕ ПРЯМО-ДВОЙСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ С НЕТОЧНЫМ ОРАКУЛОМ ДЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ГЛАДКИХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ МАЛОРАНГОВЫХ МАТРИЦ

Статья посвящена адаптивным прямо-двойственным методам первого порядка для относительно гладких задач оптимизации с ограничениями-неравенствами, а также их приложениям к задачам восстановления малоранговых матриц. Показано, что для некоторого класса относительно гладких задач восстановления малоранговых матриц можно применять треугольное шкалированное свойство с коэффициентом шкалирования γ = 2, что открыло возможность применения для таких задач ускоренных методов и методов типа Франк–Вульфа и результатов об их вычислительных гарантиях. Предложен адаптивный вариант метода подобных треугольников для гладких задач относительно дивергенции Брегмана с треугольным шкалированным свойством с коэффициентом шкалирования γ = 2. Также предложены неускоренный и ускоренный прямо-двойственные адаптивные методы с неточным оракулом для относительно гладких задач. Ускоренный прямо-двойственный метод также есть аналог метода подобных треугольников и использует треугольное шкалированное свойство дивергенции Брегмана с коэффициентом шкалирования γ = 2. Ключевая особенность исследования в статье методов — возможность использования на итерациях неточной информации и учета неточности решения вспомогательных подзадач на итерациях методов. Это естественно ввиду усложнения таких подзадач в силу использования дивергенции (расхождения) Брегмана вместо квадрата евклидовой нормы. В частности, это привело к варианту метода Франк–Вульфа для выделенного класса относительно гладких задач. Для всех предложенных методов получены теоретические результаты о качестве выдаваемого решения.

прямо-двойственный метод, метод подобных треугольников, метод Франк–Вульфа, относительная гладкость, неточный оракул, треугольное шкалированное свойство, малоранговая матрица