K-OPTIMAL PRECONDITIONERS BASED ON APPROXIMATIONS OF INVERSE MATRICES

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The problem of constructing preconditioners of a special kind for solving systems of linear algebraic equations is considered. A new approach to the construction of preconditioners based on minimizing the K-number of conditionality for the A−1P matrix is proposed, where A is the initial matrix of the system, P is the preconditioner. It is proved that for circulant matrices, this approach is equivalent to constructing an optimal Chen circulant for the inverse matrix. Numerical experiments have been carried out on a series of test problems with Toeplitz matrices, showing that the proposed approach makes it possible to significantly reduce the number of iterations of the conjugate gradient method compared with the classical approach. The results obtained open up new possibilities for constructing effective preconditioners in other classes of matrices.

About the authors

I. V Oseledets

Artificial Intelligence Research Institute (AIRI); Skolkovo Institute of Science and Technology; Marchuk Institute of Computational Mathematics RAS

Email: oseledets@uiri.net
Moscow, Russia; Moscow, Russia; Moscow, Russia

E. A Muravleva

Sberbank AI Center for Science; Skolkovo Institute of Science and Technology

Email: EdnaMuravleva@sberbank.ru
Moscow, Russia; Moscow, Russia

References

  1. Häusner P., Juscafresa A.N., Sjölund J. Learning incomplete factorization preconditioners for GMRES // arXiv preprint arXiv:2409.08262, 2024.
  2. Häusner P., Öktem O., Sjölund J. Neural incomplete factorization: learning preconditioners for the conjugate gradient method // arXiv preprint arXiv:2305.16368, 2023.
  3. Trifonov V., Rudikov A., Iliev O., Oseledets I., Muravleva E. Learning from linear algebra: A graph neural network approach to preconditioner design for conjugate gradient solvers // arXiv preprint arXiv:2405.15557, 2024.
  4. Katrutsa A., Daulbaev T., Oseledets I. Black-box learning of multigrid parameters // J. Comput. Appl. Math. 2020. V. 368. P. 112524.
  5. Gelfand I. Normierte Ringe // Marew. c6. 1941. Т. 9. № 1. С. 3–24.
  6. Kozyakin V.S. On accuracy of approximation of the spectral radius by the Gelfand formula // Linear Algebra Appl. 2009. V. 431. № 11. Р. 2134–2141.
  7. Hutchinson M.F. Astochastic estimator of the trace of the influence matrix for Laplacian smoothing splines // Comm. Statist. Simulation Comput. 1989. V. 18. № 3. Р. 1059–1076.
  8. Chan R.H.F., Jin X.Q. An introduction to iterative Toeplitz solvers // SIAM, 2007.
  9. Chan T.F. An optimal circulant preconditioner for Toeplitz systems // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1988. V. 9. № 4. Р. 766–771.
  10. Tyrhyshnikov E.E. Optimal and superoptimal circulant preconditioners // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1992. № 13. № 2. Р. 459–473.
  11. Kaporin I.E. New convergence results and preconditioning strategies for the conjugate gradient method // Numer. Linear Algebra Appl. 1994. V. 1. № 2. P. 179–210.
  12. Kaporin I. Superlinear convergence in minimum residual iterations // Numer. Linear Algebra Appl. 2005. V. 12. № 5–6. P. 453–470.
  13. Kaporin I.E. Preconditioning of the method of conjugate gradients for solving discrete analogues of differential problems // Differ. Uravn. 1990. V. 26. № 7. P. 1225–1236.
  14. Serra Capizzano S., Tyryshnikov E.E. Any circulant-like preconditioner for multilevel matrices is not superlinear // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2000. V. 21. № 2. P. 431–439.
  15. Kanopuu H.E. Использование полиномов Чебышёва и приближенного обратного треугольного разложения для предобусловливания метода сопряженных градиентов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. № 2. С. 179–204.
  16. Kanopuu H.E., Munoocoa O.IO. Неполное обратное треугольное разложение в параллельных алгоритмах предобусловленного метода сопряженных градиентов // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2017. С. 37–28.
  17. Oseledets I., Tyryshnikov E. A unifying approach to the construction of circulant preconditioners // Linear Algebra Appl. 2006. V. 418. № 2–3. P. 435–449.
  18. Tilli P. A note on the spectral distribution of Toeplitz matrices // Linear Multilinear Algebra. 1998. V. 45. № 2–3. P. 147–159.
  19. Tyryshnikov E.E. A unifying approach to some old and new theorems on distribution and clustering // Linear Algebra Appl. 1996. V. 232. P. 1–43.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».