Email this article 
LOCALIZATION OF WAVES AND THEIR BRAKING ZONES IN A THIN-WALLED HOLLOW QUANTUM WAVEGUIDE WITH PERIODIC BAFFLES
- Authors: Nazarov S.A1
-
Affiliations:
- Institute for Problems in Mechanical Engineering, RAS
- Issue: Vol 65, No 10 (2025)
- Pages: 1690–1706
- Section: Partial Differential Equations
- URL: https://bakhtiniada.ru/0044-4669/article/view/350128
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0044466925100064
- ID: 350128
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
An asymptotic analysis of the Dirichlet spectral problem in a thin-walled cylinder with a periodic family of partitions perpendicular to the generators of the cylindrical surface establishes the presence of open gaps in the waveguide spectrum, determining the size and position of the spectral segments. At different values of the relative thickness of the baffles various types of localization of the eigenfunctions of the model problem with the Floquet parameter on the periodicity cell are observed. Accordingly, the passing waves are localized on the baffles (large thicknesses) or near their edges (small thicknesses). The results were obtained using various procedures of dimensionality reduction and analysis of the boundary layer phenomenon near the junction zone of the baffles to the cylinder, which (layer) is described by the Dirichlet problem in a flat T-shaped joint of a single strip and a strip of varying thickness perpendicular to it. The localization method is determined by the presence or absence of a discrete spectrum for the latter task.
About the authors
S. A Nazarov
Institute for Problems in Mechanical Engineering, RAS
Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
St. Petersburg, Russia
References
- Exner P., Kovark H. Quantum waveguides. Cham: Springer, 2015.
- Ладоженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
- Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: изд-во Ленинград. ун-та, 1980.
- Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982.
- Кучинин П.А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных // Успехи матем. наук. 1982. Т. 37. № 4. С. 3–52.
- Скрыванов М.М. Геометрические и арифметические методы в спектральной теории многомерных периодических операторов // Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1985. Т. 171. С. 1–122.
- Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations. Basel: Birchauser, 1993.
- Назаров С.А. Ограниченные решения в Т-образном волноводе и спектральные свойства лестницы Дирихле // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 8. С. 1299–1318.
- Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
- Molchanov S, Vainberg B. Scattering solutions in networks of thin fibers; small diameter asymptotics // Comm. Math. Phys.2007. V. 273. № 2. P. 533–559.
- Grieser D. Spectra of graph neighborhoods and scattering // Proc. London Math. Soc. 2006. V. 97. № 3. P. 718–752.
- Назаров С.А. Пороговые резонансы и виртуальные уровни в спектре цилиндрических и периодических волноводов // Известия РАН. Серия матем. 2020. Т. 84. № 6. С. 73–130.
- Pankrashkin K. Eigenvalue inequalities and absence of threshold resonances for waveguide junctions // J. of Math. Anal. and Appl. 2017. V. 449. № 1. P. 907–925.
- Бахарев Ф.Л., Назаров С.А. Критерии наличия и отсутствия ограниченных решений на пороге непрерывного спектра в объединении квантовых волноводов // Алгебра и анализ. 2020. Т. 32. № 6. С. 1–23.
- Назаров С.А. Сохранение пороговых резонансов и отцепление собственных чисел от порога непрерывного спектра квантового волновода // Матем. сборник. 2021. Т. 212. № 7. С. 84–121.
- Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга. 2002.
- Ван Дайк М.Д. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967.
- Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
- Mazia W.G., Nasarow S.A., Plamenewski B.A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singular gestorten Gebieten. 1 & 2 Berlin: Akademie-Verlag. 1991. (Английский перевод: Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Vol. 1 & 2. Basel: Birkhauser Verlag, 2000).
- Вишик М.И., Люстерин Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. № 5. С. 3–122.
- Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
- Назаров С.А. Лакунь в спектре тонкостенного прямоугольного бесконечного короба Дирихле с периодическим семейством перегородок // Матем. сборник. 2023. Т. 214. № 7. С. 91–133.
- Dauge M., Lafranche Y., Ournieres-Bonafos T. Dirichlet spectrum of the Fichera layer // Integral Equations and Operator Theory. 2018. V. 90. article 60.
- Bakharov F.L., Nazarov A.I. Existence of the discrete spectrum in the Fichera layers and crosses of arbitrary dimension // J. Funct. Anal. 2021. V. 281, 4, № 109071.
- Chesnel L., Nazarov S.A., Taskinen J. Spectrum of the Laplacian with mixed boundary conditions in a chamfered quarter of layer // J. Spectr. Theory. 2024. Publ. online 2024. https://doi.org/10.4171/JST/493
- Назаров С.А. Асимптотика собственных значений задачи Дирихле на скошенном Т-образном волноводе // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 5. С. 793–814.
- Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of narrow periodic waveguides // Russ. J. Math. Phys. 2008. V. 15. № 4. P. 238–242.
- Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of the Dirichlet Laplacian in a narrow strip // Israel J. Math. 2009. V. 170. P. 337–354.
- Borisov D., Freitas P. Singular asymptotic expansions for Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions on thin planar domains // Ann. Inst. Henri Poincare. Anal. Non Lineaire. 2009. V. 26. № 2. P. 547–560.
- Borisov D., Freitas P. Singular asymptotic expansions for Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions on thin planar domains // J. Funct. Anal. 2010. V. 258. № 3. P. 893–912.
- Назаров С.А. “Паразитные” собственные значения задачи с краевыми условиями третьего рода // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2023. Т. 63. № 7. С. 1128–1144.
Supplementary files
