ON THE UNAMBIGUOUS SOLVABILITY OF INITIAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR PARABOLIC SYSTEMS IN A SEMI-BOUNDED FLAT REGION WITH A NONSMOOTH LATERAL BOUNDARY

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider the initial boundary value problem for an inhomogeneous parabolic system with Dini-continuous coefficients with a nonzero initial condition in a semi-constrained flat region with a nonsmooth lateral boundary admitting beaks, on which boundary conditions of general form are set. We prove a theorem on the single-valued solvability of such a problem in the space of functions continuous and bounded together with their spatial derivative of the first order in the closure of the region. An integral representation is given and the smoothness character of the obtained solution is investigated.

About the authors

S. I Sakharov

Lomonosov Moscow State University, Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics

Email: ser341516@yandex.ru
Moscow, Russia

References

  1. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. Матем. ин-та В.А. Стеклова АН СССР. 1965. Т. 83. С. 3–163.
  2. Ладьюченская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
  3. Jewey M. Sur les equation aux derivees partielles du type parabolique // J. Math. Pur. Appl. 1913. Ser. 6. V. 9. № 4. P. 305–471.
  4. Камышин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. I // Дифференц. ур-ния. 1971. Т. 7. № 2. С. 312–328.
  5. Камышин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. II // Дифференц. ур-ния. 1971. Т. 7. № 4. С. 711–726.
  6. Камышин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. III // Дифференц. ур-ния. 1971. Т. 7. № 8. С. 1473–1489.
  7. Камышин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. IV // Дифференц. ур-ния. 1972. Т. 8. № 2. С. 318–332.
  8. Камышин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. V // Дифференц. ур-ния. 1972. Т. 8. № 3. С. 494–509.
  9. Камышин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. VI // Дифференц. ур-ния. 1972. Т. 8. № 6. С. 1015–1025.
  10. Камышин Л.И. О решении методом потенциалов основных краевых задач для одномерного параболического уравнения 2-го порядка // Сиб. матем. журн. 1974. Т. 15. № 4. С. 806–834.
  11. Баберко Е.А. О решении методом параболических потенциалов одной задачи теплопроводности с сосредоточенными теплоемкостями // Дифференц. ур-ния. 1972. Т. 8. № 7. С. 1225–1234.
  12. Baderko E.A. Study of Dirichlet problem for a 2p-parabolic problem in a domain whose lateral surface is defined in Dini-Holder classes // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences. Ser. 1. Mathematique. 1978. V. 287. № 4. P. 221–224.
  13. Baderko E.A. Minimal regularity of lateral boundaries in parabolic problems with one space variable // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences. Ser. 1. Mathematique. 1978. V. 287. № 12. P. 827–829.
  14. Баберко Е.А. О решении первой краевой задачи для параболических уравнений с помощью потенциала простого слоя // Докл. АН СССР. 1985. Т. 283. № 1. С. 11–13.
  15. Баберко Е.А. Краевые задачи для параболического уравнения и граничные интегральные уравнения // Дифференц. ур-ния. 1992. Т. 28. № 1. С. 17–23.
  16. Баберко Е.А. О единственности решений начально-краевых задач для параболических уравнений высокого порядка // Дифференц. ур-ния. 1995. Т. 31. № 1. С. 63–70.
  17. Baderko E.A. Parabolic problems and boundary integral equations // Math. Meth. Appl. Sci. 1997. V. 20. № 5. P. 449–459.
  18. Baderko E.A. Scauder estimates for oblique derivative problems // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences. Ser. 1. Mathematique. 1998. V. 326. № 12. С. 1377–1380.
  19. Тверитинов В.А. О второй краевой задаче для параболической системы с одной пространственной переменной // Дифференц. ур-ния. 1989. Т. 25. № 12. С. 2178–2179.
  20. Тверитинов В.А. Решение второй краевой задачи для параболической системы с одной пространственной переменной методом граничных интегральных уравнений // Деп. ВИНИТИ РАН. 15.11.89. № 6906–889.
  21. Баберко Е.А., Черепова М.Ф. Первая краевая задача для параболических систем в плоских областях с негласными боковыми границами // Докл. АН. 2014. Т. 458. № 4. С. 379–381.
  22. Баберко Е.А., Черепова М.Ф. Потенциал простого слоя и первая краевая задача для параболической системы на плоскости // Дифференц. ур-ния. 2016. Т. 52. № 2. С. 198–208.
  23. Баберко Е.А., Черепова М.Ф. Единственность решений начально-краевых задач для параболических систем в плоских ограниченных областях с негладкими боковыми границами // Докл. АН. 2020. Т. 494. № 1. С. 5–8.
  24. Баберко Е.А., Черепова М.Ф. О единственности решений первой и второй начально-краевых задач для параболических систем в ограниченных областях на плоскости // Дифференц. ур-ния. 2021. Т. 57. № 8. С. 1039–1048.
  25. Кошенков А.Н. Существование и единственность классического решения первой краевой задачи для параболических систем на плоскости // Дифференц. ур-ния. 2023. Т. 59. С. 904–913.
  26. Камышин Л.Н., Химченко Б.Н. Принцип максимума и локальные оценки Липшица вблизи боковой границы для решений параболического уравнения 2-го порядка // Сиб. матем. журн. 1975. Т. 16. № 6. С. 1172–1187.
  27. Баберко Е.А., Сахаров С.И. Потенциал Пуассона в первой начально-краевой задаче для параболической системы в полуограниченной области на плоскости // Дифференц. ур-ния. 2022. Т. 58. № 10. С. 1333–1343.
  28. Зейневич М. О потенциале простого слоя для параболической системы в классах Дини. Дис. … канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, 1992.
  29. Баберко Е.А., Черепова М.Ф. Задача Дирихле для параболических систем с Дини-непрерывными коэффициентами на плоскости // Докл. АН. 2017. Т. 476. № 1. С. 7–10.
  30. Baderko E.A., Cherepova M.F. Dirichlet problem for parabolic systems with Dini continuous coefficients // Applicable Analysis. 2021. V. 100. № 13. P. 2900–2910.
  31. Baderko E.A., Cherepova M.F. Mixed problems for plane parabolic systems and boundary integral equations // J. Math. Sci. 2022. V. 260. № 4. P. 418–33.
  32. Баберко Е.А., Сахаров С.И. Единственность решений начально-краевых задач для параболических систем с Дини-непрерывными коэффициентами в плоских областях // Докл. АН. 2022. Т. 502. № 2. С. 26–29.
  33. Баберко Е.А., Сахаров С.И. О единственности решений начально-краевых задач для параболических систем с Дини-непрерывными коэффициентами в полуограниченной области на плоскости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2023. Т. 63. № 4. С. 584–595.
  34. Баберко Е.А., Сахаров С.И. Об однозначной разрешимости начально-краевых задач для параболических систем в ограниченных плоских областях с негладкими боковыми границами // Дифференц. ур-ния. 2023. Т. 59. № 5. С. 608–618.
  35. Семан X. О решении второй краевой задачи для параболических систем на плоскости. Дис. … канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, 1999.
  36. Баберко Е.А., Стасенко А.А. О гладком решении второй начально-краевой задачи для модельной параболической системы в полуограниченной негладкой области на плоскости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 3. С. 391–402.
  37. Фёдоров К.Д. Гладкое решение первой начально-краевой задачи для параболических систем в полуограниченной области с негладкой боковой границей на плоскости // Дифференц. ур-ния. 2022. Т. 58. № 10. С. 1400–1413.
  38. Baderko E.A., Cherepova M.F. Smooth solution to the second initial-boundary value problem for a parabolic system in a domain with nonsmooth lateral boundary // J. Math. Sci. 2023. V. 269. № 1. P. 1–17.
  39. Сахаров С.И. Начально-краевые задачи для однородных параболических систем в полуограниченной плоской области и условие дополнительности // Дифференц. ур-ния. 2023. Т. 59. № 12. С. 1641–1653.
  40. Sakharov S.I. Initial-boundary value problems for parabolic systems in a semibounded plane domain with general boundary conditions // Comput. Math. Math. Phys. 2024. V. 64. № 6. P. 1274–1285.
  41. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964. 443 с.
  42. Ворошинг Л.Г., Хусид Б.М. Диффузионный массоперенос в многокомпонентных системах. Минск: Наука и техника, 1979. 255 с.
  43. Кришпал М.А. Многокомпонентная диффузия в металлах. М.: Металлургия, 1985. 177 с.
  44. Гуляев А.П. Металловедение. М.: Металлургия, 1986. 544 с.
  45. Дзабык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 512 с.
  46. Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов в пространстве Дини–Гельдера // Сиб. матем. журн. 1970. Т. 11. № 5. С. 1017–1045.
  47. Баберко Е.А. О потенциалах для 2p-параболических уравнений // Дифференц. ур-ния. 1983. Т. 19. № 1. С. 9–18.
  48. Баберко Е.А., Сахаров С.И. Об однозначной разрешимости задачи Коши в классе C(D) для параболических систем на плоскости // Дифференц. ур-ния. 2024. Т. 60. № 11. С. 1471–1483.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».