Localizing the initial condition for solutions of the Cauchy problem for the heat equation

Full Text

В слое $D_T\mathrm{<mo>=</mo>}{ℝ}^n\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mathrm{0<mo><</mo>}T\mathrm{<mo><</mo>}\infty$, рассматривается задача Коши

$u_t-\Delta u=\mathrm{0,}\mathrm{0<mo><</mo>}t\le T\mathrm{,}u{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}=\psi \in {\mathcal{S}}^{\prime }\left({ℝ}^n\right)\mathrm{,}$ (1)

где ${\mathcal{S}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $–$ пространство обобщенных функций медленного роста в ${ℝ}^n$. Начальное условие понимается как

$\underset{t\to 0+}{{\displaystyle \lim }}\left(u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\phi \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\psi \mathrm{,}\phi \right)$

для всех $\phi$ из класса Шварца $\mathcal{S}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Решения предполагаются принадлежащими классу функций, допускающему не более чем полиномиальный рост при $x\to \infty$ и $t\to 0$. В этом классе решение задачи Коши существует и единственно для любой начальной функции из ${\mathcal{S}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, см. ниже в разд. 2 теорему Мацузавы.

В работе изучается следующая обратная задача. По значениям температуры в момент времени $T\mathrm{<mo>></mo>0}$ требуется определить, была ли температура в начальный момент времени отлична от нуля лишь на некотором ограниченном множестве. И если да, то что можно сказать о форме нагретой области? Эту задачу можно рассматривать как вопрос об определении мгновенного источника тепла, сосредоточенного на плоскости $t\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Постановки задач о нахождении источника для различных типов уравнений в ограниченных и неограниченных областях приведены в [1-3]. В частности, рассматриваемый в настоящей работе вопрос аналогичен обратной задаче для уравнения Лапласа о нахождении распределения притягивающих масс по их внешнему потенциалу, исследовавшейся многими авторами, см. [1, 2]. С той, однако, разницей, что в рассматриваемой нами постановке требуется найти только часть информации об источнике.

Для заданного выпуклого компакта $K\subset {ℝ}^n$ мы устанавливаем необходимое и достаточное условие на значения решения $u$ задачи (1) в момент времени $T\mathrm{<mo>></mo>0}$ для того, чтобы носитель начальной функции $\psi$ лежал в $K$. Это условие заключается в достаточно быстром убывании решения $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $x\to \infty$. Приведены две формы соответствующей оценки. В первой скорость убывания описывается с помощью функции расстояния до $K$, во второй – с помощью опорной функции множества $K$.

Е.М. Ландис и О.А. Олейник [4] для параболических уравнений второго порядка выдвинули гипотезу о несуществовании сверхбыстро убывающих решений. А именно, если $u$ $–$ ограниченное решение однородного параболического уравнения в ${\overline{D}}_T$ и существуют положительные постоянные $C\mathrm{,}\epsilon$ такие, что $\left|u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le C{e}^{-{\left|x\right|}^{2+\epsilon }}$, то $u\equiv 0$ в ${\overline{D}}_T$. При этом указывалось, что для справедливости гипотезы на коэффициенты уравнения должны быть наложены подходящие условия на бесконечности. Эта гипотеза усиливает свойство единственности решения задачи Коши для параболических уравнений с обратным направлением времени: если $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, то $u\equiv 0$ в ${\overline{D}}_T$, см., например, [5] и цитированную там литературу.

Для уравнения теплопроводности гипотеза Ландиса$–$Олейник была доказана в [6], а для параболических уравнений с переменными коэффициентами в [7, 8]. Во всех этих статьях тривиальность решения была установлена при условии $\left|u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le C_k{e}^{-k{\left|x\right|}^2}$ для всех $k\ge 1$. В настоящей работе из результатов о локализации начального условия мы получаем, что достаточным условием тривиальности ограниченного решения уравнения теплопроводности в слое $D_T$ является выполнение неравенства $\left|u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le C{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\left|x\right|\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^N{e}^{-{\left|x\right|}^2\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>4}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, причем постоянная в экспоненте является точной.

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И ОЦЕНКИ

Для $z\in {ℂ}^n$ и $t\mathrm{<mo>></mo>0}$ обозначим

$\Gamma \left(z\mathrm{,}t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(4\pi t\right)}^{-n\mathrm{<mo>/</mo>2}}{e}^{-\frac{⟨z\mathrm{,}z⟩}{4t}}\mathrm{.}$

Здесь и далее для $z\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{z}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}w\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{w}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{w}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {ℂ}^n$ полагаем $\mathrm{,}w\mathrm{<mo>=</mo>}{z}_1{w}_1+\dots +z_n{w}_n$. При фиксированном $t\mathrm{<mo>></mo>0}$ решение $u$ задачи Коши (1) , представимое в виде свертки фундаментального решения с начальной функцией $\psi \in {\mathcal{S}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, может быть продолжено до целой функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z-\cdot \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В этом разделе мы устанавливаем некоторые оценки функций комплексного переменного, которые нам понадобятся далее при исследовании решения $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и преобразования Фурье$—$Лапласа от него.

Лемма 1. Справедливы оценки

$\left|{\partial }_z^k\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le C_{n\mathrm{,}k}{\left(\left|z\right|+t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\right)}^{\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}}{t}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}-n\mathrm{<mo>/</mo>2}}{e}^{-\frac{Re⟨z\mathrm{,}z⟩}{4t}}\mathrm{,}$

$\underset{\xi \in {ℝ}^n}{{\displaystyle \sup }}\left|{\xi }^N{\partial }_z^k\Gamma \left(z-\xi \mathrm{,}t\right)\right|\le C_{k\mathrm{,}n\mathrm{,}N}{\left(\left|z\right|+t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\right)}^{N+\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}}{t}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}-n\mathrm{<mo>/</mo>2}}{e}^{\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}Imz{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}{4t}}\mathrm{,}$

для всех $z\in {ℂ}^n$, $t\mathrm{<mo>></mo>0}$, $N\ge 0$. Здесь $k\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{k}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{k}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\left|k\right|\mathrm{<mo>=</mo>}{k}_1+\dots +k_n$ и ${\partial }_z^k\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_{z_1}^{k_1}\dots {\partial }_{z_n}^{k_n}$, $\left|z\right|\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{\left|z_i\right|}^2\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}$, $Rez\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Re{z}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}Re{z}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $Imz\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Im{z}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}Im{z}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Доказательство. Из равенства

${\partial }_z^k\Gamma \left(z\mathrm{,}t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(-1\right)}^{\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}}{\left(4\pi t\right)}^{-n\mathrm{<mo>/</mo>2}}{\left(2t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\right)}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}}{H}_{k_1}\left(\frac{z_1}{2t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}}\right)\dots H_{k_n}\left(\frac{z_n}{2t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}}\right)e^{-\frac{⟨z\mathrm{,}z⟩}{4t}}\mathrm{,}$

где $H_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^m{e}^{x^2}\frac{d^m}{d{x}^m}{e}^{-x^2}$ $–$ полиномы Эрмита, получаем

$\begin{array}{c}\left|{\partial }_z^k\Gamma \left(z\mathrm{,}t\right)\right|\le C{t}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}-n\mathrm{<mo>/</mo>2}}{\left(\left|z_1\right|+t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\right)}^{k_1}\dots {\left(\left|z_n\right|+t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\right)}^{k_n}{e}^{-\frac{Re⟨z\mathrm{,}z⟩}{4t}}\le \\ \le C{\left(\left|z\right|+t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\right)}^{\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}}{t}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}-n\mathrm{<mo>/</mo>2}}{e}^{-\frac{Re⟨z\mathrm{,}z⟩}{4t}}\mathrm{.}\end{array}$

Для $z\mathrm{<mo>=</mo>}x+iy$, используя равенство ${{\displaystyle \sup }}_{\xi \in {ℝ}^n}{\left|\xi \right|}^m{e}^{-\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}{4t}}\mathrm{<mo>=</mo>}{C}_{m\mathrm{,}n}{t}^{m\mathrm{<mo>/</mo>2}}\mathrm{,}m\ge \mathrm{0,}$ заключаем, что

$\begin{array}{c}\underset{\xi \in {ℝ}^n}{{\displaystyle \sup }}{\left|\xi \right|}^N\left|{\partial }_z^k\Gamma \left(z-\xi \mathrm{,}t\right)\right|\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{\xi \in {ℝ}^n}{{\displaystyle \sup }}{\left|x-\xi \right|}^N\left|{\partial }_x^k\Gamma \left(\xi +iy\mathrm{,}t\right)\right|\le \\ \le C\underset{\xi \in {ℝ}^n}{{\displaystyle \sup }}\left({\left|x\right|}^N+{\left|\xi \right|}^N\right)t^{-\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}-n\mathrm{<mo>/</mo>2}}{\left(\left|z\right|+t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\right)}^{\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}}{e}^{\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}{4t}}\le \\ \le C{\left(\left|z\right|+t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\right)}^{N+\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}}{t}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}-n\mathrm{<mo>/</mo>2}}{e}^{\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}{4t}}\mathrm{.}\end{array}$

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть функция $f$ одного комплексного переменного является аналитической в угле $A\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>0<mo><</mo>}\arg z\mathrm{<mo><</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo>\}</mo>}$ и непрерывна в $\overline{A}$. Если для некоторых постоянных $M\mathrm{,}C\mathrm{,}a\mathrm{<mo>></mo>0}$ справедливы оценки

$\left|f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le C{e}^{aR{e}^{2}z}\mathrm{,}z\in A\mathrm{,}$ (2)

$\left|f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le M\mathrm{,}z\in \partial A\mathrm{,}$ (3)

то

$\left|f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le M\mathrm{,}z\in \overline{A}\mathrm{.}$ (4)

Доказательство. Для малого $\alpha \mathrm{<mo>></mo>0}$ в угле $A_{\alpha }\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>0<mo><</mo>}\arg z\mathrm{<mo><</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\alpha \mathrm{<mo>\}</mo>}$ рассмотрим функцию $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{iab{z}^2}$, где $b\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}\text{tg}\alpha$. Для $z\mathrm{<mo>=</mo>}x+iy$ 

$\left|g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\mathrm{<mo>=</mo>}\left|f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|e^{-2abxy}\mathrm{,}$

откуда имеем

$\left|gz\right|\le \left|fz\right|\le C{e}^{az{}^2}\text{\hspace{0.05em}в\hspace{0.33em}}{A}_{\alpha }\mathrm{.}$

На верхней стороне угла $A_{\alpha }$ имеем

$\left|g\left.\left(r{e}^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\right|\le \left|f\left(r{e}^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}-\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\right.\right|e^{-ab{r}^2\sin 2\alpha }\le C{e}^{a{r}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{{\displaystyle \sin }}^2\alpha -b\sin 2\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}C\mathrm{.}$

По теореме Фрагмена–Линделефа [9, гл. 8, § 6] получим

$\left|g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\mathrm{<mo>=</mo>}\left|f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|e^{-axytg\alpha }\le \max \mathrm{<mo>\{</mo>}C\mathrm{,}M\mathrm{<mo>\}</mo>,}z\in {\overline{A}}_{\alpha }\mathrm{.}$

Зафиксировав $z\in A$ и переходя к пределу $\alpha \to 0+$ заключаем, что $\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \max \mathrm{<mo>\{</mo>}C\mathrm{,}M\mathrm{<mo>\}</mo>}$ в $A$. Применяя теорему Фрагмена–Линделефа еще раз, получим (4) .

Лемма доказана.

Для множества $K\subset {ℝ}^n$ обозначим через $d_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}dist\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ функцию расстояния до $K$.

Теорема 1. Пусть целая функция $n$ комплексных переменных $f$ для некоторого непустого выпуклого компакта $K\subset {ℝ}^n$ и постоянных $N\ge 0$, $C\mathrm{,}a\mathrm{<mo>></mo>0}$, удовлетворяет оценкам

$\left|f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le C{\left(1+\left|x\right|\right)}^N{e}^{-a{d}_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}x\in {ℝ}^n\mathrm{,}$ (5)

$\left|f\left(z\right)\right|\le C{\left(1+\left|z\right|\right)}^N{e}^{a\mathrm{<mo>|</mo>}Imz{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}\mathrm{,}z\in {ℂ}^n\mathrm{.}$ (6)

Тогда

$\left|f\left(z\right)\right|\le C_1{\left(1+\left|z\right|\right)}^{2N}{e}^{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}Imz{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2-d_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Rez\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}z\in {ℂ}^n\mathrm{,}$ (7)

где $C_1$ зависит от $C$, $n$, $N$ и компакта $K$.

Доказательство. Если $x\in K$, то (7) для точки $z\mathrm{<mo>=</mo>}x+iy$ вытекает из (6). Пусть $x\cancel{\in }K$ и $O$ $–$ ближайшая к $x$ точка $K$.

Обозначим через $\gamma$ гиперплоскость в ${ℝ}^n$, проходящую через $O$ и ортогональную отрезку $Ox$. Выберем декартову систему координат $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{x}}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\tilde{x}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с центром в точке $O$ такую, что точка $x$ лежит на луче $O{\tilde{x}}_n$. В ней точка $x$ имеет координаты $\tilde{x}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\dots \mathrm{,0,}{\tilde{x}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где ${\tilde{x}}_n\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Плоскость $\gamma$ является опорной для $K$. В самом деле, если бы существовала точка $P\in K$, принадлежащая полупространству ${\tilde{x}}_n\mathrm{<mo>></mo>0}$, то, в силу выпуклости $K$, весь отрезок $OP$ принадлежал бы $K$. Это противоречит предположению, что точка $O$ является ближайшей к $x$ точкой $K$. Следовательно, обозначая функцию расстояния до $K$ в новых координатах той же буквой, для всех точек $\tilde{s}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\dots \mathrm{,0,}{\tilde{s}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на положительном луче $O{\tilde{x}}_n$, имеем $d_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{s}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{s}}_n$.

В ${ℂ}^n$ выберем координаты

${\tilde{z}}_j\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{x}}_j+i{y}_j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n\mathrm{.}$

Положим ${\tilde{z}}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{z}}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\tilde{z}}_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и обозначим через ${\tilde{f}}_n$ ограничение $f$ на плоскость ${\tilde{z}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}i{y}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\tilde{z}}_{n-1}\mathrm{<mo>=</mo>}i{y}_{n-1}$. Так как точка $x\cancel{\in }K$ выбирается произвольно, достаточно доказать (7) для ${\tilde{f}}_n$ в полуплоскости $Re{\tilde{z}}_n\ge 0$ при любых значениях $y_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_{n-1}\in ℝ$. Если $K$ лежит в открытом шаре $B_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ радиуса $R$ с центром в нуле, то для точки $z\mathrm{<mo>=</mo>}x+iy$ ее координаты $\tilde{z}$ удовлетворяют неравенствам

$C_1{\left(1+\left|\tilde{z}\right|\right)}^N\le {\left(1+\left|z\right|\right)}^N\le C_2{\left(1+\left|\tilde{z}\right|\right)}^N\mathrm{,}$

где $C_i\mathrm{<mo>=</mo>}{C}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{,}N\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и, по условию,

$\left|{\tilde{f}}_n\left({\tilde{z}}_n\right)\right|\le C{\left(1+\left|{\tilde{z}}_n\right|\right)}^N{\left(1+\left|{\tilde{z}}^{\prime }\right|\right)}^N{e}^{a{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{y}_j^2}}\mathrm{,}{\tilde{z}}_n\in ℂ\mathrm{,}$

$\left|{\tilde{f}}_n\left({\tilde{x}}_n\right)\right|\le C{\left(1+\left|{\tilde{x}}_n\right|\right)}^N{e}^{-a{\tilde{x}}_n^2}\mathrm{,}{\tilde{x}}_n\ge 0.$

Функция $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{z}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+{\tilde{z}}_n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-N}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{z}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{a{\tilde{z}}_n^2}$ удовлетворяет в угле $A_1\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>0<mo><</mo>}\arg {\tilde{z}}_n\mathrm{<mo><</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo>\}</mo>}$ условию леммы 2 с постоянной

$M\mathrm{<mo>=</mo>}C{\left(1+\left|{\tilde{z}}^{\prime }\right|\right)}^N{e}^{a{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{y}_j^2}}\mathrm{,}$

что проверяется с использованием неравенства $1+\left|{\tilde{z}}_n\right|\le 2\left|1+{\tilde{z}}_n\right|\mathrm{,}$ справедливого при $Re{\tilde{z}}_n\ge 0$. Следовательно,

$\begin{array}{c}\left|{\tilde{f}}_n\left({\tilde{x}}_n+i{y}_n\right)\right|\le C{\left(1+\left|{\tilde{z}}^{\prime }\right|\right)}^N{\left(1+\left|{\tilde{z}}_n\right|\right)}^N{e}^{a{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{y}_j^2}}\left|e^{-a{\tilde{z}}_n^2}\right|\le \\ \le C{\left(1+\left|z\right|\right)}^{2N}{e}^{a{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{y}_j^2}-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{x}}_n^2-y_n^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}C{\left(1+\left|z\right|\right)}^{2N}{e}^{a\mathrm{<mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2-a{d}_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}\end{array}$

Случай угла $A_2\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}-\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo><</mo>}\arg {\tilde{z}}_n\mathrm{<mo><</mo>0<mo>\}</mo>}$ рассматривается аналогично.

Теорема доказана.

2. ЛОКАЛИЗАЦИЯ НАЧАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ

В работах [10-12] Т. Мацузава охарактеризовал некоторые классы обобщенных функций и гиперфункций в терминах возможного роста решений задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальной функцией из данного класса. Этот подход, получивший название метода теплового ядра, использовался затем многими авторами для описания различных пространств обобщенных функций, см. [13] и цитированную там литературу. Мы будем использовать следующую характеризацию функций из пространства ${\mathcal{S}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ [14].

Теорема (Мацузава). Пусть $\psi \in {\mathcal{S}}^{\prime }\left({ℝ}^n\right)$ и $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\cdot \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^{\infty }\left({ℝ}^n\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)$ и удовлетворяет следующим условиям:

1. $\left({\partial }_t-\Delta \right)u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ при $t\mathrm{<mo>></mo>0}$;
2. $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to \psi$ в ${\mathcal{S}}^{\prime }\left({ℝ}^n\right)\mathrm{,}t\to 0+$;
3. существуют положительные константы $L\mathrm{,}N$ и $C$ такие, что

$\left|u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le C{t}^{-L}{\left(1+\left|x\right|\right)}^N\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D_1\mathrm{.}$ (8)

Обратно, для функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^{\infty }\left({ℝ}^n\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)$, удовлетворяющей 1) и 3), существует единственное распределение $\psi$ из ${\mathcal{S}}^{\prime }\left({ℝ}^n\right)$ такое, что $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\cdot \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Очевидно, в формулировке теоремы можно заменить $D_1$ на произвольный слой $D_T$.

Обобщенные функции с компактным носителем были охарактеризованы подобным образом в [15]. Следующее утверждение является уточнением результата из этой работы. А именно, в оценке улучшается показатель экспоненты с $-d_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>8}t$ до $-d_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>4}t$.

Теорема 2. Пусть $K\subset {ℝ}^n$ $–$ непустой выпуклый компакт и $\text{supp\hspace{0.33em}}\psi \subset K$. Тогда для решения $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\cdot \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задачи Коши (1) справедлива оценка

$\left|u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le C{t}^{-L}{\left(1+\left|x\right|\right)}^N{e}^{-\frac{d_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{4t}}\mathrm{,}x\in {ℝ}^n\mathrm{,}\mathrm{0<mo><</mo>}t\le T\mathrm{.}$ (9)

Доказательство. При $d_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}$ из (8) получаем

$\left|u\left(x\mathrm{,}t\right)\right|\le C{t}^{-L}{\left(1+\left|x\right|\right)}^N\le C_1{t}^{-L}{\left(1+\left|x\right|\right)}^N{e}^{-\frac{d_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{4t}}\mathrm{.}$

Существует семейство функций ${\mu }_{\epsilon }\in C_0^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$, каждая из которых равна единице в некоторой окрестности $K$, и такова, что ${\mu }_{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ при $d_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge \epsilon$, причем [16, гл. 1, § 4]

$\left|{\partial }_x^k{\mu }_{\epsilon }\left(x\right)\right|\le C_k{\epsilon }^{-\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{,}$

где постоянные $C_k$ не зависят от $\epsilon$.

Пусть $d_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>}{t}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>></mo>}\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$ и $K\subset B_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Положим $K_{\epsilon }\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in {ℝ}^n\mathrm{<mo>|</mo>}{d}_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \epsilon \mathrm{<mo>\}</mo>}\subset B_{R+t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. По теореме Л. Шварца [17, гл. 2, § 8] любая обобщенная функция $\psi \in {\mathcal{S}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет конечный порядок и существуют числа $N\ge 0$, $C\mathrm{<mo>></mo>0}$ такие, что

$\begin{array}{c}\left|u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\mathrm{<mo>=</mo>}\left|\left(\Gamma \left(x-\cdot \mathrm{,}t\right){\mu }_{\epsilon }\mathrm{,}\psi \right)\right|\le \\ \le C\underset{\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}\le N\mathrm{,}y\in {ℝ}^n}{{\displaystyle \sup }}{\left(1+\left|y\right|\right)}^N\left|{\partial }_y^k\left[\Gamma \left(x-y\mathrm{,}t\right){\mu }_{\epsilon }\left(y\right)\right]\right|\mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}C\underset{\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}\le N\mathrm{,}y\in K_{\epsilon }}{{\displaystyle \sup }}{\left(1+\left|y\right|\right)}^N\left|{\partial }_y^k\left[\Gamma \left(x-y\mathrm{,}t\right){\mu }_{\epsilon }\left(y\right)\right]\right|\le \\ \le C{t}^{-L}{\left(1+R+t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\right)}^N{e}^{-\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{4t}}\times \\ \times {\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}\le N}}{\epsilon }^{-\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}}{\left(R+\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}+t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\right)}^{N-\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{.}\end{array}$

Нужная оценка получается, если положить $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>}t\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и использовать неравенство $d_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \left|x\right|+R$:

$\begin{array}{c}\left|u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le C{t}^{-L_1}{\left(1+\left|x\right|\right)}^{N_1}{e}^{-\frac{d_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{4t}+\frac{d_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{t}{\mathrm{4<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+t^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}}\le \\ \le C{t}^{-L_1}{\left(1+\left|x\right|\right)}^{N_1}{e}^{-\frac{d_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{4t}}\mathrm{.}\end{array}$

Теорема доказана.

Получим теперь необходимое и достаточное условие принадлежности носителя начальной функции заданному выпуклому компакту $K$. Отметим, что в методе теплового ядра [15] для описания обобщенных функций с компактным носителем используются значения решения $u\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\cdot \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ во всем слое $D_T$. Здесь же требуется знание решения лишь в один момент времени.

Обозначим через $h_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{{\displaystyle \sup }}_{y\in K}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ опорную функцию выпуклого множества $K\subset {ℝ}^n$.

Теорема 3. Пусть $u$ $–$ решение задачи Коши (1), удовлетворяющее для некоторых постоянных $C\mathrm{<mo>></mo>0,}N\mathrm{,}L\ge 0$ оценке

$\left|u\left(x\mathrm{,}t\right)\right|\le C{\left(1+\left|x\right|\right)}^N{t}^{-L}\mathrm{,}\left(x\mathrm{,}t\right)\in D_T\mathrm{,}$ (10)

и $K\subset {ℝ}^n$ $–$ непустой выпуклый компакт. Тогда $\text{supp\hspace{0.33em}}\psi \subset K$, если и только если существуют константы $C_1\mathrm{<mo>></mo>0,}{N}_1\ge 0$ такие, что

$\left|u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le C_1{\left(1+\left|x\right|\right)}^{N_1}{e}^{-\frac{d_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{4T}}\mathrm{,}x\in {ℝ}^n\mathrm{.}$ (11)

Доказательство. Необходимость следует из теоремы 2. Установим достаточность. Пусть выполнено условие (11) . По теореме Мацузавы при выполнении (10) решение $u$ может быть представлено в виде потенциала Пуассона $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\cdot \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для некоторой функции $\psi \in {\mathcal{S}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. По теореме Л. Шварца

$\begin{array}{c}\left|u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+iy\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\mathrm{<mo>=</mo>}\left|\left(\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+iy-\cdot \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \right)\right|\le \\ \le C\underset{\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}\le N\mathrm{,}\xi \in {ℝ}^n}{{\displaystyle \sup }}{\left(1+\left|\xi \right|\right)}^N\left|{\partial }_x^k\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+iy-\xi \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le \\ \le C{T}^{-L}{\left(\left|x+iy\right|+T^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\right)}^{N_1}{e}^{\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}{4T}}\le \\ \le C{\left(\left|x+iy\right|+1\right)}^{N_1}{e}^{\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}{4T}}\mathrm{.}\end{array}$

Учитывая (11) , заключаем, что функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет условиям теоремы 1 и, следовательно,

$\left|u\left(z\mathrm{,}T\right)\right|\le C{\left(\left|z\right|+1\right)}^N{e}^{\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2-d_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{4T}}\mathrm{,}z\in {ℂ}^n\mathrm{.}$

Рассмотрим преобразование Фурье$–$Лапласа от решения $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

$\tilde{u}\left(\xi +i\eta \mathrm{,}T\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}u\left(x\mathrm{,}T\right)e^{-i⟨\xi +i\eta \mathrm{,}x⟩}dx\mathrm{.}$

Так как функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+iy\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ быстро убывает при $x\to \infty$, то можно сдвинуть плоскость интегрирования:

$\tilde{u}\left(\xi +i\eta \mathrm{,}T\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}u\left(x+iy\mathrm{,}T\right)e^{-i⟨\xi +i\eta \mathrm{,}x+iy⟩}dx\mathrm{.}$

Поскольку $\left|e^{-i⟨\xi +i\eta \mathrm{,}x+iy⟩}\right|\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, то получим

$\begin{array}{c}\left|\tilde{u}\left(\xi +i\eta \mathrm{,}T\right)\right|\le C{e}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}\left|u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+iy\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|e^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}dx\le \\ \le C{e}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}{4T}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}{\left(1+\left|x+iy\right|\right)}^N{e}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{d_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{4T}}dx\mathrm{.}\end{array}$

Минимизируя выражение $\left(y\mathrm{,}\xi \right)+\frac{{\left|y\right|}^2}{4T}$ по $y$, получим $y^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}-2T\xi$, $e^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}{y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}{4T}}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-T\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}$ и

$\begin{array}{c}\left|\tilde{u}\left(\xi +i\eta \mathrm{,}T\right)\right|\le C{e}^{-T{\xi }^2}{\int }_{{ℝ}^n}{\left(1+\left|x-2iT\xi \right|\right)}^N{e}^{x\mathrm{,}\eta -\frac{d_K^{2}x}{4T}}dx=\\ =C{e}^{-T{\xi }^2}{\int }_{{ℝ}^n}{\left(1+\left|x-2iT\xi +2T\eta \right|\right)}^N{e}^{x+2T\eta \mathrm{,}\eta -\frac{d_K^{2}x+2T\eta }{4T}}dx=\\ =C{e}^{-T{\xi }^2}{\int }_{{ℝ}^n}{\left(1+\left|x-2iT\left(\xi +i\eta \right)\right|\right)}^N\underset{a\in K}{\sup }{e}^{x-a\mathrm{,}\eta +a\mathrm{,}\eta -\frac{x+2T\eta -a^2}{4T}+2T{\eta }^2}dx\le \\ \le C{e}^{-T{\xi }^2}{\int }_{{ℝ}^n}{\left(1+\left|x-2iT\left(\xi +i\eta \right)\right|\right)}^N\underset{a\in K}{}{e}^{a\mathrm{,}\eta }\times \\ \times \underset{a\in K}{}{e}^{x-a\mathrm{,}\eta -\frac{x-a^2}{4T}-x-a\mathrm{,}\eta -T{\eta }^2+2T{\eta }^2}dx=\end{array}$

$\begin{array}{c}=C{e}^{T{\eta }^2-T{\xi }^2+h_K\eta }{\int }_{{ℝ}^n}{\left(1+\left|x-2iT\left(\xi +i\eta \right)\right|\right)}^N\underset{a\in K}{}{e}^{-\frac{x-a^2}{4T}}dx=\\ =C{e}^{T{\eta }^2-T{\xi }^2+h_K\eta }{\int }_{{ℝ}^n}{\left(1+\left|x-2iT\xi +i\eta \right|\right)}^N{e}^{-\frac{d_K^{2}x}{4T}}dx\le \\ \le C{e}^{-T{\xi }^2}{\int }_{{ℝ}^n}{\left(1+\left|x-2iT\left(\xi +i\eta \right)\right|\right)}^N\underset{a\in K}{}{e}^{a\mathrm{,}\eta }\times \\ \times \underset{a\in K}{}{e}^{x-a\mathrm{,}\eta -\frac{x-a^2}{4T}-x-a\mathrm{,}\eta -T{\eta }^2+2T{\eta }^2}dx=\\ =C{e}^{T{\eta }^2-T{\xi }^2+h_K\eta }{\int }_{{ℝ}^n}{\left(1+\left|x-2iT\left(\xi +i\eta \right)\right|\right)}^N\underset{a\in K}{\sup }{e}^{-\frac{x-a^2}{4T}}dx=\end{array}$

$=C{e}^{T{\eta }^2-T{\xi }^2+h_K\eta }{\int }_{{ℝ}^n}{\left(1+\left|x-2iT\left(\xi +i\eta \right)\right|\right)}^N{e}^{-\frac{d_K^{2}x}{4T}}dx\mathrm{.}$

Пусть $K\subset B_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Разделим получившийся интеграл на две части и оценим их по отдельности:

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{B_{2R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{\left(1+\left|x-2iT\left(\xi +i\eta \right)\right|\right)}^N{e}^{-\frac{d_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{4T}}dx\le \\ \le C{\displaystyle {\int }_{B_{2R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{\left(1+\left|x-2iT\left(\xi +i\eta \right)\right|\right)}^{N}dx\le \\ \le C{R}^n{\left(1+\left|R\right|+2T\left|\xi +i\eta \right|\right)}^N\le C{\left(1+\left|\xi +i\eta \right|\right)}^N\mathrm{,}\end{array}$

а для точек вне шара $B_{2R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ расстояние $d_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge \left|x\right|\mathrm{<mo>/</mo>2}$ и

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n\backslash B_{2R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{\left(1+\left|x-2iT\left(\xi +i\eta \right)\right|\right)}^N{e}^{-\frac{d_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{4T}}dx\le \\ \le {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}\left(1+{\left|x\right|}^N+2T{\left|\xi +i\eta \right|}^N\right)e^{-\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}x{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}{16T}}dx\le C{\left(1+\left|\xi +i\eta \right|\right)}^N\mathrm{.}\end{array}$

Окончательно получаем

$\left|\tilde{u}\left(\xi +i\eta \mathrm{,}T\right)\right|\le C{\left(1+\left|\xi +i\eta \right|\right)}^N{e}^{h_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}\eta {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

С другой стороны, из равенства $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\cdot \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ следует, что

$\tilde{u}\left(\xi \mathrm{,}T\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{\Gamma }\left(\xi \mathrm{,}T\right)\tilde{\psi }\left(\xi \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-T\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}\tilde{\psi }\left(\xi \right)\mathrm{.}$

В левой части стоит целая функция. Поэтому $\tilde{\psi }$ также можно продолжить до целой функции по формуле

$\tilde{\psi }\left(\xi +i\eta \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{T⟨\xi +i\eta \mathrm{,}\xi +i\eta ⟩}\tilde{u}\left(\xi +i\eta \mathrm{,}T\right)\mathrm{,}$

причем

$\begin{array}{c}\left|\tilde{\psi }\left(\xi +i\eta \right)\right|\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2-\mathrm{<mo>|</mo>}\eta {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left|\tilde{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi +i\eta \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le \\ \le C{\left(1+\left|\xi +i\eta \right|\right)}^N{e}^{T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2-\mathrm{<mo>|</mo>}\eta {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{e}^{h_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}\eta {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \\ \le C{\left(1+\left|\xi +i\eta \right|\right)}^N{e}^{h_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}\end{array}$

По теореме Пэли$–$Винера$–$Шварца [16, гл. 7, § 3] полученная оценка на $\tilde{\psi }$ является необходимым и достаточным условием того, чтобы $\text{supp }\psi \subset K$.

Теорема доказана.

Из теорем 2 и 3 следует, что если для решения задачи Коши (1) выполнено (10) и для некоторого момента времени $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ справедлива оценка

$\left|u\left(x\mathrm{,}t\right)\right|\le C{\left(1+\left|x\right|\right)}^N{e}^{-\frac{d_K^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{4t}}\mathrm{,}x\in {ℝ}^n\mathrm{,}$

то решение удовлетворяет (возможно, с другими константами) неравенству вида (9) .

Сформулируем полученное условие на скорость убывания решения в терминах опорной функции $h_K$. Она более удобна для практического определения формы выпуклого компакта $K$, чем расстояние $d_K$. Во-первых, поскольку функция $h_K$ однородна степени один, достаточно найти ее значения на единичной сфере $S^{n-1}$. Во-вторых, ее значение в точке $\zeta \in S^{n-1}$ задает опорное полупространство $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le h_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которому принадлежит искомое множество $K$, причем пересечение всех опорных полупространств равно $K$.

При $x\to \infty$ расстояние $d_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ растет примерно как $\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}$. Установим более точную асимптотику.

Теорема 4. Пусть $K\subset {ℝ}^n$ $–$ непустой выпуклый компакт. Тогда

$d_K\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left|x\right|-h_K\left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)+O\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)\mathrm{,}x\to \infty \mathrm{.}$ (12)

Доказательство. Выберем $R$ таким, чтобы $K\subset B_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и пусть $x\cancel{\in }{B}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Воспользуемся известной формулой [18, B.3], связывающей расстояние до выпуклого замкнутого множества и его опорную функцию: если $x\cancel{\in }K$, то

$d_K\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{\zeta \in S^{n-1}}{{\displaystyle \sup }}\left[\left(x\mathrm{,}\zeta \right)-h_K\left(\zeta \right)\right]\mathrm{.}$

Обозначим через ${\zeta }_x\in S^{n-1}$ и $p_x\in K$ точки, для которых $d_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\zeta }_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\zeta }_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $h_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\zeta }_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{{\displaystyle \sup }}_{y\in K}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}{\zeta }_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_x\mathrm{,}{\zeta }_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда

$d_K\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(x-p_x\mathrm{,}{\zeta }_x\right)\le \left|x-p_x\right|\mathrm{.}$

С другой стороны, $d_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \left|x-y\right|$ для всех $y\in K$. Следовательно, $p_x$ является ближайшей к $x$ точкой $K$, т.е. $d_K\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left|x-p_x\right|$ и ${\zeta }_x\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x-x_p}{\left|x-x_p\right|}\mathrm{.}$ Для ${\nu }_x\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x}{\left|x\right|}\in S^{n-1}$ имеем

$\left(x\mathrm{,}{\nu }_x\right)-h_K\left({\nu }_x\right)\le d_K\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(x\mathrm{,}{\zeta }_x\right)-h_K\left({\zeta }_x\right)\mathrm{,}$

$0\le \left|x\right|-\left(x\mathrm{,}{\zeta }_x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(x\mathrm{,}{\nu }_x-{\zeta }_x\right)\le h_K\left({\nu }_x\right)-h_K\left({\zeta }_x\right)\mathrm{.}$

Единичные векторы $-{\nu }_x$, $-{\zeta }_x$ указывают направления из точки $x$ на начало координат и точку $p_x$ соответственно. Обе эти точки лежат в $B_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Поэтому $\mathrm{<mo>|</mo>}{\nu }_x-{\zeta }_x\mathrm{<mo>|</mo>}$ не превосходит величины плоского угла, под которым шар $B_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ виден из точки $x$, откуда

${\nu }_x-{\zeta }_x\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)\mathrm{,}x\to \infty \mathrm{.}$

Опорная функция $h_K$ выпукла на ${ℝ}^n$ и, следовательно, липшицева на $S^{n-1}$ [19, § 5]. Поэтому

$\begin{array}{c}0\le \left(x\mathrm{,}{\nu }_x-{\zeta }_x\right)\le h_K\left({\nu }_x\right)-h_K\left({\zeta }_x\right)\le \\ \le C\left|{\nu }_x-{\zeta }_x\right|\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)\mathrm{,}x\to \infty \mathrm{.}\end{array}$

Отсюда заключаем, что

$\begin{array}{c}{d}_K\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(x\mathrm{,}{\zeta }_x\right)-h_K\left({\zeta }_x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(x\mathrm{,}{\nu }_x\right)-h_K\left({\nu }_x\right)-\\ -\left(x\mathrm{,}{\nu }_x-{\zeta }_x\right)+\left(h_K\left({\nu }_x\right)-h_K\left({\zeta }_x\right)\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}\left|x\right|-h_K\left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)+O\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)\mathrm{,}x\to \infty \mathrm{.}\end{array}$