Uniqueness of a solution to the Lavrent’ev integral equation in n-dimensional space

全文:

О единственности решения интегрального уравнения Лаврентьева в n-мерном пространстве ¹

1. ВВЕДЕНИЕ

Многие нелинейные коэффициентные обратные задачи для уравнений с частными производными могут быть сведены к линейным интегральным уравнениям. Общий подход к такой редукции с использованием преобразования Лапласа предложил М.М. Лаврентьев в работах [1], [2]. Ниже рассмотрим обратную задачу волнового зондирования в следующей постановке. Акустическая неоднородность, локализованная в ограниченной области $D\subset {ℝ}^3$, зондируется волновыми полями, порожденными точечными источниками, расположенными в точках множества $Y\subset {ℝ}^3$, где $Y\cap D\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$ (см. [3]). Акустическое поле $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, возбуждаемое в момент t = 0 источником, находящимся в точке $y\in Y$, определяется решением задачи Коши

$\begin{array}{c}\frac{1}{c^2\left(x\right)}{u}_{tt}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(x\mathrm{,}t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\Delta u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(x\mathrm{,}t\right)-\delta \left(x-y\right)g\left(t\right)\mathrm{,}x\in {ℝ}^3\mathrm{,}t\ge \mathrm{0<mo>;</mo>}\\ u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(x\mathrm{,}0\right)\mathrm{<mo>=</mo>0,}{u}_t^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(x\mathrm{,}0\right)\mathrm{<mo>=</mo>0,}x\in {ℝ}^3\mathrm{.}\end{array}$ (1.1)

Величина c(x) > 0 есть скорость распространения сигнала в точке $x\in {ℝ}^3$. Предполагается, что функция c(x) кусочно-непрерывна, и что вне области D она тождественно равна известной константе $c_0$. Предположим, кроме того, что функция g имеет ненулевое среднее значение на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\left|g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le C_0{e}^{-\beta t}\mathrm{,}t\ge 0$, при некотором $\beta \mathrm{<mo>></mo>0}$.

Для получения информации о функции $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in D$, рассеянное поле $u\mathrm{<mo>=</mo>}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}y\in Y$, измеряется при t > 0 в точках $x\mathrm{<mo>=</mo>}z\in Z$, где $Z\subset {ℝ}^3$ – множество координат детекторов, причем $Z\cap D\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$. Определим для суммируемой функции $f\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t⩾0$, преобразование Лапласа $\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}{e}^{-pt}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt$. Будем считать, что все функции $u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $y\in Y$, и их производные по $t$ до второго порядка включительно экспоненциально убывают при $t\to \infty$, когда $x\in Z$, и, кроме того, $u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to 0$ при $\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\to \infty$, где $y\in Y$ и t > 0. В [4], [5] обсуждаются условия на функцию c(x), обеспечивающие эти требования. Обозначим

$\xi \left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{c^2\left(x\right)}-\frac{1}{c_0^2}\mathrm{,}x\in D\mathrm{,}$

и перепишем уравнение (1.1) в виде

$\Delta u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{1}{c_0^2}{u}_{tt}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(x\mathrm{,}t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\xi \left(x\right)u_{tt}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(x\mathrm{,}t\right)-\delta \left(x-y\right)g\left(t\right)\mathrm{.}$

Очевидно, что для нахождения c(x) достаточно ограничиться отысканием $\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $x\in D$, по которой c(x) определяется однозначно.

Известно, что поставленная задача приводится к следующему интегральному уравнению относительно искомой функции $\xi$ с известной правой частью f(y,z), называемому уравнением М.М. Лаврентьева (см. [6]$–$[8]):

${\displaystyle \underset{D}{\int }}\frac{\xi \left(x\right)dx}{\left|x-y\right|\left|x-z\right|}\mathrm{<mo>=</mo>}f\left(y\mathrm{,}z\right)\mathrm{,}\left(y\mathrm{,}z\right)\in Y\times Z\mathrm{.}$ (1.2)

Итак, данные наблюдения $\mathrm{<mo>\{</mo>}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>|</mo>}t\mathrm{<mo>></mo>0,}y\in Y\mathrm{,}z\in Z\mathrm{<mo>\}</mo>}$ позволяют однозначно найти $\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in D$, если оператор интегрального уравнения (1.2) инъективен.

Кроме рассматриваемой задачи (1.1) к уравнению (1.2) сводятся также обратные задачи акустического зондирования гармоническими по времени источниками с частотой $\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\omega }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ (см. подробнее в [9, § 3.1], [10, с. 223], [11]). К аналогичному уравнению приводится также коэффициентная обратная задача для уравнения акустики в ограниченной области с условием Дирихле на границе (см. [12]).

Условиям единственности решения уравнения (1.2) посвящено значительное число работ, начиная с [2] и далее [3], [7], [10], [11], [13]$–$[16]. Например, если Y и Z есть открытые области на плоскости, не пересекающей D, либо на аналитической поверхности, содержащей множество D внутри, то оператор уравнения (1.2) инъективен, и тем самым рассматриваемая обратная задача имеет единственное решение. При этом совокупная размерность 4 пространственного носителя данных $Y\times Z$ в (1.2) больше количества 3 независимых переменных искомой функция $\xi$. Позднее в работах [14], [16], [17] показано, что инъективность оператора в (1.2) имеет место и в случае, когда одно из многообразий Y, Z есть плоскость, а второе – прямая. В этом случае уже совокупная размерность носителя данных $Y\times Z$ и размерность носителя D искомой функции совпадают и обе равны трем. Вопросы численного решения уравнения М.М. Лаврентьева (1.2) изучены значительно меньше, трудности при этом являются общими для всех многомерных обратных задач рассеяния. Суть их в том, что для реконструкции локальных неоднородностей малых размеров требуется использовать достаточно густые дискретные сетки, что, в свою очередь, приводит к результирующим линейным системам сверхвысокой размерности. Хранение и обработка этих систем требует применения распределенных вычислений и часто распределенного хранения данных (см. [17]). Альтернативным подходам к численному решению рассматриваемой задачи посвящены, в частности, работы [7], [18], [19].

В настоящей статье рассматривается вопрос единственности решения многомерного уравнения М.М. Лаврентьева

${\displaystyle \underset{D}{\int }}\frac{\xi \left(x\right)dx}{{\left|x-y\right|}^{n-2}{\left|x-z\right|}^{n-2}}\mathrm{<mo>=</mo>}f\left(y\mathrm{,}z\right)\mathrm{,}\left(y\mathrm{,}z\right)\in Y\times Z\mathrm{,}$ (1.3)

где $D\subset {ℝ}^n$ $–$ ограниченная область с кусочно-гладкой границей, $Y\subset {ℝ}^n$ $–$ открытый интервал или отрезок на произвольной прямой $L\subset {ℝ}^n$, $Y\cap \overline{D}\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$, а Z – область в (n-1)-мерной гиперплоскости $\Pi \subset {ℝ}^n$, не пересекающей $\overline{D}$. Ядро интегрального оператора в левой части (1.3) с точностью до константы является произведением фундаментальных решений уравнения Лапласа в пространстве ${ℝ}^n$, $n\ge 3$. Тем самым, (1.3) служит обобщением уравнения (1.2) и совпадает с ним в случае n=3.

Статья имеет следующую структуру. В разд. 2 доказывается единственность решения уравнения (1.3). При n=3 аналогичное утверждение доказано в [15]$–$[17], причем в [15], [16] используется дополнительное условие, что прямая L, содержащая промежуток Y, не пересекает $\overline{D}$. В настоящей работе это условие не накладывается, а, кроме того, данный результат обобщается на произвольные размерности $n⩾3$. Доказанная теорема позволяет утверждать единственность решения описанной выше трехмерной обратной задачи акустики в случае, когда продолжение отрезка Y пересекает $\overline{D}$. В разд. 3 приводятся результаты численных экспериментов, в которых решается эта задача с различными расположениями множеств X и Y.

2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ М.М. ЛАВРЕНТЬЕВА

Предлагаемое доказательство единственности решения уравнения (1.3) основано на следующей теореме.

Теорема 2.1. Линейные комбинации функций семейства

$\left\{\left.\frac{u\left(x\right)}{{\left|x-y\right|}^{n-2}}\right|y\in Y\mathrm{,}u\in \mathcal{H}\left(D\right)\right\}$

плотны в пространстве $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Здесь

$\mathcal{H}\left(D\right)\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}u\in L_2\left(D\right)\mathrm{<mo>|</mo>}\Delta u\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>0,}x\in D\mathrm{<mo>\}</mo>}$

есть множество всех гармонических функций в D, принадлежащих $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для доказательства теоремы 2.1 достаточно убедиться, что соотношение

${\displaystyle \underset{D}{\int }}\frac{h\left(x\right)u\left(x\right)dx}{{\left|x-y\right|}^{n-2}}\mathrm{<mo>=</mo>0}\forall y\in Y\mathrm{,}u\in \mathcal{H}\left(D\right)$ (2.1)

с $h\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ влечет h(x)=0 п.в. в D. Приступая к доказательству, заметим, что функция f(y), определенная выражением в левой части равенства (2.1), гармонична по $y\in {ℝ}^n\backslash \overline{D}$ и тем самым вещественно аналитична вне $\overline{D}$. Отсюда следует, что сужение f на $L\backslash \overline{D}$ также вещественно аналитично. Нетрудно видеть, что множество $L\backslash \overline{D}$ либо совпадает с L, либо содержит две неограниченные компоненты. В обоих случаях равенство $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, $y\in Y$ продолжается по аналитичности на всю неограниченную компоненту множества $L\backslash \overline{D}$, содержащую Y. Выберем на прямой L произвольно точку и рассмотрим шар с центром в этой точке, содержащий $\overline{D}$ внутри. Без ограничения общности можем считать, что выбранная точка совпадает с началом координат, а шар, содержащий $\overline{D}$, имеет радиус $1-\epsilon$ с некоторым $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$. Таким образом, $\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}⩽1-\epsilon$ для всех $x\in \overline{D}$. Пусть для определенности $L\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\dots \mathrm{,0,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_n\in ℝ\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ для точек y, принадлежащих неограниченной компоненте $\mathrm{<mo>\{</mo>}x\in L\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_n⩾\mathrm{0<mo>\}</mo>}\backslash \overline{D}$. Указанная компонента содержит луч $L^{+}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\dots \mathrm{,0,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_n⩾1-\epsilon \mathrm{<mo>\}</mo>}$. Поэтому на основании (2.1) имеем

${\displaystyle \underset{D}{\int }}\frac{h\left(x\right)u\left(x\right)dx}{{\left|x-y\right|}^{n-2}}\mathrm{<mo>=</mo>0}\forall y\in L^{+}\mathrm{,}u\in \mathcal{H}\left(D\right)\mathrm{.}$ (2.2)

Переходим к доказательству сформулированной теоремы с учетом сделанного уточнения. Обозначим $x^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $S_r\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{x}^{\prime }\in {ℝ}^{n-1}\left|\left|x^{\prime }\right|\right.\mathrm{<mo>=</mo>}r\mathrm{<mo>\}</mo>}$.

Далее нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 2.1. Для a>0 и b таких, что $a^2+b^2⩽1-\epsilon$, имеет место равенство

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}\frac{e^{-i\mu t}dt}{{\left(a^2+{\left(b-i\sqrt{2}-t\right)}^2\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}\mathrm{<mo>=</mo>}\\ =C\left(n\right)e^{-i\mu b}{e}^{-\mu \sqrt{2}}{\left(\frac{\mu }{a}\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}V\left(\mu a\right)\mathrm{,}\mu \in ℝ\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>,}\end{array}$ (2.3)

где $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $–$ функция, аналитическая при $s\in ℂ\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}$ и удовлетворяющая условию $\mathrm{<mo>|</mo>}{r}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r{e}^{i\psi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}r\to 0+\mathrm{,}\psi \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $\mathrm{<mo>|</mo>}{r}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r{e}^{i\psi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}r\to 0+\mathrm{,}\psi \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Интеграл сходится равномерно относительно параметров $a\mathrm{,}b$, удовлетворяющих условию $a^2+b^2⩽1-\epsilon$, $a\mathrm{<mo>></mo>0}$.

Доказательство. Обозначим интеграл в левой части (2.3) через $\mathcal{I}(\mu ;a,b)$. Для обоснования равномерной сходимости этого интеграла запишем вещественную и мнимую части подынтегрального выражения как сумму произведений f(x,t) g(x,t), где $f(x,t)=\cos \mu t$ или $\sin \mu t$, g(x,t) есть вещественная или мнимая часть функции ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b-a\sqrt{2}i-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}$, $x=(\mu ,a,b)$. Непосредственно устанавливаем, что функция $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ монотонно стремится к нулю по $\mathrm{<mo>|</mo>}t\mathrm{<mo>|</mo>}⩾t_0$ равномерно относительно параметров $a\mathrm{,}b$, удовлетворяющих условию леммы 2.1. Поэтому равномерная сходимость $\mathcal{I}$ следует из теоремы 3 в [20, c. 674].

Замена переменных $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}t-b$ приводит интересующий нас интеграл к виду

$\mathcal{I}\left(\mu \mathrm{<mo>;</mo>}a\mathrm{,}b\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-i\mu b}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}\frac{e^{-i\mu \tau }d\tau }{{\left(a^2+{\left(i\sqrt{2}+\tau \right)}^2\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}\mathrm{.}$ (2.4)

Рассмотрим на плоскости переменной $\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}v+iw$ положительно ориентированный контур

${\Gamma }_R\mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }_{R1}\cup {\Gamma }_{R2}\cup {\Gamma }_{R3}\cup {\Gamma }_{R4}\cup {\Gamma }_{R5}\cup {\Gamma }_{R6}\mathrm{,}$ (2.5)

где

$\begin{array}{c}{\Gamma }_{R1}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}v+0i\mathrm{<mo>|</mo>}v\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>,}{\Gamma }_{R2}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}R+iw\mathrm{<mo>|</mo>}w\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\sqrt{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>,}\\ {\Gamma }_{R3}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}v+i\sqrt{2}\mathrm{<mo>|</mo>}v\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}R\mathrm{,}-R\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>,}{\Gamma }_{R4}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}-R+iw\mathrm{<mo>|</mo>}w\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\sqrt{2}\mathrm{,}\mathrm{0<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>,}\\ {\Gamma }_{R5}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}v+0i\mathrm{<mo>|</mo>}v\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-R\mathrm{,}\mathrm{0<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>,}\\ {\Gamma }_{R6}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{v+iw\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{a\sqrt{2}\cos t\sin t}{1+{{\displaystyle \sin }}^{2}t}+i\left.\frac{a\sqrt{2}\cos t}{1+{{\displaystyle \sin }}^{2}t}\right|t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\pi \mathrm{<mo>/</mo>2,}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">]</mo>}\right\}\mathrm{.}\end{array}$

Здесь в обозначениях участков контура порядок перечисления концов для отрезка значений параметра на кривой соответствует нужному направлению обхода участка. Участок ${\Gamma }_{R6}$ представляет собой половину лемнискаты Бернулли. Контур (2.5) обходит разрез плоскости $ℂ$, выполненный вдоль отрезка [-ia, ia]. Вне этого разреза функция ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}^2+{\zeta }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}$ допускает выделение однозначной аналитической ветви. Указанная ветвь определяется равенством

${\left(a^2+{\zeta }^2\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\sqrt{\zeta +ia}\right)}^{n-2}{\left(\sqrt{\zeta -ia}\right)}^{n-2}\mathrm{,}$

$\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}ia+r{e}^{i\varphi }\mathrm{,}\varphi \in \left(-\pi \mathrm{<mo>/</mo>2,3}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}\right)\mathrm{,}$

с выбором для корней главных значений, определяемых условием $\sqrt{1}\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Тем самым

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{e^{-i\mu \zeta }}{{\left(\sqrt{\zeta -ia}\right)}^{n-2}{\left(\sqrt{\zeta +ia}\right)}^{n-2}}$ (2.6)

также является однозначной аналитической функцией вне $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-ia\mathrm{,}ia\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и, в частности, в области, ограниченной контуром ${\Gamma }_R$. Следовательно,

${\displaystyle \underset{{\Gamma }_R}{\int }}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\zeta \mathrm{<mo>=</mo>0.}$ (2.7)

Нетрудно видеть, что интегралы от функции (2.6) по участкам ${\Gamma }_{R2}$ и ${\Gamma }_{R4}$ имеют порядки $O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}^{2-n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}R\to \infty$. Поэтому из (2.7) следует, что при $R\to \infty$ имеет место

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{{\Gamma }_{R1}}{\int }}\frac{e^{-i\mu \zeta }d\zeta }{{\left(\sqrt{a^2+{\zeta }^2}\right)}^{n-2}}+{\displaystyle \underset{{\Gamma }_{R5}}{\int }}\frac{e^{-i\mu \zeta }d\zeta }{{\left(\sqrt{a^2+{\zeta }^2}\right)}^{n-2}}+\\ +{\displaystyle \underset{{\Gamma }_{R6}}{\int }}\frac{e^{-i\mu \zeta }d\zeta }{{\left(\sqrt{a^2+{\zeta }^2}\right)}^{n-2}}+{\displaystyle \underset{R}{\overset{-R}{\int }}}\frac{e^{-i\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\sqrt{2}+\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}d\tau }{{\left(\sqrt{a^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\sqrt{2}+\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\right)}^{n-2}}\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(R^{2-n}\right)\mathrm{.}\end{array}$ (2.8)

Непосредственный анализ показывает, что при вещественных $\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}v$ и $\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}-v$, $v⩾0$, функция $\sqrt{a^2+{\zeta }^2}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{\zeta -ia}\sqrt{\zeta +ia}$ принимает значения противоположных знаков. Поэтому замена переменной $v\mathrm{<mo>=</mo>}-\tilde{v}$ дает

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{{\Gamma }_{R5}}{\int }}\frac{e^{-i\mu \zeta }d\zeta }{{\left(\sqrt{a^2+{\zeta }^2}\right)}^{n-2}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{-R}{\overset{0}{\int }}}\frac{e^{-i\mu v}dv}{{\left(\sqrt{a^2+v^2}\right)}^{n-2}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{R}{\overset{0}{\int }}}\frac{e^{i\mu \tilde{v}}\left(-d\tilde{v}\right)}{{\left(\sqrt{a^2+{\left(-\tilde{v}\right)}^2}\right)}^{n-2}}\mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{R}{\overset{0}{\int }}}\frac{e^{i\mu \tilde{v}}\left(-d\tilde{v}\right)}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\sqrt{a^2+{\tilde{v}}^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n-2}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(-1\right)}^{n-2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}}\frac{e^{i\mu v}dv}{{\left(\sqrt{a^2+v^2}\right)}^{n-2}}\mathrm{.}\end{array}$

Следовательно,

$\begin{array}{c}\underset{{\Gamma }_{R1}}{\int }\frac{e^{-i\mu \zeta }d\zeta }{{\left(\sqrt{a^2+{\zeta }^2}\right)}^{n-2}}+\underset{{\Gamma }_{R5}}{\int }\frac{e^{-i\mu \zeta }d\zeta }{{\left(\sqrt{a^2+{\zeta }^2}\right)}^{n-2}}=\\ =\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{e^{-i\mu v}dv}{{\left(\sqrt{a^2+v^2}\right)}^{n-2}}+{(-1)}^{n-2}\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{e^{i\mu v}dv}{{\left(\sqrt{a^2+v^2}\right)}^{n-2}}=\\ =\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{\left(e^{-i\mu v}+{\left(-1\right)}^n{e}^{i\mu v}\right)dv}{{\left(\sqrt{a^2+v^2}\right)}^{n-2}}=\\ =\left({\left(-1\right)}^n+1\right)\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{\cos \mu vdv}{{\left(\sqrt{a^2+v^2}\right)}^{n-2}}+i\left({\left(-1\right)}^n-1\right)\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{\sin \mu vdv}{{\left(\sqrt{a^2+v^2}\right)}^{n-2}}\mathrm{.}\end{array}$ (2.9)

Обратимся к интегралу по участку лемнискаты ${\Gamma }_{R6}$. Обозначим $r_1\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}\zeta -ia\mathrm{<mo>|</mo>}$, $r_2\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}\zeta +ia\mathrm{<mo>|</mo>}$ и ${\varphi }_1\mathrm{<mo>=</mo>}\arg \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta -ia\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\varphi }_2\mathrm{<mo>=</mo>}\arg \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta +ia\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Поскольку при $\zeta \in {\Gamma }_{R6}$ будет

$\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}a\sqrt{2}\left(\frac{\sin t\cos t}{1+{{\displaystyle \sin }}^{2}t}+i\frac{\cos t}{1+{{\displaystyle \sin }}^{2}t}\right)\mathrm{,}$

величины ${\varphi }_1$, ${\varphi }_2$, а вместе с ними и $e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varphi }_1+{\varphi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}$, не зависят ни от a, ни от $\mu$. При этом $\mathrm{<mo>|</mo>}{e}^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varphi }_1+{\varphi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>1}$. Кроме того, по известному свойству лемнискаты справедливо $\sqrt{r_1}\sqrt{r_2}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{r_1{r}_2}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{a^2}\mathrm{<mo>=</mo>}a$ при a > 0. Поэтому

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{{\Gamma }_{R6}}{\int }}\frac{e^{-i\mu \zeta }d\zeta }{{\left(\sqrt{a^2+{\zeta }^2}\right)}^{n-2}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{-\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}{\overset{\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}{\int }}}\frac{e^{-i\mu a\sqrt{2}\left(\frac{\sin t\cos t}{1+{{\displaystyle \sin }}^{2}t}+i\frac{\cos t}{1+{{\displaystyle \sin }}^{2}t}\right)}a\sqrt{2}\frac{1-3{{\displaystyle \sin }}^{2}t+i\left({{\displaystyle \sin }}^{3}t-3\sin t\right)}{{\left(1+{{\displaystyle \sin }}^{2}t\right)}^2}dt}{a^{n-2}{e}^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varphi }_1+{\varphi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}\mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{2}{\left(\frac{\mu }{a}\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}{\displaystyle \underset{-\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}{\overset{\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}{\int }}}\frac{e^{-i\mu a\sqrt{2}\left(\frac{\sin t\cos t}{1+{{\displaystyle \sin }}^{2}t}+i\frac{\cos t}{1+{{\displaystyle \sin }}^{2}t}\right)}\frac{1-3{{\displaystyle \sin }}^{2}t+i\left({{\displaystyle \sin }}^{3}t-3\sin t\right)}{{\left(1+{{\displaystyle \sin }}^{2}t\right)}^2}dt}{{\left(\mu a\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}{e}^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varphi }_1+{\varphi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}\mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}-\sqrt{2}{\left(\frac{\mu }{a}\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}{\mathcal{I}}_{\Gamma 6}\left(\mu a\right)\mathrm{,}\end{array}$

где обозначено

${\mathcal{I}}_{\Gamma 6}\left(s\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{s^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}{\displaystyle \underset{-\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}{\overset{\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}{\int }}}\frac{e^{-is\sqrt{2}\left(\frac{\sin t\cos t}{1+{{\displaystyle \sin }}^{2}t}+i\frac{\cos t}{1+{{\displaystyle \sin }}^{2}t}\right)}\frac{1-3{{\displaystyle \sin }}^{2}t+i\left({{\displaystyle \sin }}^{3}t-3\sin t\right)}{{\left(1+{{\displaystyle \sin }}^{2}t\right)}^2}dt}{e^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varphi }_1+{\varphi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}\mathrm{,}s\in ℂ\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>.}$

Заметим, что интеграл в правой части последнего равенства есть функция, аналитическая при всех $s\in ℂ$, включая точку s = 0. Поэтому $\mathrm{<mo>|</mo>}{r}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}{\mathcal{I}}_{\Gamma 6}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r{e}^{i\psi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $r\to 0+\mathrm{,}\psi \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Перейдем в (2.8) к пределу при $R\to \infty$. С учетом (2.9) мы получим

$\begin{array}{c}\left({\left(-1\right)}^n+1\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}}\frac{\cos \mu vdv}{{\left(\sqrt{a^2+v^2}\right)}^{n-2}}+i\left({\left(-1\right)}^n-1\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}}\frac{\sin \mu vdv}{{\left(\sqrt{a^2+v^2}\right)}^{n-2}}-\\ -\sqrt{2}{\left(\frac{\mu }{a}\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}{\mathcal{I}}_{\Gamma 6}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-e^{\mu \sqrt{2}}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}}\frac{e^{-i\mu \tau }d\tau }{{\left(\sqrt{a^2+{\left(i\sqrt{2}+\tau \right)}^2}\right)}^{n-2}}\mathrm{<mo>=</mo>0.}\end{array}$ (2.10)

Первый из интегралов в (2.10) равен

$\sqrt{\pi }{\left(\frac{\mu }{2a}\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}{\left[\Gamma \left(\frac{n-2}{2}\right)\right]}^{-1}{K}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\left(\mu a\right)\mathrm{,}$

второй равен

$\frac{\sqrt{\pi }}{2}{\left(\frac{\mu }{2a}\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\Gamma \left(\frac{4-n}{2}\right)\left(I_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\left(\mu a\right)-L_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\left(\mu a\right)\right)$

(см. [21, c. 167, 262]). Здесь $I_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $K_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $–$ модифицированные функции Бесселя, $L_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $–$ модифицированная функция Струве. Заметим, что функции $K_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $I_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-L_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обе аналитические при $s\in ℂ\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}$ и удовлетворяют условиям

$\mathrm{<mo>|</mo>}{r}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}{K}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r{e}^{i\psi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$\left|r^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\left(I_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\left(r{e}^{i\psi }\right)-L_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\left(r{e}^{i\psi }\right)\right)\right|\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

при $r\to 0+\mathrm{,}\psi \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Поэтому

${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}}\frac{e^{-i\mu \tau }d\tau }{{\left(\sqrt{a^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\sqrt{2}+\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\right)}^{n-2}}=C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\mu \sqrt{2}}{\left(\frac{\mu }{a}\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}V\left(\mu a\right)\mathrm{,}$

где V(s) $–$ функция аналитическая при $s\in ℂ\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}$ и удовлетворяющая условию $\mathrm{<mo>|</mo>}{r}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r{e}^{i\psi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}r\to 0+\mathrm{,}\psi \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $\mathrm{<mo>|</mo>}{r}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r{e}^{i\psi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}r\to 0+\mathrm{,}\psi \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Окончательно с учетом (2.4) получаем

$\begin{array}{c}\mathcal{I}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo>;</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}\frac{e^{-i\mu t}dt}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b-i\sqrt{2}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}\mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\mu \sqrt{2}}{e}^{-i\mu b}{\left(\frac{\mu }{a}\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mu \in ℝ\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>.}\end{array}$

Лемма 2.1 доказана.

Заметим, что функция V многозначна, но имеет однозначную ветвь на комплексной плоскости с разрезом вдоль луча iR₊.

Доказательство теоремы 2.1. Обозначим

$g\left(v\right)\mathrm{<mo>=</mo>}f\left(\mathrm{0,}\dots \mathrm{,0,}v\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{D}{\int }}\frac{h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx}{{\left({\left|x^{\prime }\right|}^2+{\left(v-x_n\right)}^2\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}\mathrm{,}\left|v\right|\mathrm{<mo>></mo>1}-\epsilon \mathrm{.}$ (2.11)

Ввиду вещественной аналитичности функции g при $v\mathrm{<mo>></mo>1}-\epsilon$, указанная функция допускает однозначное аналитическое продолжение в окрестность луча $\mathrm{<mo>\{</mo>}\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}v+iw\in ℂ\mathrm{<mo>|</mo>}v\mathrm{<mo>></mo>1}-\epsilon \mathrm{,}w\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$. Это продолжение соответствует выбору ветви квадратного корня, для которой $\sqrt{1}\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Функцию g далее можем с сохранением однозначности аналитически продолжить вдоль дуг $\mathrm{<mo>\{</mo>}v{e}^{it}\mathrm{<mo>|</mo>}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$, $v\mathrm{<mo>></mo>1}-\epsilon$, в область

$Q\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}v+iw\in ℂ\mathrm{<mo>|</mo>}w\mathrm{<mo>></mo>0}\right\}\backslash \left\{\zeta \in ℂ\mathrm{<mo>|</mo>}\mathrm{<mo>|</mo>}\zeta \mathrm{<mo>|</mo>}\le 1-\epsilon \right\}\mathrm{.}$

Однозначность такого продолжения определяется тем, что для точек $\zeta$ этих дуг при всех $x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \overline{D}$ выполняется $\mathrm{<mo>|</mo>}{x}^{\prime }{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta -x_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\ne 0$, $\mathrm{0<mo><</mo>}\text{arg}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}{x}^{\prime }{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta -x_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>2}\pi$.

В силу (2.2), $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ при $v\mathrm{<mo>></mo>1}-\epsilon$. Пользуясь теоремой единственности для аналитических функций (см. [22, с. 73]), заключаем, что $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ для всех $\zeta \in Q$. Для дальнейших построений существенно, что прямая $\mathrm{<mo>\{</mo>}\zeta \in ℂ\mathrm{<mo>|</mo>}\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}t+i\sqrt{2}\mathrm{,}t\in ℝ\mathrm{<mo>\}</mo>}$ принадлежит $Q$, поэтому согласно (2.11) имеем

$\begin{array}{c}g\left(t+i\sqrt{2}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{D}{\int }}\frac{h\left(x\right)u\left(x\right)dx}{{\left({\left|x^{\prime }\right|}^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_n-i\sqrt{2}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}\mathrm{<mo>=</mo>0}\\ \forall t\in ℝ\mathrm{,}u\in \mathcal{H}\left(D\right)\mathrm{.}\end{array}$ (2.12)

При фиксированных $u\in \mathcal{H}\left(D\right)$, A > 0 на основании (2.12) и теоремы Фубини запишем

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{-A}{\overset{A}{\int }}}{e}^{-i\mu t}\left({\displaystyle \underset{D}{\int }}\frac{h\left(x\right)u\left(x\right)dx}{{\left({\left|x^{\prime }\right|}^2+{\left(x_n-i\sqrt{2}-t\right)}^2\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}\right)dt\mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{D}{\int }}h\left(x\right)u\left(x\right)\left({\displaystyle \underset{-A}{\overset{A}{\int }}}\frac{e^{-i\mu t}dt}{{\left({\left|x^{\prime }\right|}^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_n-i\sqrt{2}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}\right)dx\mathrm{<mo>=</mo>0.}\end{array}$ (2.13)

Поскольку множество $\mathrm{<mo>\{</mo>}x\in D\mathrm{<mo>|</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$ имеет в ${ℝ}^n$ меру нуль, можем считать, что в правом интеграле по $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-A\mathrm{,}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ выполняется $\mathrm{<mo>|</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>|</mo>}\mathrm{<mo>></mo>0}$. Заметим, что величины $a\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>|</mo>}$, $b\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_n$ удовлетворяют условию леммы 2.1. Согласно этой лемме, функция

${\eta }_A\left(x\mathrm{,}\mu \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{-A}{\overset{A}{\int }}}\frac{e^{-i\mu t}dt}{{\left({\left|x^{\prime }\right|}^2+{\left(x_n-i\sqrt{2}-t\right)}^2\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}$

при $A\to +\infty$ сходится к $\mathcal{I}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo>;</mo><mo>|</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>|</mo>,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равномерно по $x\in D$. В частности, для всех $\mu \in ℝ\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}$ выполняется $\underset{x\in D}{{\displaystyle \sup }}\mathrm{<mo>|</mo>}{\eta }_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo><</mo>}\infty$. Предельный переход в (2.13) при $A\to +\infty$ с использованием теоремы Лебега о мажорируемой сходимости дает

${\displaystyle \underset{D}{\int }}h\left(x\right)u\left(x\right)\left({\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}\frac{e^{-i\mu t}dt}{{\left({\left|x^{\prime }\right|}^2+{\left(x_n-i\sqrt{2}-t\right)}^2\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}\right)dx\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Поэтому из (2.3) следует равенство

${\displaystyle \underset{D}{\int }}h\left(x\right)u\left(x\right)e^{-i\mu x_n}\frac{V\left(\mu \left|x^{\prime }\right|\right)}{{\left|x^{\prime }\right|}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}dx\mathrm{<mo>=</mo>0}\forall \mu \in ℝ\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>.}$ (2.14)

Непосредственно проверяется, что для любого ${\lambda }^{\prime }\in {ℝ}^{n-1}$ функция $u_{{\lambda }^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\prime }\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo>|</mo>}{\lambda }^{\prime }\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_n}$ принадлежит $\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Полагая $u\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_{{\lambda }^{\prime }}$ в (2.14), получаем

${\displaystyle \underset{D}{\int }}h\left(x\right)e^{-i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\prime }\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\left|{\lambda }^{\prime }\right|-i\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_n}\frac{V\left(\mu \left|x^{\prime }\right|\right)}{{\left|x^{\prime }\right|}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}dx\mathrm{<mo>=</mo>0}\forall \mu \in ℝ\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>,}{\lambda }^{\prime }\in {ℝ}^{n-1}\mathrm{.}$ (2.15)

При каждом ${\lambda }^{\prime }\in {ℝ}^{n-1}$ функция в левой части (2.15) аналитична по $\mu \in ℝ\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}$. Поэтому равенство (2.15) по аналитичности продолжается на комплексную плоскость с разрезом вдоль луча i ${ℝ}_{+}$. Полагая $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}p-\left|{\lambda }^{\prime }\right|i$, $p\ne 0$ в (2.14), получаем

${\displaystyle \underset{D}{\int }}h\left(x^{\prime }\mathrm{,}{x}_n\right)e^{-ip{x}_n}{e}^{-i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\prime }\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\frac{V\left(\left(p-\left|{\lambda }^{\prime }\right|i\right)\left|x^{\prime }\right|\right)}{{\left|x^{\prime }\right|}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}d{x}^{\prime }d{x}_n\mathrm{<mo>=</mo>0}\forall {\lambda }^{\prime }\in {ℝ}^{n-1}\mathrm{,}p\in ℝ\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>.}$ (2.16)

Зафиксируем финитную на ${ℝ}_{+}$ функцию $\eta \mathrm{<mo>=</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $r⩾0$, и функцию $Y_{k\mathrm{,}l}$ тригонометрического базиса для некоторых $k⩾0$ и $1⩽l⩽d_k$. Умножим обе части равенства (2.16) на $\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\left|{\lambda }^{\prime }\right|\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{Y}_{k\mathrm{,}l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }^{\prime }\mathrm{<mo>/</mo>}\left|{\lambda }^{\prime }\right|$, и проинтегрируем результат по ${ℝ}^{n-1}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\lambda }^{\prime }\mathrm{<mo>\}</mo>}$, считая функцию h продолженной нулем вне D. Мы будем иметь

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}{\displaystyle \underset{{ℝ}^{n-1}}{\int }}\frac{h\left(x^{\prime }\mathrm{,}{x}_n\right)}{{\left|x^{\prime }\right|}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}{e}^{-ip{x}_n}\times \\ \times \left({\displaystyle \underset{{ℝ}^{n-1}}{\int }}{e}^{-i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\prime }\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}V\left(\left(p-\left|{\lambda }^{\prime }\right|i\right)\left|x^{\prime }\right|\right)\times \eta \left(\left|{\lambda }^{\prime }\right|\right)Y_{k\mathrm{,}l}\left(\theta \right)d{\lambda }^{\prime }\right)d{x}^{\prime }d{x}_n\mathrm{<mo>=</mo>0.}\end{array}$ (2.17)

Согласно формуле (2.6.5) из [23] (см. также теорему 3.10 из [24]), имеем

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{{ℝ}^{n-1}}{\int }}{e}^{-i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\prime }\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}V\left(\left(p-\left|{\lambda }^{\prime }\right|i\right)\left|x^{\prime }\right|\right)\eta \left(\left|{\lambda }^{\prime }\right|\right)Y_{k\mathrm{,}l}\left(\theta \right)d{\lambda }^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}{\left(-i\right)}^k{\left(2\pi \right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}{\rho }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}{Y}_{k\mathrm{,}l}\left(\phi \right)\times \\ \times {\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}{J}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}+k-1}\left(r\rho \right)V\left(\left(p-ir\right)\rho \right)\eta \left(r\right)r^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}dr\mathrm{,}\end{array}$ (2.18)

где $\phi \mathrm{<mo>=</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>/</mo>}\left|x^{\prime }\right|$, $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}\left|x^{\prime }\right|$, $J_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}+k-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $–$ функция Бесселя.

Выбирая в (2.17) в качестве $\eta$ элемент последовательности финитных на ${ℝ}_{+}$ функций $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\eta }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$, сходящихся в ${\mathcal{D}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ к $\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, t > 0, и переходя к пределу при $m\to \infty$, из (2.17), (2.18) получаем

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}\left({\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}\left({\displaystyle \underset{S^{n-2}}{\int }}{\rho }^{n-2}\frac{h\left(x^{\prime }\left(\rho \mathrm{,}\phi \right)\mathrm{,}{x}_n\right)}{{\rho }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}{\rho }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}{Y}_{k\mathrm{,}l}\left(\phi \right)d\phi \right)e^{-ip{x}_n}d{x}_n\right)\times \\ \times J_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}+k-1}\left(t\rho \right)V\left(\left(p-it\right)\rho \right)d\rho \mathrm{<mo>=</mo>0}\forall t\ge 0\mathrm{,}\forall p\in ℝ\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>.}\end{array}$ (2.19)

Здесь $x^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{,}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\rho \phi$, $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}\left|x^{\prime }\right|$. При выводе (2.19) использовалась формула

${\displaystyle \underset{{ℝ}^{n-1}}{\int }}f\left(x^{\prime }\right)d{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}\left({\displaystyle \underset{S_{\rho }^{n-2}}{\int }}f\left(x^{\prime }\right)d\phi \right)d\rho ={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}{\rho }^{n-2}\left({\displaystyle \underset{S^{n-2}}{\int }}f\left(x^{\prime }\left(\rho \mathrm{,}\phi \right)\right)d\phi \right)d\rho \mathrm{,}$

в которой $S_{\rho }^{n-2}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{x}^{\prime }\in {ℝ}^{n-1}\left|\left|x^{\prime }\right|\right.\mathrm{<mo>=</mo>}\rho \mathrm{<mo>\}</mo>}$ и $f$ $–$ произвольная интегрируемая на ${ℝ}^{n-1}$ функция.

Завершение доказательства проводится по схеме из [17]. Обозначим

$\begin{array}{c}{G}_{k\mathrm{,}l}\left(\rho \mathrm{,}{x}_n\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{S^{n-2}}{\int }}\rho h\left(x^{\prime }\left(\rho \mathrm{,}\phi \right)\mathrm{,}{x}_n\right)Y_{k\mathrm{,}l}\left(\phi \right)d\phi \mathrm{,}\\ f_{p\mathrm{,}k\mathrm{,}l}\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}{G}_{k\mathrm{,}l}\left(\rho \mathrm{,}{x}_n\right)e^{-ip{x}_n}d{x}_n\mathrm{.}\end{array}$ (2.20)

Из (2.19) следует равенство

$\begin{array}{l}\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}{J}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}+k-1}\left(t\rho \right)V\left(\left(p-it\right)\rho \right)f_{p\mathrm{,}k\mathrm{,}l}\left(\rho \right)d\rho \mathrm{<mo>=</mo>0}\\ \forall t\ge \mathrm{0,}p\in ℝ\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>.}\end{array}\hfill \end{array}$ (2.21)

Имеет место представление

$f_{p\mathrm{,}k\mathrm{,}l}\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}\frac{{\left(-ip\right)}^j}{j!}\left.\right|{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}{G}_{k\mathrm{,}l}\left(\rho \mathrm{,}{x}_n\right)x_n^{j}d{x}_n\mathrm{.}$

Поскольку $\left|x\right|⩽1-\epsilon$ для $x\in D$, функция $G_{k\mathrm{,}l}\equiv 0$ вне прямоугольника $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}1-\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}1-\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, и соответственно $f_{p\mathrm{,}k\mathrm{,}l}\equiv 0$ вне отрезка $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}1-\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Зафиксируем номера $k\mathrm{<mo>=</mo>}{k}_0$, $l\mathrm{<mo>=</mo>}{l}_0$. Возможны два случая:

1) для всех $j\mathrm{<mo>=</mo>0,1,}\dots$ справедливо ${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}{G}_{k\mathrm{,}l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_n^{j}d{x}_n\mathrm{<mo>=</mo>0}$ для п.в. $\rho ⩾0$; таким образом, в этом случае $f_{p\mathrm{,}k\mathrm{,}l}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ п.в. для всех $p\in ℝ\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}$;

2) найдется номер $m⩾0$ такой, что ${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}{G}_{k\mathrm{,}l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_n^{j}d{x}_n\mathrm{<mo>=</mo>0}$ для п.в. $\rho ⩾0$ и всех $0⩽j\mathrm{<mo><</mo>}m$, но функция ${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}{G}_{k\mathrm{,}l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_n^{m}d{x}_n$ отлична от нуля на множестве положительной меры в $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}1-\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.