Аппарат геометрической алгебры и кватернионов в системах символьных вычислений для описания вращений в евклидовом пространстве

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

В физических и технических задачах достаточно распространенным в применении математическим аппаратом является тензорный формализм (и его частный случай – векторный формализм). Хотя этот формализм и считается достаточно универсальным и подходящим для описания многих пространств, порой требуется применение специального математического аппарата. Например, задача вращения в трехмерном пространстве достаточно плохо описывается в тензорном представлении, и для ее решения более целесообразно использовать формализм представлений алгебры Клиффорда, в частности, кватернионов и геометрической алгебры. В статье средствами компьютерной алгебры демонстрируется решение задачи вращения в трехмерном пространстве с использованием как формализма кватернионов, так и формализма геометрической алгебры. Показано, что при всей принципиальной схожести формализмов кватернионов и геометрической алгебры последний представляется более наглядным как при проведении вычислений, так и при интерпретации результатов. Библ. 32. Фиг. 1.

Об авторах

Т. Р. Велиева

Российский университет дружбы народов

Email: velieva-tr@rudn.ru
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

М. Н. Геворкян

Российский университет дружбы народов

Email: gevorkyan-mn@rudn.ru
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

А. В. Демидова

Российский университет дружбы народов

Email: demidova-av@rudn.ru
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

А. В. Королькова

Российский университет дружбы народов

Email: korolkova-av@rudn.ru
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Д. С. Кулябов

Российский университет дружбы народов; Объединенный институт ядерных исследований

Автор, ответственный за переписку.
Email: kulyabov-ds@rudn.ru
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6; Россия, 141980, М.о., Дубна, ул. Жолио-Кюри, 6

Список литературы

  1. Kanatani K. 3D Rotations: Parameter Computation and Lie Algebra based Optimization. Chapman and Hall/CRC, 2020.
  2. Vince J. Rotation transforms for computer graphics. London : Springer-Verlag, 2011.
  3. Kuipers J.B. Quaternions and rotation sequences. Princeton University Press, 1999.
  4. Grassmann H.G. Die Mechanik nach den Principien der Ausdehnungslehre // Mathematische Annalen. 1877. Bd. 12. S. 222–240.
  5. Clifford W.K. Applications of Grassmann’s Extensive Algebra // American Journal of Mathematics. 1878. V. 1. № 4. P. 350–358.
  6. Казанова Г. Векторная алгебра / Под ред. М.К. Поливанов. Современная математика. М.: Мир, 1979. 120 с.
  7. Hestenes D., Sobczyk G. Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics. Fundamental Theories of Physics. Netherlands Springer, 1987.
  8. Delanghe R., Sommen F., Soucek V. Clifford algebra and spinor-valued functions. Mathematics and Its Applications. Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1992.
  9. Doran C., Lasenby A. Geometric Algebra for Physicists. Morgan Kaufmann Publishers, 2003.
  10. Dorst L., Fontijne D., Mann S. Geometric algebra for computer science. The Morgan Kaufmann Series in Computer Graphics. Morgan Kaufmann, 2007.
  11. Vince J. Geometric algebra for computer graphics. Springer-Verlag, 2008.
  12. Lengyel E. Mathematics. Lincoln, California : Terathon Software LLC, 2016. Vol. 1. 195 p.
  13. Kanatani K. Understanding Geometric Algebra. Taylor and Francis Group/CRC, 2015.
  14. ten Bosch M. Let’s remove Quaternions from every 3D Engine. Access mode: https://marctenbosch.com/quaternions/.
  15. SymPy. 2022. Access mode: http://www.sympy.org/ru/index.html.
  16. Van Rossum G., Drake F.L. Python 3 Reference Manual. Scotts Valley, CA: CreateSpace, 2009.
  17. GAlgebra – Symbolic Geometric Algebra/Calculus package for SymPy. 2022. Access mode: https://galgebra.readthedocs.io/en/latest/index.html.
  18. Dickson L.E. On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem // The Annals of Mathematics. 1919. 3. V. 20. № 3. P. 155–171.
  19. Cayley A. IV. A sixth memoir upon quantics // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1859. 1. V. 149. P. 61–90.
  20. Klein F.C. Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie // Gauβ und die Anfänge der nicht-euklidischen Geometrie. Wien: Springer-Verlag Wien, 1985. Bd. 4 von Teubner-Archiv zur Mathematik. S. 224–238.
  21. Klein F.C. A comparative review of recent researches in geometry // Bulletin of the American Mathematical Society. 1893. V. 2. № 10. P. 215–249. 0807.3161.
  22. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии // Математика, ее преподавание, приложения и история. 1961. Т. 6 из Математическое просвещение, сер. 2. С. 61–106.
  23. Gevorkyan M.N., Korolkova A.V., Kulyabov D.S. Approaches to the implementation of generalized complex numbers in the Julia language // Workshop on information technology and scientific computing in the framework of the X International Conference Information and Telecommunication Technologies and Mathematical Modeling of High-Tech Systems (ITTMM-2020) / Ed. by D.S. Kulyabov, K.E. Samouylov, L.A. Sevastianov. Vol. 2639 of CEUR Workshop Proceedings. Aachen, 2020. 4. P. 141–157. arXiv: 2007.09737.
  24. Митюшов Е.А., Мисюра Н.Е., Берестова С.А. К 175-летию открытия кватернионов // Вестник Удмуртского университета. Матем. Мех. Компьют. науки. Т. 28. С. 611–617.
  25. Hamilton W.R. On a New Species of Imaginary Quantities, Connected with the Theory of Quaternions // Proceedings of the Royal Irish Academy (1836-1869). 1840. V. 2. P. 424–434.
  26. Конвей Д.Х., Смит Д.А. О кватернионах и октавах / Под ред. В.В. Доценко. М.: МЦНМО, 2009. 184 с.
  27. Кострикин А.И. Линейная алгебра. М. : МЦНМО, 2009. Т. 2. 368 с.
  28. Quaternions in numpy. 2022. Access mode: https://quaternion.readthedocs.io.
  29. Pyquaternion. 2022. Access mode: https://kieranwynn.github.io/pyquaternion/.
  30. Геворкян М.Н., Демидова А.В., Велиева Т.Р., Королькова А.В., Кулябов Д.С. Аналитико-численная реализация алгебры поливекторов на языке Julia // Программирование. 2022. № 1. С. 54–64.
  31. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. М. : Мир, 1988. Т. 2. 573 с.
  32. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. М. : Мир, 1987. Т. 1. 527 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2.

Скачать (16KB)
Метаданные

© Т.Р. Велиева, М.Н. Геворкян, А.В. Демидова, А.В. Королькова, Д.С. Кулябов, 2023

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».