Theoretical study of the deuteron + deuteron radiative capture

Abstract

In the present work, the d + d radiative capture process is studied. This process is of significant interest for astrophysical applications. The theoretical framework of the study is based on the microscopic cluster approach in the oscillator representation. The total and partial cross sections for the reaction in terms of the astrophysical S factor are calculated. A good agreement with experimental data is achieved. The tensor force of the nuclear interaction is shown to play a key role in describing the low-energy dependence of the total cross section (astrophysical S factor).

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ

Реакция радиационного захвата ²H(d, γ)⁴He является одним из важных звеньев цепочки наиболее влиятельных ядерных процессов, которые протекали в ходе первичного нуклеосинтеза [1], чем обусловлена ее ядерно-астрофизическая значимость.Кроме того, детальное понимание механизма соответствующей реакции имеет огромное значение для различных областей фундаментальной ядерной физики, в частности, связанных с изучением проявлений тензорной силы нуклон-нуклонного (NN) взаимодействия. Тем не менее ее полное сечение (астрофизический S-фактор) и вклады парциальных переходов по-прежнему недостаточно хорошо известны при низких энергиях.

Экспериментальные значения полного астрофизического S-фактора реакции ²H(d, γ)⁴He при энергиях ниже 2.5 МэВ можно извлечь, воспользовавшись данными, измеренными в работах [2—6]. Однако соответствующие значения характеризуются значительными погрешностями и имеют разброс [7].

Разнообразные аспекты теоретической стороны исследований реакции ²H(d, γ)⁴He можно найти в работах [8–19]. Указанные работы базировались на различных теоретических подходах, среди которых модель прямого захвата, потенциальная кластерная модель, модель резонирующих групп, вариационный метод Монте-Карло и микроскопическая многоканальная кластерная модель. В частности, последняя использовалась в [18, 19] для проведения первопринципных расчетов полного и парциальных астрофизических S-факторов рассматриваемой реакции. Несмотря на это, нерешенные проблемы все еще остаются.

В настоящей работе реакция радиационного захвата ²H(d, γ)⁴He исследуется в рамках микроскопического кластерного подхода, сформулированного в осцилляторном представлении (МКПОП) [20, 21]. Выполняется расчет полного астрофизического S-фактора при астрофизически важных энергиях, после чего анализируются вклады различных парциальных процессов в его энергетическую зависимость. В общем и целом проведение данного исследования представляется актуальным и выглядит весьма целесообразным.

2. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МКПОП

Физическую основу МКПОП формируют кластерные аспекты ядерной структуры и динамики, когда предполагается, что нуклоны ядерной системы значительную часть времени проводят в подструктурах, именуемых кластерами. Математические основы МКПОП состоят в следующем. Внутренняя структура кластеров фиксируется нижайшими конфигурациями, совместимыми с принципом запрета Паули, трансляционно-инвариантной осцилляторной модели оболочек. Относительное движение кластеров строго трактуется путем разложений по базису осцилляторных функций. Ядерное NN-взаимодействие описывается полуреалистическим эффективным ядерным потенциалом из работы [22], который включает в себя центральные, спин-орбитальные и тензорные силы. Влияние ограничений конфигурационного пространства на результаты расчетов частично устраняется подходящей адаптацией данного потенциала, который достаточно хорошо зарекомендовал себя в теоретических исследованиях ядерной структуры и динамики легкоядерных систем. Универсальность такого подхода к разнообразным задачам ядерной физики была продемонстрирована в ряде недавних работ [20, 21, 23—25], в которых можно также найти его детальную формулировку и подробности проведения расчетов. Поэтому в настоящем исследовании вкратце излагаются только физико-математические основы МКПОП.

Таким образом, в двухкластерном приближении МКПОП полная волновая функция рассматриваемой ядерной системы ищется в виде разложения в ряд

$\Psi =\sum _{J=J_0}^{\infty }\sum _{M=-J}^J\sum _{s=\left|s_1-s_2\right|}^{s_1+s_2}\sum _{l=\left|J-s\right|}^{J+s}\sum _{\nu ={\nu }_0}^{\infty }{C}_{J^{\pi }Mls\nu }{\Psi }_{J^{\pi }Mls\nu }$(1)

по базисным функциям

${\Psi }_{J^{\pi }Mls\nu }=N_{J^{\pi }ls\nu }\mathcal{A}\left\{\sum _{m+\sigma =M}{C}_{lms\sigma }^{JM}{\left[{\varphi }_{s_1}^{\left(1\right)}{\varphi }_{s_2}^{\left(2\right)}\right]}_{s\sigma }{f}_{\nu lm}\left(\right)\right\},$ (2)

где $N_{J^{\pi }ls\nu }$ — нормировочная постоянная; $\mathcal{A}$ — оператор антисимметризации по перестановкам всех пар нуклонов; $C_{lms\sigma }^{JM}$ — коэффициент Клебша–Гордана; ${\mathrm{\varphi }}^{\left(1\right)}$ и ${\mathrm{\varphi }}^{\left(2\right)}$ — волновые функции внутренних состояний кластеров, отвечающие нижайшим разрешенным принципом Паули состояниям трансляционно-инвариантной осцилляторной модели оболочек; $f_{\nu lm}$ — осцилляторная функция; q — вектор, характеризующий относительное расстояние между кластерами, s₁ и s₂ — спины кластеров; s, l и J — канальный спин, орбитальный момент и полный угловой момент соответственно с проекциями σ, m и M; ν — число осцилляторных квантов с минимальным разрешенным значением ν₀; π — четность системы. Неизвестными величинами в таком подходе являются коэффициенты разложения $C_{J^{\pi }Mls\nu }$, которые находятся путем решения системы линейных алгебраических уравнений [20, 23, 24].

3. ДЕТАЛИ РАСЧЕТОВ

При описании реакции радиационного захвата ²H(d, γ)⁴He используется конфигурационное модельное пространство четырехнуклонной ядерной системы, ограниченное кластерной фрагментацией d + d, которая в зависимости от состояний системы характеризуется различными наборами квантовых чисел, задаваемыми в сокращенной записи в виде термов ${}^{2s+1}{l}_J\text{}.$ Во всех осцилляторных функциях значение осцилляторного радиуса r₀ полагается равным 1.22 Фм в соответствии с работами [20, 21, 23, 24].

Для выбранного ядерного потенциала [22] применяется параметризация PHN [20], в которой слегка модифицируются значения майорановского (m_c,3) и бартлетовского (b_c,3) параметров обменных примесей, входящих в третью компоненту центральной части соответствующего NN-потенциала. Вместо значений m_c,3 = 0.3573 и b_c,3 = 0.1427 выбраны следующие значения: m_c,3 = 0.375 и b_c,3 = 0.125.

Основное состояние ядра ⁴He с J^π = 0⁺ в текущем варианте МКПОП имеет кластерное представление {d + d, ¹S₀; d + d, ⁵D₀}, где D-волновая компонента обусловлена тензорной силой ядерного потенциала. Коэффициенты разложения полной волновой функции основного состояния ⁴He по базису (2) находятся путем решения системы линейных однородных алгебраических уравнений для связанных состояний [23, 24].

В силу сохранения изоспина и условий проницаемости барьера предполагается, что E2-переходы являются доминирующими для реакции ²H(d, γ)⁴He при низких энергиях. Данное предположение подтверждается, например, первопринципными расчетами из работы [19]. Из правил отбора для электромагнитных переходов следует, что в основное состояние ⁴He с J^π = 0⁺ возможны E2-захваты только из состояний рассеяния дейтронов с J^π = 2⁺.

В рамках используемого модельного пространства полная волновая функция многоканального рассеяния дейтронов с J^π = 2⁺ имеет кластерное представление {d + d, ⁵S₂; d + d, ¹D₂; d + d, ⁵D₂; d + d, ⁵G₂}, где все каналы связаны тензорной силой. Помимо правила векторного сложения угловых моментов и закона сохранения четности, условие тождественности дейтронов накладывает дополнительное ограничение на возможные термы для состояний рассеяния, которое приводит к тому, что их орбитальный момент и канальный спин должны иметь одинаковую четность. Коэффициенты разложения данной четырехканальной функции по базису (2) определяются путем решения системы линейных неоднородных алгебраических уравнений для состояний рассеяния [23, 24].

При E2-захватах переходы из состояний рассеяния {d + d, ⁵S₂}, {d + d, ⁵D₂} и {d + d, ⁵G₂} происходят в связанное состояние {d + d, ⁵D₀}. В свою очередь, E2-захват из канала {d + d, ¹D₂} идет в канал {d + d, ¹S₀}. Все расчеты E2-переходов выполняются в ведущем порядке длинноволнового приближения [24], которое, как известно, является хорошим приближением для описания реакций радиационного захвата при астрофизических энергиях.

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Полный астрофизический S-фактор реакции ²H(d, γ)⁴He, вычисленный в МКПОП, показан на рис. 1 как функция энергии относительного движения E_ц.м сталкивающихся дейтронов в системе центра масс. Экспериментальные данные, представленные на рис. 1, извлечены из измерений [2—6]. Расчеты выполнены со следующими значениями интенсивности тензорного взаимодействия g_t: 0 (штриховая кривая), 1.21 (штрихпунктирная с одной точкой кривая), 1.39 (сплошная кривая) и 1.5 (штрихпунктирная с двумя точками кривая). Ненулевые значения интенсивности g_t выбраны таким образом, чтобы воспроизвести в пределах погрешностей экспериментальное значение $S=(6.0\pm 2.4)\times {10}^{-6}$ кэВ бн при $E_{\text{ц.м.}}\approx 7$ кэВ из работы [6].

Рис. 1. Полный астрофизический S-фактор реакции радиационного захвата ²H(d, γ)⁴He. Штриховая, штрихпунктирная с одной точкой, сплошная и штрихпунктирная с двумя точками кривые — расчеты в рамках МКПОП со значениями интенсивности тензорной силы 0, 1.21, 1.39 и 1.5 соответственно. Экспериментальные данные: ▲ — [2], ■ — [3], ○ — [4], △ — [5], ● — [6].

Как видно из рис. 1, полный астрофизический S-фактор, вычисленный без учета тензорной силы (g_t = 0, штриховая кривая), проявляет резкий спад с уменьшением энергии и лежит систематически ниже экспериментальных данных. Фактически этот расчет не позволяет даже качественно воспроизвести плоскую низкоэнергетическую зависимость экспериментальных данных, подтверждая тот факт, что тензорная сила чрезвычайно важна для описания реакции ²H(d, γ)⁴He [18, 19]. Полный астрофизический S-фактор, вычисленный с учетом тензорной силы, демонстрирует плоскую энергетическую зависимость вплоть до 0.2 МэВ, а затем монотонное возрастание с увеличением энергии. Расчеты с g_t = 1.39 (сплошная кривая) и g_t = 1.5 (штрихпунктирная с двумя точками кривая) находятся в довольно хорошем согласии с данными. Расчет с g_t = 1.21 (штрихпунктирная с одной точкой кривая) лежит немного ниже, чем большинство экспериментальных точек.

В табл. 1 приведены энергия основного состояния ядра ⁴He (E₀) и энергетический выход реакции ²H(d, γ)⁴He (Q), вычисленные в МКПОП. Экспериментальные данные, указанные в табл. 1, взяты из работы [26]. Следует отметить, что энергия связи d-кластера, полученная с выбранной кластерной волновой функцией и используемой параметризацией потенциала, воспроизводит экспериментально измеренную энергию связи дейтрона E_d = 2.224 МэВ [27].

Таблица 1. Расчетные и экспериментальные значения энергии основного состояния ядра ⁴He и энергетического выхода реакции ²H(d, γ)⁴He

Величина, МэВ	Расчет				Эксперимент
	gt = 0	gt = 1.21	gt = 1.39	gt = 1.5
E0	–25.690	–27.618	–28.296	–28.697	–28.296
Q	21.242	23.170	23.848	24.249	23.848

Из табл. 1 видно, что расчет, выполненный с g_t = 1.39, воспроизводит экспериментальные значения. Другие расчетные результаты, представленные в табл. 1, слегка отклоняются от экспериментальных данных. В связи с этим полный астрофизический S-фактор, вычисленный с g_t = 1.39, можно интерпретировать как рекомендованный в рамках реализованного варианта МКПОП.

На рис. 2 анализируются вклады различных парциальных E2-захватов в энергетическую зависимость рекомендованного полного астрофизического S-фактора реакции ²H(d, γ)⁴He. Вклад перехода из канала ⁵D₂ (штрихпунктирная с одной точкой кривая) является малым при рассмотренных энергиях. Переход из канала ⁵G₂ (штрихпунктирная с двумя точками кривая) пренебрежимо мал. Как и следовало ожидать, эти D- и G-волновые переходы в конечное D-волновое состояние подавлены из-за присутствия центробежного барьера во входных каналах и малости D-волновой компоненты полной волновой функции конечного состояния. При относительно низких энергиях поведение полного астрофизического S-фактора определяется переходом из канала ⁵S₂ (штриховая кривая). При более высоких энергиях проявляется переход из канала ¹D₂ (точечная кривая), чему способствует огромная S-волновая компонента полной волновой функции ⁴He. При энергиях в окрестности 800 кэВ вклады доминирующих переходов из каналов ⁵S₂ и ¹D₂ сопоставимы друг с другом.

Рис. 2. Вклады парциальных E2-переходов в энергетическую зависимость полного астрофизического S-фактора реакции ²H(d, γ)⁴He в МКПОП с g_t = 1.39. Штриховая, штрихпунктирная с одной точкой и штрихпунктирная с двумя точками кривые — переходы из входных каналов ⁵S₂, ⁵D₂ и ⁵G₂ соответственно в конечный канал ⁵D₀. Точечная кривая — переход из входного канала ¹D₂ в конечный канал ¹S₀. Сплошная кривая — полный астрофизический S-фактор.

Если тензорная сила игнорируется, то D-волновая примесь в конечной волновой функции исчезает, и S-волновой захват в конечный D-волновой канал, {d + d, ⁵S₂} → {d + d, ⁵D₀}, ответственный за плоское низкоэнергетическое поведение полного S-фактора, оказывается запрещенным. Более того, в этом случае остается только D-волновой захват в конечный S-волновой канал, {d + d, ¹D₂} → {d + d, ¹S₀}, вклад которого имеет монотонно-возрастающую энергетическую зависимость. Поэтому расчеты без учета тензорной силы, в принципе, способны описать резкую зависимость астрофизического S-фактора при относительно высоких энергиях, но не могут воспроизвести его плавное поведение при более низких энергиях.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе реакция радиационного захвата ²H(d, γ)⁴He исследовалась на основе МКПОП. Реализованный вариант МКПОП позволяет описывать данную реакцию при энергиях, представляющих астрофизический интерес, что создает хорошие перспективы для его дальнейшего развития и применения в исследованиях важных процессов ядерного синтеза в системе d + d.

Проведена серия расчетов наблюдаемых для реакции ²H(d, γ)⁴He в рамках МКПОП. В результате выявлен оптимальный расчет, при котором полный астрофизический S-фактор реакции ²H(d, γ)⁴He достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными при астрофизических энергиях, а также воспроизведены энергия связи дейтрона, энергия основного состояния ядра ⁴He и энергетический выход реакции.

Продемонстрирована значимость тензорной силы ядерного взаимодействия для воспроизведения плоской энергетической зависимости экспериментальных данных по полному астрофизическому S-фактору при низких энергиях. Показано, что соответствующая низкоэнергетическая зависимость полностью обусловлена вкладом E2-перехода {d + d, ⁵S₂} → {d + d, ⁵D₀}, который оказывается запрещенным при отсутствии тензорной силы. По этой причине тензорная сила играет ключевую роль в данном случае. Полученный результат находится в соответствии с выводами работ [18, 19].

Для расширения описательных возможностей и увеличения предсказательной силы МКПОП применительно к рассмотренной четырехнуклонной системе требуется включение конфигураций p + t и n + h в модельное пространство подхода и учет соответствующих кластерных каналов в расчетах. Анализ влияния этих кластерных структур на ядерную спектроскопию ядра ⁴He и радиационный захват в системе d + d является одним из направлений дальнейших исследований.