Том 74, № 3 (2019)

Топографический подход Конвея к бинарным квадратичным формам и тройкам Маркова рассматривается с точки зрения теории двузначных групп. Это естественно приводит к новому классу коммутативных двузначных групп, которые мы называем инволютивными. Мы показываем, что в этом классе особую роль играет двузначная группа нестрогих векторов Конвея. Группа $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{Z})$, описывающая симметрии топографа Конвея, действует автоморфизмами этой двузначной группы. Бинарные квадратичные формы интерпретируются при этом как примитивные элементы 2-алгебры Хопфа функций на группе Конвея. Этот факт используется для построения явного вложения группы Конвея в $\mathbb R$ и, тем самым, для введения на ней полного группового порядка. Мы классифицируем все двузначные алгебраические инволютивные группы с симметричным законом умножения и показываем, что все они получаются косет-конструкцией из закона сложения на эллиптических кривых. В частности, это проясняет особую роль модификации уравнения Маркова, предложенной Морделлом, и показывает ее связь с двузначными группами из $K$-теории. Статья заканчивается обсуждением роли двузначных групп и группы $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{Z})$ в контексте интегрируемости в многозначной динамике. Библиография: 104 названия.

В первой части обзора дано современное изложение структуры кольца специальных унитарных бордизмов, включающее как классические геометрические методы Коннера–Флойда, Уолла и Стонга, так и технику спектральной последовательности Адамса–Новикова и формальных групп, в том числе результаты, полученные после фундаментальной работы С. П. Новикова 1967 г. Во второй части мы используем методы торической топологии для построения и описания геометрических представителей в классах $SU$-бордизма, включая торические и квазиторические многообразия, а также многообразия Калаби–Яу.Библиография: 56 названий.