Stein method and characteristic functions

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We present a survey of various application of the method of the description of approximating distribution by means of differential equations for characteristic functions and, in particular, of applications of this description to estimates for the closeness of distributions. This idea was originally put forward by the author in 1976. Subsequently, this approach, which is called the Stein–Tikhomirov method by some authors (for instance, see papers by Eichelsbacher, Rednoss, Sunklodas, and Formanov), was significantly developed.

About the authors

Aleksandr Nikolaevich Tikhomirov

Institute of Physics and Mathematics, Komi Science Centre of Ural Branch of Russian Academy of Sciences; National Research University Higher School of Economics

Author for correspondence.
Email: tikhomirov@ipm.komisc.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. B. Arras, C. Houdre, On Stein's method for infinitely divisible laws with finite first moment, SpringerBriefs Probab. Math. Stat., Springer, Cham, 2019, xi+104 pp.
  2. B. Arras, G. Mijoule, G. Poly, Y. Swan, A new approach to the Stein–Tikhomirov method: with applications to the second Wiener chaos and Dickman convergence, 2017 (v1 – 2016), 45 pp.
  3. A. D. Barbour, “Poisson convergence and random graphs”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 92:2 (1982), 349–359
  4. A. D. Barbour, “Asymptotic expansions based on smooth functions in the central limit theorem”, Probab. Theory Relat. Fields, 72:2 (1986), 289–303
  5. A. D. Barbour, “Asymptotic expansions in the Poisson limit theorem”, Ann. Probab., 15:2 (1987), 748–766
  6. A. D. Barbour, “Stein's method and Poisson process convergence”, J. Appl. Probab., 25:A (1988), 175–184
  7. A. D. Barbour, “Stein's method for diffusion approximations”, Probab. Theory Related Fields, 84:3 (1990), 297–322
  8. A. D. Barbour, L. H. Y. Chen (eds.), An introduction to Stein's method, Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap., 4, Singapore Univ. Press, Singapore; World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2005, xii+225 pp.
  9. A. D. Barbour, L. H. Y. Chen, Wei-Liem Loh, “Compound Poisson approximation for nonnegative random variables via Stein's method”, Ann. Probab., 20:4 (1992), 1843–1866
  10. A. D. Barbour, L. Holst, S. Janson, Poisson approximation, Oxford Stud. Probab., 2, The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1992, x+277 pp.
  11. В. Бенткус, “Новый подход к аппроксимациям в теории вероятностей и теории операторов”, Liet. Mat. Rink., 43:4 (2003), 444–470
  12. V. Bentkus, F. Götze, A. Tikhomirov, “Berry–Esseen bounds for statistics of weakly dependent samples”, Bernoulli, 3:3 (1997), 329–349
  13. С. Г. Бобков, “Близость вероятностных рапределений в терминах преобразований Фурье–Стилтьеса”, УМН, 71:6(432) (2016), 37–98
  14. S. G. Bobkov, F. Götze, A. N. Tikhomirov, “On concentration of empirical measures and convergence to the semi-circle law”, J. Theoret. Probab., 23:3 (2010), 792–823
  15. E. Bolthausen, “On the central limit theorem for stationary mixing random fields”, Ann. Probab., 10:4 (1982), 1047–1050
  16. G. Bresler, D. Nagaraj, “Stein's method for stationary distributions of Markov chains and application to Ising models”, Ann. Appl. Probab., 29:5 (2019), 3230–3265
  17. A. V. Bulinski, P. Doukhan, “Vitesse de convergence dans le theorème de limite centrale pour les champs melangeants satisfaisant des hypothèses de moments faibles”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 311:12 (1990), 801–805
  18. A. Bulinski, A. Shashkin, Limit theorems for associated random fields and related systems, Adv. Ser. Stat. Sci. Appl. Probab., 10, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2007, xii+436 pp.
  19. A. Bulinski, N. Slepov, “Sharp estimates for proximity of geometric and related sums distributions to limit laws”, Mathematics, 10:24 (2022), 4747, 37 pp.
  20. S. Chatterjee, “A short survey of Stein's method”, Proceedings of the international congress of mathematicians (ICM 2014, Seoul), v. IV, Kyung Moon Sa, Seoul, 2014, 1–24
  21. S. Chatterjee, Qi-Man Shao, “Nonnormal approximation by Stein's method of exchangeable pairs with application to the Curie–Weiss model”, Ann. Appl. Probab., 21:2 (2011), 464–483
  22. L. H. Y. Chen, “Poisson approximation for dependent trials”, Ann. Probab., 3:3 (1975), 534–545
  23. L. H. Y. Chen, “Stein's method: some perspectives with applications”, Probability towards 2000, Lect. Notes Stat., 128, Springer-Verlag, New York, 1998, 97–122
  24. L. H. Y. Chen, “Stein's method of normal approximation: some recollections and reflections”, Ann. Statist., 49:4 (2021), 1850–1863
  25. L. H. Y. Chen, L. Goldstein, Qi-Man Shao, Normal approximation by Stein's method, Probab. Appl. (N. Y.), Springer, Heidelberg, 2011, xii+405 pp.
  26. L. H. Y. Chen, Qi-Man Shao, “A non-uniform Berry–Esseen bound via Stein's method”, Probab. Theory Related Fields, 120:2 (2001), 236–254
  27. L. H. Y. Chen, Qi-Man Shao, “Normal approximation under local dependence”, Ann. Probab., 32:3A (2004), 1985–2028
  28. Peng Chen, I. Nourdin, Lihu Xu, Xiaochuan Yang, “Multivariate stable approximation by Stein's method”, J. Theoret. Probab., 37:1 (2024), 446–488
  29. P. Chigansky, F. C. Klebaner, “Compound Poisson approximation for triangular arrays with applications to threshold estimation”, Electron. Commun. Probab., 17 (2012), 29, 10 pp.
  30. P. Diaconis, “The distribution of leading digits and uniform distribution mod 1”, Ann. Probab., 5:1 (1977), 72–81
  31. P. Diaconis, “Stein's method for Markov chains: first examples”, Stein's method: expository lectures and applications, IMS Lecture Notes Monogr. Ser., 46, Inst. Math. Statist., Beachwood, OH, 2004, 27–43
  32. P. Diaconis, S. Holmes (eds.), Stein's method: expository lectures and applications, IMS Lecture Notes Monogr. Ser., 46, Inst. Math. Statist., Beachwood, OH, 2004, vi+139 pp.
  33. P. Eichelsbacher, M. Löwe, “Stein's method for dependent random variables occuring in statistical mechanics”, Electron. J. Probab., 15 (2010), 30, 962–988
  34. P. Eichelsbacher, B. Martschink, “On rates of convergence in the Curie–Weiss–Potts model with an external field”, Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat., 51:1 (2015), 252–282
  35. P. Eichelsbacher, B. Rednoss, “Kolmogorov bounds for decomposable random variables and subgraph counting by the Stein–Tikhomirov method”, Bernoulli, 29:3 (2023), 1821–1848
  36. P. Eichelsbacher, G. Reinert, “Stein's method for discrete Gibbs measures”, Ann. Appl. Probab., 18:4 (2008), 1588–1618
  37. P. Eichelsbacher, C. Thäle, “Malliavin–Stein method for variance-gamma approximation on Wiener space”, Electron. J. Probab., 20 (2015), 123, 28 pp.
  38. Ш. К. Форманов, “Метод Стейна–Тихомирова и неклассическая центральная предельная теорема”, Докл. РАН, 376:4 (2001), 458–460
  39. Ш. К. Форманов, “О методе Стейна–Тихомирова и его приложениях в неклассических предельных теоремах”, Дискрет. матем., 19:1 (2007), 27–39
  40. R. E. Gaunt, A. M. Pickett, G. Reinert, “Chi-square approximation by Stein's method with application to Pearson's statistic”, Ann. Appl. Probab., 27:2 (2017), 720–756
  41. L. Goldstein, G. Reinert, “Stein's method and the zero bias transformation with application to simple random sampling”, Ann. Appl. Probab., 7:4 (1997), 935–952
  42. L. Goldstein, Y. Rinott, “Multivariate normal approximations by Stein's method and size bias couplings”, J. Appl. Probab., 33:1 (1996), 1–17
  43. F. Götze, “On the rate of convergence in the multivariate CLT”, Ann. Probab., 19:2 (1991), 724–739
  44. F. Götze, H. Kösters, A. N. Tikhomirov, “Asymptotic spectra of matrix-valued functions of independent random matrices and free probability”, Random Matrices Theory Appl., 4:2 (2015), 1550005, 85 pp.
  45. Ф. Гeтце, А. А. Наумов, А. Н. Тихомиров, “Предельные теоремы для двух классов случайных матриц с зависимыми элементами”, Теория вероятн. и ее примен., 59:1 (2014), 61–80
  46. F. Götze, A. N. Tikhomirov, “Asymptotic distribution of quadratic forms”, Ann. Probab., 27:2 (1999), 1072–1098
  47. F. Götze, A. N. Tikhomirov, “Limit theorems for spectra of random matrices with martingale structure”, Stein's method and applications, Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap., 5, Singapore Univ. Press, Singapore; World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2005, 181–193
  48. F. Götze, A. N. Tikhomirov, “Limit theorems for spectra of random matrices with martingale structure”, Теория вероятн. и ее примен., 51:1 (2006), 171–192
  49. X. Guyon, S. Richardson, “Vitesse de convergence du theorème de la limite centrale pour des champs faiblement dependants”, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 66:2 (1984), 297–314
  50. Soo-Thong Ho, L. H. Y. Chen, “An $L_p$ bound for the remainder in a combinatorial central limit theorem”, Ann. Probab., 6:2 (1978), 231–249
  51. И. А. Ибрагимов, Ю. В. Линник, Независимые и стационарно связанные величины, Наука, М., 1965, 524 с.
  52. A. M. Khorunzhy, B. A. Khoruzhenko, L. A. Pastur, “Asymptotic properties of large random matrices with independent entries”, J. Math. Phys., 37:10 (1996), 5033–5060
  53. E. Meckes, “On Stein's method for multivariate normal approximation”, High dimensional probability V: the Luminy volume, Inst. Math. Stat. (IMS) Collect., 5, Inst. Math. Statist., Beachwood, OH, 2009, 153–178
  54. G. Mijoule, M. Raič, G. Reinert, Y. Swan, “Stein's density method for multivariate continuous distributions”, Electron. J. Probab., 28 (2023), 59, 40 pp.
  55. I. Nourdin, G. Peccati, “Stein's method and exact Berry–Esseen asymptotics for functionals of Gaussian fields”, Ann. Probab., 37:6 (2009), 2231–2261
  56. I. Nourdin, G. Peccati, “Stein's method on Wiener chaos”, Probab. Theory Related Fields, 145:1-2 (2009), 75–118
  57. I. Nourdin, G. Peccati, Normal approximations with Malliavin calculus. From Stein's method to universality, Cambridge Tracts in Math., 192, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012, xiv+239 pp.
  58. E. A. Peköz, A. Röllin, N. Ross, “Generalized gamma approximation with rates for urns, walks and trees”, Ann. Probab., 44:3 (2016), 1776–1816
  59. W. Philipp, “The remainder in the central limit theorem for mixing stochastic processes”, Ann. Math. Statist., 40:2 (1969), 601–609
  60. M. Raič, “CLT-related large deviation bounds based on Stein's method”, Adv. in Appl. Probab., 39:3 (2007), 731–752
  61. Y. Rinott, V. Rotar, “On coupling constructions and rates in the CLT for dependent summands with applications to the antivoter model and weighted $U$-statistics”, Ann. Appl. Probab., 7:4 (1997), 1080–1105
  62. Y. Rinot, V. Rotar, “Normal approximations by Stein's method”, Decis. Econ. Finance, 23:1 (2000), 15–29
  63. A. Röllin, “Kolmogorov bounds for the normal approximation of the number of triangles in the Erdös–Renyi random graph”, Probab. Engrg. Inform. Sci., 36:3 (2022), 747–773
  64. M. Roos, “Stein's method for compound Poisson approximation: the local approach”, Ann. Appl. Probab., 4:4 (1994), 1177–1187
  65. N. Ross, “Fundamentals of Stein's method”, Probab. Surv., 8 (2011), 210–293
  66. Qi-Man Shao, Zhuo-Song Zhang, “Berry–Esseen bounds of normal and nonnormal approximation for unbounded exchangeable pairs”, Ann. Probab., 47:1 (2019), 61–108
  67. И. Г. Шевцова, “Об абсолютных константах в неравенстве Берри–Эссеена и его структурных и неравномерных уточнениях”, Информ. и ее примен., 7:1 (2013), 124–125
  68. C. Stein, “A bound for the error in the normal approximation to the distribution of a sum of dependent random variables”, Proceedings of the sixth Berkeley symposium on mathematical statistics and probability (Univ. California, Berkeley, CA, 1970/1971), v. II, Probability theory, Univ. California Press, Berkeley, CA, 1972, 583–602
  69. C. Stein, Approximate computation of expectations, IMS Lecture Notes Monogr. Ser., 7, Inst. Math. Statist., Hayward, CA, 1986, iv+164 pp.
  70. Й. Сунклодас, “Аппроксимация распределений сумм слабо зависимых случайных величин нормальным распределением”, Теория вероятностей – 6. Предельные теоремы теории вероятностей, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 81, ВИНИТИ, М., 1991, 140–199
  71. H. Takahata, “$L_{infty}$-bound for asymptotic normality of weakly dependent summands using Stein's result”, Ann. Probab., 9:4 (1981), 676–683
  72. H. Takahata, “On the rates in the central limit theorem for weakly dependent random fields”, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 64:4 (1983), 445–456
  73. А. Н. Тихомиров, “О скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 1976, № 7(2), 158–159
  74. А. Н. Тихомиров, “О скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин”, Теория вероятн. и ее примен., 25:4 (1980), 800–818
  75. А. Н. Тихомиров, “О нормальной аппроксимации сумм векторных случайных полей с перемешиванием”, Докл. АН СССР, 272:2 (1983), 312–314
  76. А. Н. Тихомиров, “О распределении максимальной суммы слабо зависимых величин”, Теория вероятн. и ее примен., 31:4 (1986), 829–834
  77. В. М. Золотарев, Современная теория суммирования независимых случайных величин, Наука, М., 1986, 416 с.
  78. А. Н. Тихомиров, “О точности нормальной аппроксимации вероятности попадания в шар сумм слабо зависимых гильбертовозначных случайных величин. I”, Теория вероятн. и ее примен., 36:4 (1991), 699–710

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Tikhomirov A.N.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».