Multi-component Toda lattice hierarchy

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We give a detailed account of the $N$-component Toda lattice hierarchy, which can be regarded as a generalization of the well-known Toda chain model and its non-abelian version. This hierarchy is an extension of the one introduced earlier by Ueno and Takasaki. Our version contains $N$ discrete variables rather than one. We start from the Lax formalism, deduce the bilinear relation for wave functions from it, and then, based on the latter, prove the existence of the tau-function. We also show how the multi-component Toda lattice hierarchy is embedded into the universal hierarchy, which is basically the multi-component Kadomtsev–Petviashvili hierarchy. Finally, we show how the bilinear integral equation for the tau-function can be obtained using the free fermion technique. An example of exact solutions (a multi-component analogue of one-soliton solutions) is given.

About the authors

Takashi Takebe

Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications,Beijing, People's Republic of China

Author for correspondence.
Email: takebe@bimsa.cn

Anton Vladimirovich Zabrodin

Skolkovo Institute of Science and Technology,Moscow, Russia; National Research University "Higher School of Economics", Moscow, Russia; National Research Centre "Kurchatov Institute", Moscow, Russia

Email: zabrodin@itep.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. M. Toda, “Vibration of a chain with nonlinear interaction”, J. Phys. Soc. Japan, 22:2 (1967), 431–436
  2. М. Тода, Теория нелинейных решеток, Мир, М., 1984, 264 с.
  3. E. Fermi, J. Pasta, S. Ulam, Studies of nonlinear problems, Los Alamos Report LA–1940, Los Alamos Sci. Lab., Los Alamos, NM, 1955, 22 pp.
  4. J. Ford, “Equipartition of energy for nonlinear systems”, J. Math. Phys., 2:3 (1961), 387–393
  5. M. Toda, “One-dimensional dual transformation”, J. Phys. Soc. Japan, 20:11 (1965), 2095A
  6. M. Toda, “Koushi soliton no hakken [Discovery of lattice soliton]”, Butsuri, 51:3 (1996), 185–188
  7. D. W. McLaughlin, “Four examples of the inverse method as a canonical transformation”, J. Math. Phys., 16:1 (1975), 96–99
  8. H. Flaschka, “The Toda lattice. I. Existence of integrals”, Phys. Rev. B (3), 9:4 (1974), 1924–1925
  9. M. Wadati, M. Toda, “Bäcklund transformation for the exponential lattice”, J. Phys. Soc. Japan, 39:5 (1975), 1196–1203
  10. R. Hirota, J. Satsuma, “A variety of nonlinear network equations generated from the Bäcklund transformation for the Toda lattice”, Progr. Theoret. Phys. Suppl., 59 (1976), 64–100
  11. С. В. Манаков, “О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах”, ЖЭТФ, 67:2 (1974), 543–555
  12. M. Henon, “Integrals of the Toda lattice”, Phys. Rev. B (3), 9:4 (1974), 1921–1923
  13. O. I. Bogoyavlensky, “On perturbations of the periodic Toda lattice”, Comm. Math. Phys., 51:3 (1976), 201–209
  14. Р. Ю. Кириллова, “Явные решения для суперизованных цепочек Тоды”, Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. V, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 123, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1983, 98–111
  15. M. A. Olshanetsky, A. M. Perelomov, “Explicit solutions of classical generalized Toda models”, Invent. Math., 54:3 (1979), 261–269
  16. B. Kostant, “The solution to a generalized Toda lattice and representation theory”, Adv. Math., 34:3 (1979), 195–338
  17. A. M. Perelomov, “Completely integrable classical systems connected with semisimple Lie algebras. III”, Lett. Math. Phys., 1:6 (1977), 531–534
  18. M. A. Olshanetsky, A. M. Perelomov, “Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras”, Phys. Rep., 71:5 (1981), 313–400
  19. А. М. Переломов, Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли, Наука, М., 1990, 240 с.
  20. M. Adler, “On a trace functional for formal pseudo-differential operators and the symplectic structure of the Korteweg–de Vries type equations”, Invent. Math., 50:3 (1978), 219–248
  21. W. W. Symes, “Systems of Toda type, inverse spectral problems, and representation theory”, Invent. Math., 59:1 (1980), 13–51
  22. В. В. Козлов, Д. В. Трещeв, “Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 53:3 (1989), 537–556
  23. В. В. Козлов, Д. В. Трещeв, “Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды”, Матем. заметки, 46:5 (1989), 17–28
  24. E. Date, S. Tanaka, “Analogue of inverse scattering theory for the discrete Hill's equation and exact solutions for the periodic Toda lattice”, Progr. Theoret. Phys., 55:2 (1976), 457–465
  25. D. Mumford, “An algebro-geometric construction of commuting operators and of solutions to the Toda lattice equation, Korteweg de Vries equation and related non-linear equation”, Proceedings of the international symposium on algebraic geometry (Kyoto Univ., Kyoto, 1977), Kinokuniya Book Store Co., Ltd., Tokyo, 1978, 115–153
  26. И. М. Кричевер, “Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения”, УМН, 33:4(202) (1978), 215–216
  27. G. Darboux, Leçons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal, 2ème partie, Gauthiers-Villars, Paris, 1889, 522 pp.
  28. А. Б. Шабат, “К теории преобразований Лапласа–Дарбу”, ТМФ, 103:1 (1995), 170–175
  29. K. Okamoto, “Sur les echelles associees aux fonctions speciales et l'equation de Toda”, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 34:3 (1987), 709–740
  30. А. В. Михайлов, “Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки Тода”, Письма в ЖЭТФ, 30:7 (1979), 443–448
  31. A. N. Leznov, M. V. Saveliev, “Representation of zero curvature for the system of nonlinear partial differential equations $x_{alpha,zbar z}=exp(kx)_{alpha}$ and its integrability”, Lett. Math. Phys., 3:6 (1979), 489–494
  32. A. N. Leznov, M. V. Saveliev, “Theory of group representations and integration of nonlinear systems $x_{alpha,zbar z}=exp(kx)_{alpha}$”, Phys. D, 3:1-2 (1981), 62–72
  33. R. Hirota, Chokusetsu-hou niyoru soliton no suuri [Mathematics of soliton by means of the direct method], Iwanami Shoten, Tokyo, 1992
  34. И. М. Кричевер, “Периодическая неабелева цепочка Тода и ее двумерное обобщение”, Прил. к ст.: “Б. А. Дубровин, Тэта-функции и нелинейные уравнения”, УМН, 36:2(218) (1981), 72–77
  35. M. Sato, “Soliton equations as dynamical systems on an infinite dimensional Grassmann manifold”, Random systems and dynamical systems (Kyoto Univ., Kyoto, 1981), RIMS Kôkyûroku, 439, Kyoto Univ., Res. Inst. Math. Sci., Kyoto, 1981, 30–46
  36. M. Sato, Y. Sato, “Soliton equations as dynamical systems on infinite dimensional Grassmann manifolds”, Nonlinear partial differential equations in applied science (Tokyo, 1982), North-Holland Math. Stud., 81, Lecture Notes Numer. Appl. Anal., 5, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1983, 259–271
  37. E. Date, M. Kashiwara, M. Jimbo, T. Miwa, “Transformation groups for soliton equations”, Nonlinear integrable systems – classical theory and quantum theory (Kyoto, 1981), World Sci. Publ., Singapore, 1983, 39–119
  38. M. Jimbo, T. Miwa, “Solitons and infinite dimensional Lie algebras”, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 19:3 (1983), 943–1001
  39. K. Ueno, K. Takasaki, “Toda lattice hierarchy”, Group representations and systems of differential equations (Tokyo, 1982), Adv. Stud. Pure Math., 4, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1984, 1–95
  40. K. Takasaki, Kasekibunkei no sekai – Toda koushi to sono nakama [The world of integrable systems – Toda lattice and its comrades], Kyouritsu Shuppan, Tokyo, 2001
  41. E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miwa, “Transformation groups for soliton equations. III. Operator approach to the Kadomtsev–Petviashvili equation”, J. Phys. Soc. Japan, 50:11 (1981), 3806–3812
  42. V. G. Kac, J. W. van de Leur, “The $n$-component KP hierarchy and representation theory”, Important developments in soliton theory, Springer Ser. Nonlinear Dynam., Springer-Verlag, Berlin, 1993, 302–343
  43. K. Takasaki, T. Takebe, “Universal Whitham hierarchy, dispersionless Hirota equations and multicomponent KP hierarchy”, Phys. D, 235:1-2 (2007), 109–125
  44. Lee Peng Teo, “The multicomponent KP hierarchy: differential Fay identities and Lax equations”, J. Phys. A, 44:22 (2011), 225201, 20 pp.
  45. В. Е. Корепин, “О квантовании неабелевой цепочки Тода”, Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 2, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 101, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1981, 90–100
  46. G. F. Helminck, A. G. Helminck, A. V. Opimakh, “Equivalent forms of multi component Toda hierarchies”, J. Geom. Phys., 61:4 (2011), 847–873
  47. I. Krichever, A. Zabrodin, “Quasi-periodic solutions of the universal hierarchy”, Ann. Henri Poincare, 2024, 1–22, Publ. online
  48. Т. Мива, М. Джимбо, Э. Датэ, Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечномерные алгебры, МЦНМО, М., 2005, 112 с.
  49. S. Kharchev, A. Marshakov, A. Mironov, A. Orlov, A. Zabrodin, “Matrix models among integrable theories: forced hierarchies and operator formalism”, Nuclear Phys. B, 366:3 (1991), 569–601
  50. T. Takebe, “Representation theoretical meaning of the initial value problem for the Toda lattice hierarchy. I”, Lett. Math. Phys., 21:1 (1991), 77–84
  51. J.-L. Gervais, Y. Matsuo, “W-geometries”, Phys. Lett. B, 274:3-4 (1992), 309–316
  52. T. Takebe, “A note on the modified KP hierarchy and its (yet another) dispersionless limit”, Lett. Math. Phys., 59:2 (2002), 157–172
  53. T. Takebe, “Toda lattice hierarchy and conservation laws”, Comm. Math. Phys., 129:2 (1990), 281–318
  54. L. A. Dickey, “On $tau$-functions of Zakharov–Shabat and other matrix hierarchies of integrable equations”, Algebraic aspects of integrable systems, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 26, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1997, 49–74
  55. А. В. Забродин, “О матричной модифицированной иерархии Кадомцева–Петвиашвили”, ТМФ, 199:3 (2019), 343–356
  56. I. Krichever, A. Zabrodin, “Toda lattice with constraint of type B”, Phys. D, 453 (2023), 133827, 11 pp.
  57. А. В. Забродин, В. В. Прокофьев, “Тау-функция иерархии Тоды типа B”, ТМФ, 217:2 (2023), 299–316
  58. I. Krichever, A. Zabrodin, “Constrained Toda hierarchy and turning points of the Ruijsenaars–Schneider model”, Lett. Math. Phys., 112:2 (2022), 23, 26 pp.
  59. Wenchuang Guan, Shen Wang, Wenjuan Rui, Jipeng Cheng, “Lax structure and tau function for large BKP hierarchy”, Lett. Math. Phys., 115:1 (2025), 1, 40 pp.
  60. J. Harnad, F. Balogh, Tau functions and their applications, Cambridge Monogr. Math. Phys., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2021, xxvi+521 pp.
  61. K. Takasaki, T. Takebe, “Integrable hierarchies and dispersionless limit”, Rev. Math. Phys., 7:5 (1995), 743–808
  62. A. Zabrodin, “Dispersionless version of the multicomponent KP hierarchy revisited”, Phys. D, 467 (2024), 134286, 4 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Takebe T., Zabrodin A.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».