Differential geometry on finitely presented groups and related combinatorial invariants

Capa

Citar

Texto integral

Acesso aberto Acesso aberto
Acesso é fechado Acesso está concedido
Acesso é fechado Somente assinantes

Resumo

Many concepts in differential geometry (for example, Riemannian metric, length, shortest arc, volume), defined originally for manifolds, are easily transferred to simplicial polyhedra. This extends significantly the scope of application of such concepts familiar in the framework of manifolds as systolic volume and volume entropy. Many properties of these invariants depend only on the fundamental group of the polyhedron. Using the process of minimisation, it becomes possible to transfer these invariants directly to finitely presented groups. In studying the systolic area and volume entropy of groups, new combinatorial invariants arise, which are of independent interest. The paper is an introduction to this area at the intersection of geometry, topology, and group theory.Bibliography: 65 titles.

Sobre autores

Ivan Babenko

University of Montpellier, France

Email: ivan.babenko@umontpellier.fr
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Bibliografia

  1. K. Adiprasito, S. Avvakumov, R. Karasev, “A subexponential size triangulation of $mathbb{R}P^n$”, Combinatorica, 42:1 (2022), 1–8
  2. И. К. Бабенко, “Асимптотические инварианты гладких многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 56:4 (1992), 707–751
  3. I. Babenko, F. Balacheff, G. Bulteau, “Systolic geometry and simplicial complexity for groups”, J. Reine Angew. Math., 2019:757 (2019), 247–277
  4. I. Babenko, T. Moulla, “The Karoubi–Weibel complexity for groups”, Enseign. Math., 70:1-2 (2024), 197–230
  5. I. Babenko, S. Sabourau, “Minimal volume entropy and fiber growth”, J. Ec. Polytech. Math., 12 (2025), 481–521
  6. I. Babenko, S. Sabourau, “Volume entropy semi-norm and systolic volume semi-norm”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 26:11 (2024), 4393–4439
  7. F. Balacheff, H. Parlier, S. Sabourau, “Short loop decompositions of surfaces and the geometry of Jacobians”, Geom. Funct. Anal., 22:1 (2012), 37–73
  8. I. Barany, L. Lovasz, “Borsuk's theorem and the number of facets of centrally symmetric polytopes”, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 40:3-4 (1982), 323–329
  9. G. Baumslag, D. Solitar, “Some two-generator one-relator non-Hopfian groups”, Bull. Amer. Math. Soc., 68 (1962), 199–201
  10. C. Bavard, “Inegalite isosystolique pour la bouteille de Klein”, Math. Ann., 274:3 (1986), 439–441
  11. M. Berger, A panoramic view of Riemannian geometry, Reprint of the 2003 ed., Springer-Verlag, Berlin, 2007, xxiv+824 pp.
  12. G. Besson, G. Courtois, S. Gallot, “Volume et entropie minimale des espaces localement symetriques”, Invent. Math., 103:2 (1991), 417–445
  13. B. Bollobas, Extremal graph theory, London Math. Soc. Monogr., 11, Academic Press, Inc., London–New York, 1978, xx+488 pp.
  14. B. Bollobas, E. Szemeredi, “Girth of sparse graphs”, J. Graph Theory, 39:3 (2002), 194–200
  15. E. Borghini, E. G. Minian, “The covering type of closed surfaces and minimal triangulations”, J. Combin. Theory Ser. A, 166 (2019), 1–10
  16. E. Borghini, E. G. Minian, “Simplicial complexity of surface groups”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 150:6 (2020), 3153–3162
  17. C. Bregman, M. Clay, “Minimal volume entropy of free-by-cyclic groups and $2$-dimensional right-angled Artin groups”, Math. Ann., 381:3-4 (2021), 1253–1281
  18. К. С. Браун, Когомологии групп, Наука, М., 1987, 384 с.
  19. M. Bucher, A. Talambutsa, “Exponential growth rates of free and amalgamated products”, Israel J. Math., 212:2 (2016), 521–546
  20. M. Bucher, A. Talambutsa, “Minimal exponential growth rates of metabelian Baumslag–Solitar groups and lamplighter groups”, Groups Geom. Dyn., 11:1 (2017), 189–209
  21. G. Bulteau, Les groupes de petite complexite simpliciale, preprint, 2015, 35 pp.
  22. P. Buser, P. Sarnak, “On the period matrix of a Riemann surface of large genus (with appendix by J. H. Conway and N. J. A. Sloane)”, Invent. Math., 117:1 (1994), 27–56
  23. R. Charney, “An introduction to right-angled Artin groups”, Geom. Dedicata, 125 (2007), 141–158
  24. T. Delzant, “Decomposition d'un groupe en produit libre ou somme amalgamee”, J. Reine Angew. Math., 1996:470 (1996), 153–180
  25. E. Dyer, A. T. Vasquez, “Some small aspherical spaces”, J. Austral. Math. Soc., 16:3 (1973), 332–352
  26. S. Eilenberg, T. Ganea, “On the Lusternik–Schnirelmann category of abstract groups”, Ann. of Math. (2), 65:3 (1957), 517–518
  27. P. Erdös, H. Sachs, “Reguläre Graphen gegebener Taillenweite mit minimaler Knotenzahl”, Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle-Wittenberg Math.-Natur. Reihe, 12 (1963), 251–257
  28. M. Gromov, Structures metriques pour les varietes riemanniennes, Textes Math., 1, CEDIC, Paris, 1981, iv+152 pp.
  29. M. Gromov, “Filling Riemannian manifolds”, J. Differential Geom., 18:1 (1983), 1–147
  30. M. Gromov, “Systoles and intersystolic inequalities”, Actes de la table ronde de geometrie differentielle (Luminy, 1992), Semin. Congr., 1, Soc. Math. France, Paris, 1996, 291–362
  31. P. de la Harpe, Topics in geometric group theory, Chicago Lectures in Math., Univ. of Chicago Press, Chicago, IL, 2000, vi+310 pp.
  32. P. de la Harpe, “Uniform growth in groups of exponential growth”, Geom. Dedicata, 95 (2002), 1–17
  33. А. Хатчер, Алгебраическая топология, МЦНМО, М., 2011, 688 с.
  34. Сы-Цзян Xу, Теория гомотопий, Мир, М., 1964, 468 с.
  35. M. Jungerman, G. Ringel, “Minimal triangulations on orientable surfaces”, Acta Math., 145:1-2 (1980), 121–154
  36. I. Kapovich, T. Nagnibeda, “The Patterson–Sullivan embedding and minimal volume entropy for outer space”, Geom. Funct. Anal., 17:4 (2007), 1201–1236
  37. M. Karoubi, Ch. Weibel, “On the covering type of a space”, Enseign. Math., 62:3-4 (2016), 457–474
  38. A. Katok, “Entropy and closed geodesies”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 2:3-4 (1982), 339–365
  39. K. U. Katz, M. G. Katz, S. Sabourau, S. Shnider, S. Weinberger, “Relative systoles of relative-essential 2-complexes”, Algebr. Geom. Topol., 11:1 (2011), 197–217
  40. M. G. Katz, Systolic geometry and topology, With an appendix by J. P. Salamon, Math. Surveys Monogr., 137, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, xiv+222 pp.
  41. M. G. Katz, Y. B. Rudyak, S. Sabourau, “Systoles of $2$-complexes, Reeb graph, and Grushko decomposition”, Int. Math. Res. Not., 2006:17 (2006), 54936, 30 pp.
  42. А. Г. Курош, Теория групп, 2-е изд., Гостехиздат, М., 1953, 467 с.
  43. J. Leray, “Sur la forme des espaces topologiques et sur les points fixes des representations”, J. Math. Pures Appl. (9), 24 (1945), 95–167
  44. Seonhee Lim, “Minimal volume entropy for graphs”, Trans. Amer. Math. Soc., 360:10 (2008), 5089–5100
  45. R. C. Lyndon, “Cohomology theory of groups with a single defining relation”, Ann. of Math. (2), 52:3 (1950), 650–665
  46. A. Mann, “The growth of free products”, J. Algebra, 326:1 (2011), 208–217
  47. A. Manning, “Topological entropy for geodesic flows”, Ann. of Math. (2), 110:3 (1979), 567–573
  48. С. В. Матвеев, Е. Л. Первова, “Нижние оценки сложности трехмерных многообразий”, Докл. РАН, 378:2 (2001), 151–152
  49. W. F. McGee, “A minimal cubic graph of girth seven”, Canad. Math. Bull., 3:2 (1960), 149–152
  50. C. T. McMullen, “Entropy and the clique polynomial”, J. Topol., 8:1 (2015), 184–212
  51. T. Moulla, Sur l'entropie volumique des groupes de presentation finie, 2022 (v2 – 2023), 13 pp.
  52. E. Pervova, C. Petronio, “Complexity and $T$-invariant of Abelian and Milnor groups, and complexity of 3-manifolds”, Math. Nachr., 281:8 (2008), 1182–1195
  53. P. M. Pu, “Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds”, Pacific J. Math., 2 (1952), 55–71
  54. G. Ringel, “Wie man die geschlossenen nichtorientierbaren Flächen in möglichst wenig Dreiecke zerlegen kann”, Math. Ann., 130 (1955), 317–326
  55. Г. Рингель, Теорема о раскраске карт, Мир, М., 1977, 256 с.
  56. Y. B. Rudyak, S. Sabourau, “Systolic invariants of groups and 2-complexes via Grushko decomposition”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 58:3 (2008), 777–800
  57. A. Sambusetti, “Minimal growth of non-Hopfian free products”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 329:11 (1999), 943–946
  58. J.-P. Serre, “Cohomologie des groupes discrets”, Prospects in mathematics (Princeton Univ., Princeton, NJ, 1970), Ann. of Math. Stud., 70, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1971, 77–169
  59. J. R. Stallings, “On torsion-free groups with infinitely many ends”, Ann. of Math. (2), 88:2 (1968), 312–334
  60. R. G. Swan, “Groups of cohomological dimension one”, J. Algebra, 12:4 (1969), 585–610
  61. А. Л. Таламбуца, “Достижимость показателя экспоненциального роста в свободных произведениях циклических групп”, Матем. заметки, 78:4 (2005), 614–618
  62. А. Л. Таламбуца, “О достижимости минимального показателя экспоненциального роста свободных произведений конечных циклических групп”, Алгоритмические вопросы алгебры и логики, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Сергея Ивановича Адяна, Труды МИАН, 274, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2011, 314–328
  63. W. T. Tutte, “A family of cubical graphs”, Proc. Cambridge Philos. Soc., 43:4 (1947), 459–474
  64. A. Weil, “Sur les theorèmes de de Rham”, Comment. Math. Helv., 26 (1952), 119–145
  65. J. S. Wilson, “On exponential growth and uniformly exponential growth for groups”, Invent. Math., 155:2 (2004), 287–303

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Declaração de direitos autorais © Babenko I.K., 2025

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».