Об устойчивости равновесий в псевдоримановом пространстве

Изучается устойчивость положений равновесия систем, у которых кинетическая энергия представляет собой псевдориманову метрику на конфигурационном пространстве. Положения равновесия совпадают с критическими точками потенциальной энергии. Для линейной системы с двумя степенями свободы построена диаграмма устойчивости и указаны бифуркации собственных значений. Точки максимума и минимума потенциальной энергии в псевдоевклидовом случае будут неустойчивыми равновесиями. Этот же вывод справедлив и для нелинейных аналитических систем с двумя степенями свободы. Указаны условия устойчивости для многомерных линейных систем в псевдоевклидовом пространстве. В частности, равновесие устойчиво тогда и только тогда, когда линейные уравнения движения приводятся к “натуральной” системе с положительно определённой кинетической энергией и при этом новая потенциальная энергия имеет в положении равновесия строгий минимум. Исследовано влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость равновесий в псевдоримановом пространстве. Доказана неустойчивость изолированного равновесия при добавлении диссипативных сил с полной диссипацией энергии. Вычислена степень неустойчивости линейных диссипативных систем. Указаны условия устойчивости линейных систем при добавлении больших гироскопических сил. Библиография: 40 названий.