Multitype branching processes in random environment

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A survey of results in the theory of multitype branching processes evolving in a random environment is presented.Bibliography: 104 titles.

About the authors

Vladimir Alekseevich Vatutin

Novosibirsk State University

Email: vatutin@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Elena Evgen'evna Dyakonova

Novosibirsk State University

Email: elena@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

References

  1. В. И. Афанасьев, “Предельная теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде”, Дискрет. матем., 5:1 (1993), 45–58
  2. V. I. Afanasyev, Ch. Böinghoff, G. Kersting, V. A. Vatutin, “Limit theorems for weakly subcritical branching processes in random environment”, J. Theoret. Probab., 25:3 (2012), 703–732
  3. V. I. Afanasyev, Ch. Böinghoff, G. Kersting, V. A. Vatutin, “Conditional limit theorems for intermediately subcritical branching processes in random environment”, Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat., 50:2 (2014), 602–627
  4. V. I. Afanasyev, J. Geiger, G. Kersting, V. A. Vatutin, “Criticality for branching processes in random environment”, Ann. Probab., 33:2 (2005), 645–673
  5. V. I. Afanasyev, J. Geiger, G. Kersting, V. A. Vatutin, “Functional limit theorems for strongly subcritical branching processes in random environment”, Stochastic Process. Appl., 115:10 (2005), 1658–1676
  6. M. Aizenman, S. Warzel, Random operators. Disorder effects on quantum spectra and dynamics, Grad. Stud. Math., 168, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, xiv+326 pp.
  7. P. W. Anderson, “Absence of diffusion in certain random lattices”, Phys. Rev. (2), 109:5 (1958), 1492–1505
  8. T. Antal, P. L. Krapivsky, “Exact solution of a two-type branching process: clone size distribution in cell division kinetics”, J. Stat. Mech. Theory Exp., 2010, no. 7, P07028, 22 pp.
  9. K. B. Athreya, S. Karlin, “On branching processes with random environments. I. Extinction probabilities”, Ann. Math. Statist., 42:5 (1971), 1499–1520
  10. K. B. Athreya, S. Karlin, “Branching processes with random environments. II. Limit theorems”, Ann. Math. Statist., 42:6 (1971), 1843–1858
  11. K. B. Athreya, P. E. Ney, Branching processes, Grundlehren Math. Wiss., 196, Springer, Berlin, 1972, xi+287 pp.
  12. E. Baake, H.-O. Georgii, “Mutation, selection, and ancestry in branching models: a variational approach”, J. Math. Biol., 54:2 (2007), 257–303
  13. V. Bansaye, V. Vatutin, “On the survival probability for a class of subcritical branching processes in random environment”, Bernoulli, 23:1 (2017), 58–88
  14. J. Bertoin, “The structure of the allelic partition of the total population for Galton–Watson processes with neutral mutations”, Ann. Probab., 37:4 (2009), 1502–1523
  15. L. V. Bogachev, “Random walk in random environments”, Encyclopedia of mathematical physics, v. 4, Elsevier, Oxford, 2006, 353–371
  16. A. Bogdanov, P. Kevei, M. Szalai, D. Virok, Stochastic modeling of in vitro bactericidal potency, 2021, 20 pp.
  17. Ch. Böinghoff, “Limit theorems for strongly and intermediately supercritical branching processes in random environment with linear fractional offspring distributions”, Stochastic Process. Appl., 124:11 (2014), 3553–3577
  18. K. A. Borovkov, V. A. Vatutin, “Reduced critical branching processes in random environment”, Stochastic Process. Appl., 71:2 (1997), 225–240
  19. J.-P. Bouchaud, A. Georges, “Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms, models and physical applications”, Phys. Rep., 195:4-5 (1990), 127–293
  20. P. Bougerol, J. Lacroix, Products of random matrices with applications to Schrödinger operators, Progr. Probab. Statist., 8, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1985, xii+283 pp.
  21. C. D. Brummitt, R. M. D'Souza, E. A. Leicht, “Suppressing cascades of load in interdependent networks”, Proc. Nat. Acad. Sci., 109:12 (2012), E680–E689
  22. D. Buraczewski, E. Damek, Y. Guivarc'h, S. Mentemeier, “On multidimensional Mandelbrot cascades”, J. Difference Equ. Appl., 20:11 (2014), 1523–1567
  23. D. Buraczewski, S. Mentemeier, “Precise large deviation results for products of random matrices”, Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat., 52:3 (2016), 1474–1513
  24. W. R. Catton, Jr., Bottleneck: humanity's impending impasse, Xlibris Corp., 2009, v+290 pp.
  25. H. Cohn, “On the growth of the multitype supercritical branching process in a random environment”, Ann. Probab., 17:3 (1989), 1118–1123
  26. R. Durrett, J. Foo, K. Leder, J. Mayberry, F. Michor, “Evolutionary dynamics of tumor progression with random fitness values”, Theoret. Population Biol., 78:1 (2010), 54–66
  27. R. Durrett, D. R. Schmidt, J. Schweinsberg, “A waiting time problem arising from the study of multi-stage carcinogenesis”, Ann. Appl. Probab., 19:2 (2009), 676–718
  28. E. E. Дьяконова, “Об асимптотике вероятности невырождения многомерного ветвящегося процесса в случайной среде”, Дискрет. матем., 11:1 (1999), 113–128
  29. E. E. Dyakonova, “On multitype branching processes in a random environment”, Proceedings of the seminar on stability problems for stochastic models, Part I (Eger, 2001), J. Math. Sci. (N.Y.), 111:3 (2002), 3537–3541
  30. E. E. Дьяконова, “Критические многотипные ветвящиеся процессы в случайной среде”, Дискрет. матем., 19:4 (2007), 23–41
  31. Е. Е. Дьяконова, “Многотипные ветвящиеся процессы Гальтона–Ватсона в марковской случайной среде”, Теория вероятн. и ее примен., 56:3 (2011), 592–601
  32. Е. Е. Дьяконова, “Многотипные ветвящиеся процессы, эволюционирующие в марковской среде”, Дискрет. матем., 24:3 (2012), 130–151
  33. Е. Е. Дьяконова, “Многотипные докритические ветвящиеся процессы в случайной среде”, Ветвящиеся процессы, случайные блуждания и смежные вопросы, Сборник статей. Посвящается памяти члена-корреспондента РАН Бориса Александровича Севастьянова, Труды МИАН, 282, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2013, 87–97
  34. Е. Е. Дьяконова, “Предельная теорема для многотипного критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в случайной среде”, Дискрет. матем., 27:1 (2015), 44–58
  35. Е. Е. Дьяконова, “Предельная теорема для разложимого ветвящегося процесса в случайной среде”, XVI Всероссийский cимпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи–Дагомыс, 2015), Обозрение прикл. промышл. матем., 22:5 (2015), 582–583
  36. Е. Е. Дьяконова, “Редуцированные многотипные критические ветвящиеся процессы в случайной среде”, Дискрет. матем., 28:4 (2016), 58–79
  37. Е. Е. Дьяконова, “Докритический разложимый ветвящийся процесс в смешанной среде”, Дискрет. матем., 30:2 (2018), 14–26
  38. В. М. Емельянов, С. Л. Тимошенко, М. Н. Стриханов, Введение в релятивистскую ядерную физику, Физматлит, М., 2004, 184 с.
  39. J. Foster, P. Ney, “Decomposable critical multi-type branching processes”, Invited paper for Mahalanobis memorial symposium (Calcutta), Sankhyā Ser. A, 38:1 (1976), 28–37
  40. J. Foster, P. Ney, “Limit laws for decomposable critical branching processes”, Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 46 (1978), 13–43
  41. H. Furstenberg, H. Kesten, “Products of random matrices”, Ann. Math. Statist., 31:2 (1960), 457–469
  42. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, 2-е изд., Наука, М., 1966, 576 с.
  43. J. Gärtner, W. König, “The parabolic Anderson model”, Interacting stochastic systems, Springer, Berlin, 2005, 153–179
  44. J. Geiger, G. Kersting, V. A. Vatutin, “Limit theorems for subcritical branching processes in random environment”, Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat., 39:4 (2003), 593–620
  45. I. Grama, E. Le Page, M. Peigne, “Conditioned limit theorems for products of random matrices”, Probab. Theory Related Fields, 168:3-4 (2017), 601–639
  46. I. Grama, Q. Liu, E. Pin, “A Kesten–Stigum type theorem for a supercritical multi-type branching process in a random environment”, Ann. Appl. Probab. (to appear)
  47. I. Grama, Quansheng Liu, E. Pin, Berry–Esseen's bound and harmonic moments for supercritical multi-type branching processes in random environments, 2020, 50 pp.
  48. I. Grama, Q. Liu, E. Pin, Cramer type moderate deviation expansion for supercritical multi-type branching processes in a random environment, 2020, 39 pp.
  49. И. Грама, Ц. Лиу, Э. Пин, “Сходимость в $L_p$ надкритического многотипного ветвящегося процесса в случайной среде”, Труды МИАН, 316 (2022), в печати
  50. Y. Guivarc'h, Quansheng Liu, “Proprietes asymptotiques des processus de branchement en environnement aleatoire”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 332:4 (2001), 339–344
  51. P. Haccou, P. Jagers, V. A. Vatutin, Branching processes: variation, growth, and extinction of populations, Camb. Stud. Adapt. Dyn., 5, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2005, xii+316 pp.
  52. Т. Харрис, Теория ветвящихся случайных процессов, Мир, М., 1966, 356 с.
  53. H. Hennion, “Limit theorems for products of positive random matrices”, Ann. Probab., 25:4 (1997), 1545–1587
  54. F. den Hollander, S. A. Molchanov, O. Zeitouni, Random media at Saint-Flour, Probab. St.-Flour, Springer, Heidelberg, 2012, vi+564 pp.
  55. Wenming Hong, Minzhi Liu, V. A. Vatutin, “Limit theorems for supercritical MBPRE with linear fractional offspring distributions”, Markov Process. Related Fields, 25:1 (2019), 1–31
  56. P. Jagers, Branching processes with biological applications, Wiley Ser. Probab. Math. Statist. Appl. Probab. Statist., Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], London–New York–Sydney, 1975, xiii+268 pp.
  57. N. Kaplan, “Some results about multidimensional branching processes with random environments”, Ann. Probab., 2:3 (1974), 441–455
  58. G. Kersting, V. Vatutin, Discrete time branching processes in random environment, Math. Stat. Ser., John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ; ISTE, London, 2017, xiv+286 pp.
  59. H. Kesten, “Random difference equations and renewal theory for products of random matrices”, Acta Math., 131 (1973), 207–248
  60. E. S. Key, “Limiting distributions and regeneration times for multitype branching processes with immigration in a random environment”, Ann. Probab., 15:1 (1987), 344–353
  61. M. Kimura, “The number of heterozygous nucleotide sites maintained in a finite population due to steady flux of mutations”, Genetics, 61:4 (1969), 893–903
  62. J. F. C. Kingman, “Subadditive ergodic theory”, Ann. Probab., 1:6 (1973), 883–909
  63. W. König, Branching random walks in random environment: a survey, 2020, 16 pp.
  64. E. Le Page, “Theorèmes limites pour les produits de matrices aleatoires”, Probability measures on groups (Oberwolfach, 1981), Lecture Notes in Math., 928, Springer, Berlin–New York, 1982, 258–303
  65. E. Le Page, M. Peigne, C. Pham, “The survival probability of a critical multi-type branching process in i.i.d. random environment”, Ann. Probab., 46:5 (2018), 2946–2972
  66. E. Le Page, M. Peigne, C. Pham, “Central limit theorem for a critical multitype branching process in random environments”, Tunis. J. Math., 3:4 (2021), 801–842
  67. G. K. Mitov, S. T. Rachev, Young Shin Kim, F. J. Fabozzi, “Barrier option pricing by branching processes”, Int. J. Theor. Appl. Finance, 12:7 (2009), 1055–1073
  68. M. Nirmal, B. O. Dabbousi, M. G. Bawendi, J. J. Macklin, J. K. Trautman, T. D. Harris, L. E. Brus, “Fluorescence intermittency in single cadmium selenide nanocrystals”, Nature, 383 (1996), 802–804
  69. I. Pazsit, L. Pal, Neutron fluctuations. A treatise on the physics of branching processes, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2008, xviii+340 pp.
  70. Thi Da Cam Pham, “Conditioned limit theorems for products of positive random matrices”, ALEA Lat. Am. J. Probab. Math. Stat., 15:1 (2018), 67–100
  71. И. С. Осадько, “Мерцающая флуоресценция одиночных полупроводниковых нанокристаллов: основные экспериментальные факты и теоретические модели мерцания”, УФН, 186:5 (2016), 489–502
  72. J. A. C. Resing, “Polling systems and multitype branching processes”, Queueing Systems Theory Appl., 13:4 (1993), 409–426
  73. P. Revesz, Random walk in random and non-random environments, 2nd ed., World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2005, xvi+380 pp.
  74. A. Roitershtein, “A note on multitype branching processes with immigration in a random environment”, Ann. Probab., 35:4 (2007), 1573–1592
  75. S. Sagitov, “Linear-fractional branching processes with countably many types”, Stochastic Process. Appl., 123:8 (2013), 2940–2956
  76. Б. А. Севастьянов, Ветвящиеся процессы, Наука, М., 1971, 436 с.
  77. N. Sidorova, A. Twarowski, “Localisation and ageing in the parabolic Anderson model with Weibull potential”, Ann. Probab., 42:4 (2014), 1666–1698
  78. W. L. Smith, W. E. Wilkinson, “On branching processes in random environments”, Ann. Math. Statist., 40:3 (1969), 814–827
  79. F. Tajima, “Infinite-allele model and infinite-site model in population genetics”, J. Genet., 75:1 (1996), 27–31
  80. D. Tanny, “On multitype branching processes in a random environment”, Adv. in Appl. Probab., 13:3 (1981), 464–497
  81. В. А. Ватутин, “Системы поллинга и многотипные ветвящиеся процессы в случайной среде с финальным продуктом”, Теория вероятн. и ее примен., 55:4 (2010), 644–679
  82. В. А. Ватутин, “Многотипные ветвящиеся процессы с иммиграцией, эволюционирующие в случайной среде, и системы поллинга”, Матем. тр., 14:1 (2011), 3–49
  83. V. Vatutin, “Subcritical branching processes in random environment”, Branching processes and their applications (Badajoz, 2015), Lect. Notes Stat., 219, Springer, Cham, 2016, 97–115
  84. В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Критические ветвящиеся процессы в случайной среде: вероятности вырождения в фиксированный момент”, Дискрет. матем., 9:4 (1997), 100–126
  85. В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Ветвящиеся процессы Гальтона–Ватсона в случайной среде. I. Предельные теоремы”, Теория вероятн. и ее примен., 48:2 (2003), 274–300
  86. В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Ветвящиеся процессы Гальтона–Ватсона в случайной среде. II. Конечномерные распределения”, Теория вероятн. и ее примен., 49:2 (2004), 231–268
  87. В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Асимптотические свойства многотипных критических ветвящихся процессов, эволюционирующих в случайной среде”, Дискрет. матем., 22:2 (2010), 22–40
  88. В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Многотипные ветвящиеся процессы в случайной среде: вероятность невырождения в критическом случае”, Теория вероятн. и ее примен., 62:4 (2017), 634–653
  89. В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Многотипные слабо докритические ветвящиеся процессы в случайной среде”, Дискрет. матем., 31:3 (2019), 26–46
  90. В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Свойства многотипных докритических ветвящихся процессов в случайной среде”, Дискрет. матем., 32:3 (2020), 3–23
  91. В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Вероятность невырождения для одного класса многотипных докритических ветвящихся процессов в случайной среде”, Матем. заметки, 107:2 (2020), 163–177
  92. V. A. Vatutin, E. E. Dyakonova, “Branching processes in random environment with sibling dependence”, J. Math. Sci. (N.Y.), 246:4 (2020), 569–579
  93. V. Vatutin, E. Dyakonova, P. Jagers, S. Sagitov, “A decomposable branching process in a Markovian environment”, Int. J. Stoch. Anal., 2012 (2012), 694285, 24 pp.
  94. В. А. Ватутин, E. E. Дьяконова, С. Сагитов, “Эволюция ветвящихся процессов в случайной среде”, Ветвящиеся процессы, случайные блуждания и смежные вопросы, Сборник статей. Посвящается памяти члена-корреспондента РАН Бориса Александровича Севастьянова, Труды МИАН, 282, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2013, 231–256
  95. В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, В. А. Топчий, “Критические процессы Гальтона–Ватсона со счетным множеством типов частиц и бесконечными вторыми моментами”, Матем. сб., 212:1 (2021), 3–27
  96. V. Vatutin, Quansheng Liu, “Limit theorems for decomposable branching processes in a random environment”, J. Appl. Probab., 52:3 (2015), 877–893
  97. В. А. Ватутин, Т. М. Телевинова, В. П. Чистяков, Вероятностные методы в физических исследованиях, Наука, М., 1985, 206 с.
  98. В. А. Ватутин, В. И. Вахтель, “Внезапное вырождение критического ветвящегося процесса в случайной среде”, Теория вероятн. и ее примен., 54:3 (2009), 417–438
  99. V. Vatutin, V. Wachtel, “Multi-type subcritical branching processes in a random environment”, Adv. in Appl. Probab., 50:A (2018), 281–289
  100. V. A. Vatutin, A. M. Zubkov, “Branching processes. II”, J. Soviet Math., 67:6 (1993), 3407–3485
  101. Hui Xiao, I. Grama, Quansheng Liu, Berry–Esseen bounds and moderate deviations for the norm, entries and spectral radius of products of positive random matrices, 2020, 30 pp.
  102. O. Zeitouni, “Random walks in random environment”, Encyclopedia of complexity and systems science, Springer, New York, NY, 2009, 7520–7533
  103. Я. Б. Зельдович, С. А. Молчанов, А. А. Рузмайкин, Д. Д. Соколов, “Перемежаемость в случайной среде”, УФН, 152:1 (1987), 3–32
  104. Ya. B. Zel'dovich, S. A. Molchanov, A. A. Ruzmaikin, D. D. Sokoloff, Intermittency, diffusion, and generation in a nonstationary random medium, Rev. Math. Math. Phys., 15, Part 1, 2nd ed., Cambridge Sci. Publ., Cambridge, 2014, 110 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Ватутин В.A., Дьяконова Е.E.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».