Формула следа для магнитного лапласиана

Обложка
  • Авторы: Кордюков Ю.А.1,2, Тайманов И.А.3,2
  • Учреждения:
    1. Институт математики с вычислительным центром — обособленное структурное подразделение Федерального государственного бюджетного научного учреждения Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук
    2. Новосибирский государственный университет
    3. Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук
  • Выпуск: Том 74, № 2 (2019)
  • Страницы: 149-186
  • Раздел: Статьи
  • URL: https://bakhtiniada.ru/0042-1316/article/view/133558
  • DOI: https://doi.org/10.4213/rm9870
  • ID: 133558

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Формула следа Гийемина–Урибе представляет собой квазиклассическую версию формулы следа Сельберга и более общей формулы Дюйстермаата–Гийемина для эллиптических операторов на компактных многообразиях, отражающую динамику магнитных геодезических потоков в терминах собственных значений естественного дифференциального оператора (магнитного лапласиана), ассоциированного с магнитным полем. В настоящей работе мы даем обзор основных понятий и результатов, связанных с формулой следа Гийемина–Урибе, и приводим конкретные примеры ее вычисления для двумерных поверхностей постоянной кривизны с постоянными магнитными полями и для примера Катка. Библиография: 53 названия.

Об авторах

Юрий Аркадьевич Кордюков

Институт математики с вычислительным центром — обособленное структурное подразделение Федерального государственного бюджетного научного учреждения Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук; Новосибирский государственный университет

Email: yurikor@matem.anrb.ru
доктор физико-математических наук, доцент

Искандер Асанович Тайманов

Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук; Новосибирский государственный университет

Email: taimanov@math.nsc.ru
доктор физико-математических наук, профессор

Список литературы

  1. A. Abbondandolo, L. Asselle, G. Benedetti, M. Mazzucchelli, I. A. Taimanov, “The multiplicity problem for periodic orbits of magnetic flows on the 2-sphere”, Adv. Nonlinear Stud., 17:1 (2017), 17–30
  2. A. Abbondandolo, L. Macarini, M. Mazzucchelli, G. P. Paternain, “Infinitely many periodic orbits of exact magnetic flows on surfaces for almost every subcritical energy level”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 19:2 (2017), 551–579
  3. J. Bolte, F. Steiner, “Flux quantization and quantum mechanics on Riemann surfaces in an external magnetic field”, J. Phys. A, 24:16 (1991), 3817–3823
  4. R. Bott, “On the iteration of closed geodesics and the Sturm intersection theory”, Comm. Pure Appl. Math., 9:2 (1956), 171–206
  5. R. Brummelhuis, A. Uribe, “A semi-classical trace formula for Schrödinger operators”, Comm. Math. Phys., 136:3 (1991), 567–584
  6. Й. Брюнинг, Р. В. Некрасов, А. И. Шафаревич, “Квантование периодических движений на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны в магнитном поле”, Матем. заметки, 81:1 (2007), 32–42
  7. K. Cieliebak, U. Frauenfelder, G. P. Paternain, “Symplectic topology of Mañe's critical values”, Geom. Topol., 14:3 (2010), 1765–1870
  8. Y. Colin de Verdière, “Spectre conjoint d'operateurs pseudo-differentiels qui commutent. I. Le cas non integrable”, Duke Math. J., 46:1 (1979), 169–182
  9. Y. Colin de Verdière, “Semiclassical trace formulas and heat expansions”, Anal. PDE, 5:3 (2012), 693–703
  10. M. Combescure, J. Ralston, D. Robert, “A proof of the Gutzwiller semiclassical trace formula using coherent states decomposition”, Comm. Math. Phys., 202:2 (1999), 463–480
  11. A. Comtet, B. Georgeot, S. Ouvry, “Trace formula for Riemann surfaces with magnetic field”, Phys. Rev. Lett., 71:23 (1993), 3786–3789
  12. A. Comtet, P. J. Houston, “Effective action on the hyperbolic plane in a constant external field”, J. Math. Phys., 26:1 (1985), 185–191
  13. G. Contreras, R. Iturriaga, G. P. Paternain, M. Paternain, “Lagrangian graphs, minimizing measures and Mañe's critical values”, Geom. Funct. Anal., 8:5 (1998), 788–809
  14. G. Contreras, L. Macarini, G. P. Paternain, “Periodic orbits for exact magnetic flows on surfaces”, Int. Math. Res. Not., 2004:8 (2004), 361–387
  15. C. Ю. Доброхотов, А. И. Шафаревич, “Квазиклассическое квантование инвариантных изотропных многообразий гамильтоновых систем”, Топологические методы в теории гамильтоновых систем, Факториал, М., 1998, 41–114
  16. J. J. Duistermaat, V. W. Guillemin, “The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics”, Invent. Math., 29:1 (1975), 39–79
  17. J. Elstrodt, “Die Resolvente zum Eigenwertproblem der automorphen Formen in der hyperbolischen Ebene. I”, Math. Ann., 203:4 (1973), 295–330
  18. E. V. Ferapontov, A. P. Veselov, “Integrable Schrödinger operators with magnetic fields: factorization method on curved surfaces”, J. Math. Phys., 42:2 (2001), 590–607
  19. V. L. Ginzburg, “On the existence and non-existence of closed trajectories for some Hamiltonian flows”, Math. Z., 223:3 (1996), 397–409
  20. V. Guillemin, “Wave-trace invariants”, Duke Math. J., 83:2 (1996), 287–352
  21. V. Guillemin, T. Paul, “Some remarks about semiclassical trace invariants and quantum normal forms”, Comm. Math. Phys., 294:1 (2010), 1–19
  22. V. Guillemin, A. Uribe, “Clustering theorems with twisted spectra”, Math. Ann., 273:3 (1986), 479–506
  23. V. Guillemin, A. Uribe, “Circular symmetry and the trace formula”, Invent. Math., 96:2 (1989), 385–423
  24. V. Guillemin, A. Uribe, “Reduction and the trace formula”, J. Differential Geom., 32:2 (1990), 315–347
  25. M. C. Gutzwiller, “Periodic orbits and classical quantization conditions”, J. Math. Phys., 12:3 (1971), 343–358
  26. D. A. Hejhal, The Selberg trace formula for $mathrm{PSL}(2,mathbb R)$, v. I, Lecture Notes in Math., 548, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1976, vi+516 pp.
  27. B. Helffer, R. Purice, “Magnetic calculus and semiclassical trace formulas”, J. Phys. A, 43:47 (2010), 474028, 21 pp.
  28. P. Herbrich, Magnetic Schrödinger operators and Mañe's critical value, 2014, 46 pp.
  29. А. Б. Каток, “Эргодические возмущения вырожденных интегрируемых гамильтоновых систем”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 37:3 (1973), 539–576
  30. R. Kuwabara, “On spectra of the Laplacian on vector bundles”, J. Math. Tokushima Univ., 16 (1982), 1–23
  31. J. Marklof, “Selberg's trace formula: an introduction”, Hyperbolic geometry and applications in quantum chaos and cosmology, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 397, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012, 83–119
  32. E. Meinrenken, “Semiclassical principal symbols and Gutzwiller's trace formula”, Rep. Math. Phys., 31:3 (1992), 279–295
  33. E. Meinrenken, “Trace formulas and the Conley–Zehnder index”, J. Geom. Phys., 13:1 (1994), 1–15
  34. С. П. Новиков, “Магнитно-блоховские функции и векторные расслоения. Типичные законы дисперсии и их квантовые числа”, Докл. АН СССР, 257:3 (1981), 538–543
  35. С. П. Новиков, “Двумерные операторы Шрeдингера в периодических полях”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем., 23, ВИНИТИ, М., 1983, 3–32
  36. С. П. Новиков, “Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса”, УМН, 37:5(227) (1982), 3–49
  37. С. П. Новиков, И. Шмельцер, “Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника–Шнирельмана–Морса (ЛШМ). I”, Функц. анализ и его прил., 15:3 (1981), 54–66
  38. С. П. Новиков, И. А. Тайманов, “Периодические экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов”, Докл. АН СССР, 274:1 (1984), 26–28
  39. T. Paul, A. Uribe, “The semi-classical trace formula and propagation of wave packets”, J. Funct. Anal., 132:1 (1995), 192–249
  40. H.-B. Rademacher, “A sphere theorem for non-reversible Finsler metrics”, Math. Ann., 328:3 (2004), 373–387
  41. A. Selberg, “Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series”, J. Indian Math. Soc. (N. S.), 20 (1956), 47–87
  42. Z. Shen, “Two-dimensional Finsler metrics with constant flag curvature”, Manuscripta Math., 109:3 (2002), 349–366
  43. J. Sjöstrand, M. Zworski, “Quantum monodromy and semi-classical trace formulae”, J. Math. Pures Appl. (9), 81:1 (2002), 1–33
  44. И. А. Тайманов, “Принцип перекидывания циклов в теории Морса–Новикова”, Докл. АН СССР, 268:1 (1983), 46–50
  45. И. А. Тайманов, “Несамопересекающиеся замкнутые экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:2 (1991), 367–383
  46. И. А. Тайманов, “Замкнутые экстремали на двумерных многообразиях”, УМН, 47:2(284) (1992), 143–185
  47. И. А. Тайманов, “Замкнутые несамопересекающиеся экстремали многозначных функционалов”, Сиб. матем. журн., 33:4 (1992), 155–162
  48. A. Uribe, “Trace formulae”, First summer school in analysis and mathematical physics (Cuernavaca Morelos, 1998), Contemp. Math., 260, Aportaciones Mat., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000, 61–90
  49. А. Б. Венков, “Спектральная теория автоморфных функций”, Тр. МИАН СССР, 153 (1981), 3–171
  50. T. T. Wu, C. N. Yang, “Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields”, Phys. Rev. D (3), 12:12 (1975), 3845–3857
  51. T. T. Wu, C. N. Yang, “Dirac monopole without strings: monopole harmonics”, Nuclear Phys. B, 107:3 (1976), 365–380
  52. S. Zelditch, “Wave invariants at elliptic closed geodesics”, Geom. Funct. Anal., 7:1 (1997), 145–213
  53. S. Zelditch, “Wave invariants for non-degenerate closed geodesics”, Geom. Funct. Anal., 8:1 (1998), 179–217

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Кордюков Ю.А., Тайманов И.А., 2019

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).