Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений
- Авторы: Козлов В.В.1
-
Учреждения:
- Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
- Выпуск: Том 74, № 1 (2019)
- Страницы: 117-148
- Раздел: Статьи
- URL: https://bakhtiniada.ru/0042-1316/article/view/133550
- DOI: https://doi.org/10.4213/rm9866
- ID: 133550
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
Обсуждается связь тензорных инвариантов систем дифференциальных уравнений с проблемой их точного интегрирования. Доказана общая теорема об интегрируемости динамических систем, допускающих полный набор интегральных инвариантов по Картану. Наличие инвариантной $1$-формы связано с возможностью представления динамической системы в гамильтоновой форме (возможно, с вырожденной симплектической структурой). Эта общая идея продемонстрирована на примере линейных систем дифференциальных уравнений. Введено общее понятие флагов тензорных инвариантов. Установлены общие соотношения между показателями Ковалевской квазиоднородных систем дифференциальных уравнений и флагами квазиоднородных тензорных инвариантов известной структуры. Результаты общего характера применены, в частности, для доказательства ветвления общего решения уравнений вращения твердого тела в случае Горячева–Чаплыгина. Библиография: 50 названий.
Об авторах
Валерий Васильевич Козлов
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Email: kozlov@pran.ru
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
- С. П. Новиков, И. А. Тайманов, Современные геометрические структуры и поля, МЦНМО, М., 2005, 584 с.
- А. Пуанкаре, Теория вероятностей, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ижевск, 1999, 276 с.
- И. Тамура, Топология слоений, Мир, М., 1979, 319 с.
- А. Н. Колмогоров, “О динамических системах с интегральным инвариантом на торе”, Докл. АН СССР, 93:5 (1953), 763–766
- П. Олвер, Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Мир, М., 1989, 639 с.
- В. В. Козлов, “Замечания об одной теореме Ли, касающейся точной интегрируемости дифференциальных уравнений”, Дифференц. уравнения, 41:4 (2005), 553–555
- J. F. Cariñena, F. Falceto, J. Grabowski, M. F. Rañada, Geometry of Lie integrability by quadratures, 2014, 18 pp.
- V. V. Kozlov, “The Euler–Jacobi–Lie integrability theorem”, Regul. Chaotic Dyn., 18:4 (2013), 329–343
- В. И. Арнольд, “Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем динамики”, Сиб. матем. журн., 4:2 (1963), 471–474
- R. Jost, “Winkel- und Wirkungsvariable für allegemeine mechanische Systeme”, Helv. Phys. Acta, 41 (1968), 965–968
- В. В. Козлов, Н. Н. Колесников, “Об интегрируемости гамильтоновых систем”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1979, № 6, 88–91
- В. В. Козлов, “Линейные системы с квадратичным интегралом”, ПММ, 56:6 (1992), 900–906
- J. Williamson, “An algebraic problem involving the involutory integrals of linear dynamical systems”, Amer. J. Math., 62 (1940), 881–911
- H. Kocak, “Linear Hamiltonian systems are integrable with quadratics”, J. Math. Phys., 23:12 (1982), 2375–2380
- В. Вольтерра, “Об одном классе уравнений динамики”, Система Клебша. Разделение переменных, явное интегрирование?, ред. А. В. Борисов, А. В. Цыганов, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2009, 166–192
- И. А. Бизяев, В. В. Козлов, “Однородные системы с квадратичными интегралами, квазискобки Ли–Пуассона и метод Ковалевской”, Матем. сб., 206:12 (2015), 29–54
- В. В. Козлов, “Интегральные инварианты после Пуанкаре и Картана”, Добавление в кн.: Э. Картан, Интегральные инварианты, 2-е изд., Едиториал УРСС, М., 2005, 217–258
- F. Magri, “A simple model of the integrable Hamiltonian equation”, J. Math. Phys., 19:5 (1978), 1156–1162
- А. В. Болсинов, “Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейств функций в инволюции”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:1 (1991), 68–92
- А. В. Борисов, И. С. Мамаев, Современные методы теории интегрируемых систем, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2003, 294 с.
- Дж. Д. Биркгоф, Динамические системы, Гостехиздат, М.–Л., 1941, 320 с.
- R. M. Santilli, Foundations of theoretical mechanics, v. II, Texts Monogr. Phys., Birkhoffian generalization of Hamiltonian mechanics, Springer-Verlag, New York–Berlin, 1983, xix+370 pp.
- В. В. Козлов, Общая теория вихрей, 2-е испр. и доп. изд., Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2013, 324 с.
- Э. Картан, Интегральные инварианты, Гостехиздат, М.–Л., 1940, 216 с.
- В. В. Козлов, “Мультигамильтоновость линейной системы с квадратичным инвариантом”, Алгебра и анализ, 30:5 (2018), 159–168
- V. V. Kozlov, “Linear Hamiltonian systems: quadratic integrals, singular subspaces and stability”, Regul. Chaotic Dyn., 23:1 (2018), 26–46
- Д. В. Трещев, А. А. Шкаликов, “О гамильтоновости линейных динамических систем в гильбертовом пространстве”, Матем. заметки, 101:6 (2017), 911–918
- Ш.-Ж. де ла Валле-Пуссен, Курс анализа бесконечно малых, т. 2, ГТТИ, Л.–М., 1933, 469 с.
- V. Volterra, “Sur la theorie des variations des latitudes”, Acta Math., 22 (1899), 201–357
- В. И. Арнольд, “Полиинтегрируемые потоки”, Алгебра и анализ, 4:6 (1992), 54–62
- В. В. Козлов, “Динамические системы на торе с многозначными интегралами”, Динамические системы и оптимизация, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Тр. МИАН, 256, Наука, М., 2007, 201–218
- С. П. Новиков, “Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса”, УМН, 37:5(227) (1982), 3–49
- И. А. Дынников, С. П. Новиков, “Топология квазипериодических функций на плоскости”, УМН, 60:1(361) (2005), 3–28
- V. V. Kozlov, “Symmetries and regular behavior of Hamiltonian systems”, Chaos, 6:1 (1996), 1–5
- С. А. Чаплыгин, “Новое частное решение задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки”, Тр. отд. физ. наук о-ва любителей естествознания, 12:1 (1904), 1–4
- А. В. Борисов, И. С. Мамаев, Динамика твердого тела, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2001, 384 с.
- С. А. Чаплыгин, “Новое частное решение задачи о движении твердого тела в жидкости”, Тр. отд. физ. наук о-ва любителей естествознания, 11:2 (1903), 7–10
- К. Якоби, Лекции по динамике, ОНТИ, М.–Л., 1936, 272 с.
- S. Kowalewski, “Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe”, Acta Math., 12:2 (1889), 177–232
- А. М. Ляпунов, “Об одном свойстве дифференциальных уравнений задачи о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку”, Сообщ. Харьк. матем. о-ва. Сер. 2, 4 (1894), 123–140
- Р. Конт, М. Мюзетт, Метод Пенлеве и его приложения, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2011, 340 с.
- H. Yoshida, “Necessary condition for the existence of algebraic first integrals. I. Kowalevski's exponents”, Celestial Mech., 31:4 (1983), 363–379
- В. В. Козлов, Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Изд-во Удмуртского ун-та, Ижевск, 1995, 429 с.
- В. В. Козлов, “Тензорные инварианты квазиоднородных систем дифференциальных уравнений и асимптотический метод Ковалевской–Ляпунова”, Матем. заметки, 51:2 (1992), 46–52
- S. D. Furta, “On non-integrability of general systems of differential equations”, Z. Angew. Math. Phys., 47:1 (1996), 112–131
- А. В. Борисов, А. В. Цыгвинцев, “Показатели Ковалевской и интегрируемые сиистемы классической динамики. I, II”, Regul. Chaotic Dyn., 1:1 (1996), 15–37
- В. В. Козлов, С. Д. Фурта, Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений, 2-е изд., НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2009, 312 с.
- P. Lochak, “Pairing of the Kowalevska exponents in Hamiltonian systems”, Phys. Lett. A, 108:4 (1985), 188–190
- С. Т. Садэтов, “Резонансы на показатели Ковалевской и их память о некоторых тензорных законах сохранения”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1994, № 1, 82–87
- A. J. Maciejewski, M. Przybylska, “Global properties of Kovalevskaya exponents”, Regular Chaotic Dyn., 22:7 (2017), 840–850
Дополнительные файлы
