Bifocal system of two reflect arrays

Full Text

Введение

В последнее время возрос интерес к исследованиям систем двух плоских отражательных антенных решеток [1–6], в том числе в качестве квазиоптических диаграммообразующих систем (ДОС) для многолучевых антенн. В частности, в работах [4–6] для формирования в плоскости симметрии антенны многолучевой диаграммы использована бифокальная офсетная система двух плоских отражательных решеток. Оптимизация фазовых распределений в отражательных решетках с целью минимизации аберраций при отклонении луча за счет смещения облучателя из фокуса системы проведена в этих работах с использованием численной процедуры. В результате в работе [5] реализовано усиление антенны 48 дБ в угловом секторе 8.6°.

Целью данной работы является разработка методики точного синтеза бифокальной системы двух плоских отражательных решеток, оптимизация параметров с целью минимизации среднеквадратичной аберрации эйконала на выходе системы при смещении облучателя из фокуса ортогонально плоскости симметрии системы и исследование характеристик антенн на основе синтезированных и оптимизированных бифокальных систем.

1. Синтез двухмерной бифокальной системы двух отражательных решеток

Рассмотрим сначала двумерную задачу синтеза бифокальной системы двух отражательных решеток, с одной стороны которой расположены два симметричных относительно оси y (рис. 1) фокуса (точки идеальной фокусировки F₁ и F₂).

Пусть распределения эйконала, внесенного вспомогательной 1 и основной 2 решетками (далее — решетка 1 и решетка 2) в результате двукратного прохождения сигналов через линии задержки каждой из решеток, описываются неизвестными функциями f₁(x) и f₂(x) соответственно. Зададим начальный участок распределения эйконала, внесенного решеткой 1, f₁₀(x) = ax² (–x₀ ≤ x ≤ x₀), а решеткой 2 — f₂₀(x). Задача синтеза состоит в определении функций f₁₀(x) и f₂₀(x).

Потребуем, чтобы лучи источника, расположенного в точке фокуса F₀ с координатами (0, d — f₀), после двух отражений от начальных участков решеток сформировали линейный фронт y = h, где h — произвольная постоянная, d — глубина системы, f₀ — расстояние от фокуса F₀ до решетки 1. При этом центральный луч, падающий вдоль оси y на решетку 1 в точке H c координатами (0, d), отражается от нее, падает на решетку 2 в точке O, снова отражается и идет вдоль оси y. Эйконал этого луча от источника до фронта имеет вид

$L_0=2d-f_0+f_{10}\left(0\right)+f_{20}\left(0\right)+h,$

где f₁₀(0) и f₂₀(0) — внесенные эйконалы в точках H, O соответственно.

 

Рис. 1. Двумерная бифокальная система: 1 — вспомогательная решетка; 2 — основная решетка; 3 — распределение эйконала, внесенного решеткой 1; 4 — распределение эйконала, внесенного решеткой 2.

 

Другой луч, выходящий из точки F₀, падает на решетку 1 в точке S, отражается от нее, падает на решетку 2 в точке T и отражается от нее параллельно оси y. При этом его эйконал определяется формулой

$L=F_{0}S+ST+f_{10}\left(x_S\right)+f_{20}\left(x_T\right)+h,$

где f₁₀(x_S) и f₂₀(x_T) — эйконалы, внесенные в точках x_S и x_T соответственно.

F₀S — расстояние от точки F₀ до точки S, а – расстояние от точки S до точки T.

При этом угол α падения луча на решетку 1 и угол β отражения (см. рис. 1) связаны формулой

$\beta =\arcsin \left(\sin \alpha +f_{10}^{/}\left(x_S\right)\right),$

где α = arctg(x_S /(d–f₀)), — первая производная функции f₁₀ в точке S.

Зная угол β, нетрудно найти координаты точки T (см. рис. 1):

$x_T=dtg\beta +x_S.$

Потребуем, чтобы все лучи, выходящие из фокуса F₀ после двух отражений от решеток, были параллельны оси y и формировали в результате линейный фронт на выходе системы. Для этого необходимо равенство эйконалов всех лучей (от источника до фронта). Потребуем, чтобы эйконалы всех лучей были равны эйконалу центрального луча:

$\begin{array}{c}2d-f_0+f_{10}\left(0\right)+f_{20}\left(0\right)=\\ =F_{0}S+ST+f_{10}\left(x_S\right)+f_{20}\left(x_T\right).\end{array}$

Решение этого уравнения имеет вид

$\begin{array}{c}{f}_{20}\left(x_T\right)=2d-f_0+f_{10}\left(0\right)+\\ +f_{20}\left(0\right)-F_{0}S-ST-f_{10}\left(x_S\right).\end{array}$

Из выражения (3) определим первую производную функцию f₂ в точке T

$f_{20}^{/}\left(x_T\right)=-\sin \beta .$

Множество точек T образует начальный участок решетки 2.

Далее определим координаты фокусов F₁ и F₂ таким образом, чтобы луч плоской волны, падающий на решетку под углом δ₀ к оси y, после отражения в точке D(x₀,0) попадал в точку A(–x₀, d), а после отражения в точке A — в фокус F₁. Из геометрии, представленной на рис. 1, нетрудно найти координаты этого фокуса, а также фокуса F₂, учитывая, что он симметричен фокусу F₁ относительно оси y:

$x_{F_1}=x_A+f\sin {\alpha }_0,$$y_{F_1}=y_A-f\cos {\alpha }_0,$

$x_{F_2}=-x_{F_1},$$y_{F_2}=y_{F_1},$

где x_A = –x₀, y_A = d; f — расстояние от края начального участка до фокуса, — угол между осью y и прямой, соединяющей фокус F₁ с краем (точкой A) начального участка решетки 1. При этом

${\beta }_0=arctg\left((x_D-x_A)/d\right).$

Из геометрии на рис. 1 следует, что угол выхода луча из системы определяется формулой

${\delta }_0=\arcsin \left(\sin {\beta }_0+{f^{\text{'}}}_{20}\left(x_D\right)\right),$

где $f_{20}^{/}\left(x_D\right)$ – первая производная функции f₂ в точке D.

Для определения нового участка решетки 2 предположим, что луч из фокуса F₁ падает на начальный участок решетки 1, отражается от нее в точке Р, падает на решетку 2 в точке Q и отражается под углом δ₀ (см. рис. 1). При этом угол между осью Y и лучом, падающим из точки F₁ в точку P ${\alpha }_{FP}=arctg\left((x_P-{x_F}_1)/f\cos {\alpha }_0\right),$

а угол между осью y и лучом, отраженным от решетки в точке P

${\beta }_{PQ}=\arcsin \left(\sin {\alpha }_{FP}+{f^{\text{'}}}_{10}\left(x_P\right)\right).$

Координаты точки Q при этом определяются формулой

$x_Q=x_P+dtg{\beta }_{PQ};$$y_Q=0.$

Потребуем равенство эйконалов всех лучей, которые выходят из фокуса F₁ и после отражения от решетки идут параллельно (под углом δ₀ к оси y)

$\begin{array}{c}f+AD+d_D+f_{10}\left(x_A\right)+f_{20}\left(x_D\right)=\\ =F_{1}P+PQ+d_Q+f_{10}\left(x_P\right)+f_2\left(x_Q\right),\end{array}$

где d_D, d_Q — расстояние соответственно от точек D и Q до фронта.

Решение уравнения (12) имеет вид

$\begin{array}{c}{f}_2\left(x_Q\right)=f+AD+d_D+f_{10}\left(x_A\right)+f_{20}\left(x_D\right)-\\ -\left(F_{1}P+PQ+d_Q+f_{10}\left(x_P\right)\right).\end{array}$

Множество точек Q образует новый участок решетки 2. При этом

${f^{\text{'}}}_2\left(x_Q\right)=\sin {\delta }_0-\sin {\beta }_{PQ}.$

Для определения эйконала на новом участке решетки 1 рассмотрим падение волны с линейным фронтом на решетку 2. Пусть луч, падающий на начальный участок решетки 2 в точке M под углом δ₀ к оси y, отражается от решетки 2 и падает на решетку 1 в точке N, снова отражается и проходит через фокус F₂ (см. рис. 1). Угол между осью y и отраженным лучом в точке М получаем по формуле

${\beta }_{MN}=\arcsin \left(\sin {\delta }_0+{f^{\text{'}}}_{20}\left(x_M\right)\right).$

При этом координаты точки N

$x_N=x_M+dtg{\beta }_{MN};$$y_N=d.$

Приравнивая эйконалы лучей, получим уравнение

$\begin{array}{c}f+BC+d_C+f_{10}\left(x_B\right)+f_{20}\left(x_C\right)=\\ =F_{2}N+MN+d_M+f_1\left(x_N\right)+f_{20}\left(x_M\right),\end{array}$

где d_С, d_М — расстояние от точек С и М соответственно до фронта плоской волны.

Решение этого уравнения имеет вид

$\begin{array}{c}{f}_1\left(x_N\right)=f+BC+d_C+f_{10}\left(x_B\right)+f_{20}\left(x_C\right)-\\ -\left(F_{2}N+MN+d_M+f_{20}\left(x_M\right)\right).\end{array}$

При этом

${f^{\text{'}}}_1\left(x_N\right)=\sin {\alpha }_{FN}-\sin {\beta }_{MN},$

где α_FN = arctg((x_N–x_F2)/f cosα₀).

Множество точек N образует новый участок решетки 1.

Для обеспечения непрерывности амплитудного распределения отраженных от решеток волн в первом приближении геометрической оптики необходимо, чтобы вторые производные функций, описывающих распределение эйконалов, были непрерывными. Так как координаты точки N определяются через координаты точки M, вторую производную эйконала, внесенного вторым участком решетки 1 в точке N, определяем дифференцированием его первой производной в точке N по координате x_M:

${f^{\text{'}\text{'}}}_1\left(x_N\right)=\frac{\partial {f^{\text{'}}}_1\left(x_N\right)}{\partial x_M}/\frac{\partial x_N}{\partial x_M},$

где

$\frac{\partial x_N}{\partial x_M}=1+\frac{d{{\beta }^{\text{'}}}_{MN}}{{\cos }^2\left({{\beta }^{\text{'}}}_{MN}\right)},$

${{\beta }^{\text{'}}}_{MN}=\frac{{f^{\text{'}\text{'}}}_{20}\left(x_M\right)}{\sqrt{1-{\left(\sin {\delta }_0+{f^{\text{'}}}_{20}\left(x_M\right)\right)}^2}},$

${{\alpha }^{\text{'}}}_{FN}\left(x_M\right)=\frac{-f\cos \left({\alpha }_0\right)\left({\cos }^2\left({\beta }_{MN}\right)+d{{\beta }^{\text{'}}}_{MN}\right)}{{\cos }^2\left({\beta }_{MN}\right)\left(f^2{\cos }^2\left({\alpha }_0\right)+{(x_{F_2}-x_N)}^2\right)}.$

В результате получаем

$\begin{array}{c}{f^{\text{'}\text{'}}}_1\left(x_N\right)=\\ =\frac{\left({{\alpha }^{\text{'}}}_{FN}\left(x_M\right)\cos \left({\alpha }_{FN}\right)-{{\beta }^{\text{'}}}_{MN}\cos \left({\beta }_{MN}\right)\right){\cos }^2\left({\beta }_{MN}\right)}{{\cos }^2\left({\beta }_{MN}\right)+d{{\beta }^{\text{'}}}_{MN}}.\end{array}$

Для того чтобы вторая производная на стыках участков решетки 1 была непрерывной, значение второй производной первого участка в точке В с координатами (x₀, d) должно равняться значению второй производной в точке N, когда точки M и C совпадают. В результате получим уравнение

$\begin{array}{c}\frac{\left({{\alpha }^{\text{'}}}_{FN}\left(x_M\right)\cos \left({\alpha }_{FN}\right)-{{\beta }^{\text{'}}}_{MN}\cos \left({\beta }_{MN}\right)\right){\cos }^2\left({\beta }_{MN}\right)}{{\cos }^2\left({\beta }_{MN}\right)+d{{\beta }^{\text{'}}}_{MN}}-\\ -{f^{\text{'}\text{'}}}_{10}\left(x_0\right)=0.\end{array}$

Решение уравнения (20) определяет коэффициент a, обеспечивающий непрерывность второй производной в точке B.

2. Синтез трехмерной бифокальной системы двух отражательных решеток

Рассмотрим трехмерную задачу синтеза бифокальной системы двух отражательных решеток, показанной на рис. 2.

Основная решетка 2 расположена в плоскости XY, а вспомогательная решетка 1 расположена под углом ξ к этой плоскости. При этом плоскость YZ является плоскостью симметрии задачи. При расположении источника сферической волны в двух симметричных относительно этой плоскости фокусах (F₁ и F₂) с другой стороны бифокальной системы формируются два симметричных относительно плоскости YZ плоских фронта.

Пусть распределение внесенного эйконала начальным участком решетки 1 имеет вид L₁₀ = ax²+by², где коэффициент b полагается заданным в начале синтеза. Для определения коэффициента а зададим также параметры: размер 2x₀ начального участка решетки1 при y = 0, расстояние f от краев этого участка до фокусов и расстояние f₀ от точки фокуса F₀ для начальных участков до решетки1. Применяя алгоритм, описанный в разд. 1, находим коэффициент а и координаты точек F₁, F₂.

 

Рис. 2. Трехмерная бифокальная система: 1 — вспомогательная решетка; 2 — основная решетка; 3 — распределение эйконала внесенного решеткой 1; 4 — распределение эйконала внесенного решеткой 2.

 

Найдем распределение эйконала, внесенного начальным участком решетки 2, L₂₀(x, y). Единичная нормаль к одному из выходных фронтов имеет вид

$\overrightarrow{n_F}=\left(\sin \delta \mathrm{,0,}\cos \delta \right),$

где δ — угол выхода луча (см. рис. 2). Эйконал соответствующего луча имеет вид

$L_0=f+AD+L_{10}\left(A\right)+L_{20}\left(D\right)+h-(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{n_F}),$

где h — расстояние от начала системы координат до фронта, L₁₀(A), L₂₀(D) — эйконалы в точках А, D соответственно.

Предположим, что луч из фокуса F₁ попадает в точку M (y_M ≠ 0), которая находится на границе начального участка решетки 1. После отражения в точке М луч проходит через точку N, лежащую на границе начального участка решетки 2. Лучевой вектор отраженного от решетки 1 луча имеет вид

$\overrightarrow{n_{MN}}=\left(\frac{\partial L_M}{\partial x},\frac{\partial L_M}{\partial y},\sqrt{1-{\left(\frac{\partial L_M}{\partial x}\right)}^2-{\left(\frac{\partial L_M}{\partial y}\right)}^2}\right),$

где

$L_M=F_{1}M+L_{10}\left(M\right),$$L_{10}\left(M\right)=a{x}_M^2+b{y}_M^2,$

F₁M — расстояние от точки F₁ до точки M,

$\frac{\partial L_M}{\partial x}=\frac{\partial L_{10}}{\partial x_M}+\frac{x_M-{x_F}_{{}_1}}{F_{1}M},$

$\frac{\partial L_M}{\partial y}=\frac{\partial L_{10}}{\partial y_M}+\frac{y_M-y_{F_1}}{F_{1}M}\sin \xi +\frac{z_M-z_{F_1}}{F_{1}M}\cos \xi .$

Координаты точки N определяются формулой

$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{n_{MN}}\frac{\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{Z}\right)}{\left(\overrightarrow{n_{MN}},\overrightarrow{Z}\right)},$

где $\overrightarrow{Z}$ – единичная нормаль к плоскости XY, а эйконал луча имеет вид

$L_M=F_{1}M+MN+L_{10}\left(M\right)+L_{20}\left(N\right)+h-(\overrightarrow{ON},\overrightarrow{n_F}),$

где L₂₀(N) — внесенный эйконал в точке N, а $\overrightarrow{n_F}$ единичная нормаль определена в формуле (21).

После отражения в точке N луч выходит из нее параллельно $\overrightarrow{n_F}$

$\overrightarrow{n_{NF}}=\left(\frac{\partial L_N}{\partial x},\frac{\partial L_N}{\partial y},\sqrt{1-{\left(\frac{\partial L_N}{\partial x}\right)}^2-{\left(\frac{\partial L_N}{\partial y}\right)}^2}\right),$

где $\overrightarrow{n_{NF}}$ – единичный выходной вектор луча в точке N,

$L_N=MN+L_{20}\left(N\right),$

MN — расстояние от точки M до точки N,

$\frac{\partial L_N}{\partial x}=\frac{\partial L_{20}}{\partial x_N}+\frac{x_N-x_M}{MN},$

$\frac{\partial L_N}{\partial y}=\frac{\partial L_{20}}{\partial y_N}+\frac{y_N-y_M}{MN}.$

Учитывая условие параллельности всех лучей, выходяших из системы, получаем уравнение

$\frac{n{x}_F}{n{z}_F}-\frac{n{x}_{NF}}{n{z}_{NF}}=\mathrm{0,}$

где nx_F, nx_NF — проекции векторов , $\overrightarrow{n_F}$$\overrightarrow{n_{NF}}$ на ось x, а nz_F, nz_NF — проекции векторов на ось z.

Решая с использованием численной процедуры уравнение (27), находим зависимость x_M(y_M), которая определяет границу начального участка решетки 1. Зная координаты точки M на этой границе и используя формулы (24), определяем вектор $\overrightarrow{ON}$ и соответствующую границу x_N(y_N) начального участка решетки 2. Из условия равенства эйконалов находим величину

$L_{20}\left(N\right)=L_0-\left(F_{1}M+MN+L_{10}\left(M\right)+h-(\overrightarrow{ON},\overrightarrow{n_F})\right),$

которая определяет начальный участок решетки 2.

Множества точек M, N образуют границы начальных участков решеток 1 и 2 соответственно.

Для синтеза нового участка решетки 2 предположим, что луч из фокуса F₁ падает на решетку 1 в точке S. После отражения луч выходит из решетки в точке Т (см. рис. 2). Эти координаты можно найти по формулам (21)–(28) соответствующей заменой обозначений. Множество точек Т образует новый участок решетки 2.

Для синтеза нового участка решетки 1 рассмотрим падение плоского фронта, нормаль к которому параллельна плоскости XZ на начальный участок решетки 2. Пусть луч падает на эту решетку в точке Q под углом δ к плоскости XY (см. рис. 2). Его лучевой вектор имеет вид

$\overrightarrow{u_Q}=(-\sin \delta \mathrm{,0,}\cos \delta ).$

Этот луч отражается решеткой 2, отражается в точке Р решетки 1 и проходит через фокус F₂. Лучевой вектор луча PQ имеет вид

$n{x}_{PQ}=\frac{\partial L_2}{\partial x_Q}+\sin \delta ,$$n{y}_{PQ}=\frac{\partial L_2}{\partial y_Q},$

$n{z}_{PQ}=\sqrt{1-n{x_{PQ}}^2-n{y_{PQ}}^2},$

где nx_PQ, ny_PQ, nz_PQ — проекции вектора $\overrightarrow{n_{PQ}}$.

Координаты точки P определяются формулами

$x_P=x_Q+n{x}_{PQ}\frac{b\sin \xi +y_Q\cos \xi -z_Q\sin \xi }{n{z}_{PQ}\sin \xi -n{y}_{PQ}\cos \xi },$

$y_P=y_Q+n{y}_{PQ}\frac{b\sin \xi +y_Q\cos \xi -z_Q\sin \xi }{n{z}_{PQ}\sin \xi -n{y}_{PQ}\cos \xi },$

$z_P=z_Q+n{z}_{PQ}\frac{b\sin \xi +y_Q\cos \xi -z_Q\sin \xi }{n{z}_{PQ}\sin \xi -n{y}_{PQ}\cos \xi }.$

Эйконал соответствующего луча имеет вид

$L_Q=d_Q+PQ+P{F}_2+L_2\left(Q\right)+L_1\left(P\right),$

где d_Q — расстояние от точки Q до фронта плоской волны, L₂(Q), L₁(P) — эйконалы в точках Q, P соответственно.

Приравнивая (22) и (32), получаем уравнение

$L_1\left(P\right)=L_0-\left(d_Q+PQ+P{F}_2+L_2\left(Q\right)\right).$

Производные функции в точке Р определяются формулами

$\frac{\partial L_1}{\partial x_P}=\frac{x_{F_2}-x_P}{F_{2}P}-\frac{x_P-x_Q}{PQ},$

$\begin{array}{c}\frac{\partial L_1}{\partial y_P}=\frac{(y_{F_2}-y_P)\sin \xi +(z_{F_2}-z_P)\cos \xi }{F_{2}P}-\\ -\frac{(y_P-y_Q)\sin \xi +(z_P-z_Q)\cos \xi }{PQ}.\end{array}$

Множество точек P образует новый участок решетки 1.

Для определения следующих участков решеток применим такой же алгоритм, используя синтезированные участки в качестве начальных.

3. Анализ аберраций и оптимизация параметров трехмерной бифокальной системы двух отражательных решеток

Для проведения процедуры синтеза, анализа аберраций и оптимизации системы необходимо определить набор исходных параметров: расстояние между решетками d, полуразмер начального отрезка решетки 1 x₀, расстояние f от конца начального отрезка решетки 1 до фокуса F₁, расстояние f₀ от решетки 1 до фокуса F₀. Далее используем описанный выше алгоритм для определения начальных участков решетки, затем повторим этот алгоритм m раз, чтобы получить новые участки решеток. В результате находим распределения внесенного эйконала на 2m+1 участке решеток.

Для анализа качества синтеза и оптимизации параметров бифокальной системы найдем среднеквадратическую аберрацию (СКА) эйконала на выходе, а также фокальную кривую, которая обеспечивает минимальное значение СКА. Формула для определения нормированной величины СКА (σ) имеет вид

$\sigma =\frac{1}{D}\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(L_i-L_0)}^2},$

где L_i — эйконал i-го луча; n — количество учтенных лучей, D — размер эллиптической апертуры решетки 2 вдоль большой оси; L₀ — эйконал опорного луча (относительно которого СКА имеет минимальное значение).

Для вычисления СКА бифокальной системы необходимо вычислить эйконалы n лучей, а для этого требуется знать направление фронта и значение эйконала L₀ опорного луча.

В случае смещения источника из фокуса углы выхода лучей и положения ортогональных им фронтов будут различными. Рассчитаем траектории n лучей с разными углами выхода и из них выберем в качестве опорных несколько лучей, выходящих вблизи центра решетки 2. Затем, используя формулу (36), рассчитаем СКА относительно каждого опорного луча с соответствующим (ортогональным) фронтом и из полученных значений СКА выберем минимальное. Уточнить значение СКА можно, если ввести новые опорные лучи (вблизи найденного) и снова найти минимальное значение СКА.

Для определения фокальной кривой бифокальной системы, необходимо найти геометрическое место положений источника, которое обеспечивает минимальное значение СКА. Декартовые и полярные координаты источника связаны следующими формулами:

$x=\rho \sin \left(\psi \right),z=d-\rho \cos \left(\psi \right),$

где ρ — радиальная, а ψ — угловая координата (рис. 3).

Задача состоит в нахождении оптимальной функции ρ(ψ). Для этого, используя в качестве начальных точек фокусы системы и стандартную численную процедуру поиска минимума, находим ρ для нескольких значений угла ψ. Затем, применяя сплайн-интерполяцию, получаем функцию ρ(ψ), которая определяет фокальную кривую.

Далее исследуем СКА бифокальной системы в зависимости от параметров f и p = d — f₀ для двух значений параметра x₀, которые при заданной величине d определяют угол зрения. Линии уровня СКА для d = 1 и x₀ = 0.15 и x₀ = 0.205, соответствующих значениям угла зрения 40° и 65°, в зависимости от параметров f и p показаны на рис. 4а, 4б. Из рисунков видно уменьшение величины СКА по мере приближения параметров системы к границам областей существования решения задачи синтеза.

На рис. 5 представлены графики зависимости от угла зрения СКА бифокальных систем, синтезированных и оптимизированных для угла зрения 40° и 65°.

Как видно на рисунке, минимальные значения СКА для первой системы в пределах угла зрения 40° составляют 3.2×10^–4, а в пределах угла зрения 65° для второй системы — 6.5×10^–4.

 

Рис. 3. Геометрия системы с фокальной кривой: 1 — решетка 1; 2 — решетка 2; 3 — фокальная кривая.

 

Рис. 4. Линии уровня величины 106 σ в зависимости от параметров p и f/p: (а) — угол зрения 40° (x0 = 0.15, d = 1), (б) — угол зрения 65° (x0 = 0.205, d = 1).

 

Рис. 5. Зависимость величины 104σ оптимальных бифокальных систем от угла зрения: x0 = 0.205, f/p = 0.9334, p = 0.9575 (кривая 1); x0 = 0.15, f/p = 1.0043, p = 0.9815 (кривая 2).

 

4. Анализ бифокальной антенны

Рассмотрим антенну на основе бифокальной системы, синтезированной и оптимизированной для угла зрения 40° (рис. 6). В качестве облучателя используем скалярный рупор с амплитудным распределением в апертуре

$A\left(\rho \right)=J_0\left({\delta }_0\frac{\rho }{{\rho }_0}\right),$

где J₀ — бесселева функция с нулевым индексом, радиус в полярной системе координат, ρ₀ — радиус апертуры рупора, δ₀ = 2.4048 — первый корень производной функции Бесселя с нулевым индексом.

 

Рис. 6. Проекция трехмерной бифокальной системы на плоскость XY.

 

Рис. 7. Диаграммы направленности лучей бифокальной антенны в H-плоскости.

 

Рис. 8. Зависимости коэффициентов усиления (а) и апертурного КИПа (б) от угла зрения на частотах: 18 (1), 20 (2), 22 (3), 24 (4), 26 (5), 28 (6) и 30 ГГц (7).

 

Амплитуду электрического поля в дальней зоне найдем с использованием скалярного приближения Кирхгофа (физической оптики) [7]

$\left|\overrightarrow{E}\right|=\frac{1}{4\pi r}\left|\underset{S}{\int }{E}_S\left[(\sin \phi +\cos \theta \sin \phi )\overrightarrow{{\theta }_0}+(\cos \theta \cos \phi +\sin \phi )\overrightarrow{{\phi }_0}\right]\times \exp \left[jk\sin \theta (x\cos \phi +y\sin \phi )\right]dxdy\right|,$

где k — волновое число, а интегрирование проводится по поверхности S апертуры облучателя. Подставляя в интеграл (38) в качестве Е_s амплитудное распределение (37), находим диаграмму направленности облучателя

$D\left(\theta \right)=\frac{{\delta }_0^2{J}_0\left(k{\rho }_0\sin \theta \right)}{{\delta }_0^2-{\left(k{\rho }_0\sin \theta \right)}^2}\frac{(1+\cos \theta )}{2},$

где J₀(x) — функция Бесселя. Закон сохранения энергии в приближении геометрической оптики имеет вид $D^2(\theta ,\phi )d\theta d\phi =Q(x,y)dxdy.$ В результате для распределения амплитуды отраженного от решетки 2 поля получаем

$A(x,y)=\sqrt{D^2(\theta ,\phi )\left(\frac{\partial \theta }{\partial x}\frac{\partial \phi }{\partial y}-\frac{\partial \theta }{\partial y}\frac{\partial \phi }{\partial x}\right)},$

где

$\frac{\partial \theta }{\partial x}=\frac{\partial \theta }{\partial x_M}\frac{\partial x_M}{\partial x}=\frac{(x_M-x_0)F{M_0}^2}{M{M}_0(M{M_0}^2+F{M_0}^2)},$

$\begin{array}{c}\frac{\partial \theta }{\partial y}=\frac{\partial \theta }{\partial y_M}\frac{\partial y_M}{\partial y}=\\ =\left(1+\frac{n_y\cos \xi }{n_z\sin \xi -n_y\cos \xi }\right)\frac{(y_M-y_0)F{M_0}^2}{M{M}_0(M{M_0}^2+F{M_0}^2)},\end{array}$

$\frac{\partial \phi }{dx}=\frac{\partial \phi }{\partial x_M}\frac{\partial x_M}{\partial x}=\frac{-(y_M-y_0)}{{(x_M-x_0)}^2+{(y_M-y_0)}^2},$

$\begin{array}{c}\frac{\partial \phi }{dy}=\frac{\partial \phi }{\partial y_M}\frac{\partial y_M}{\partial y}=\\ =\frac{(x_M-x_0)}{{(x_M-x_0)}^2+{(y_M-y_0)}^2}\left(1+\frac{n_y\cos \xi }{n_z\sin \xi -n_y\cos \xi }\right),\end{array}$

а компоненты n_x, n_y, n_z определены формулой (30).

Амплитудно-фазовое распределение отраженного от решетки 2 поля имеет вид

$E_S=A\left(x,y\right)\exp \left(-jkL\right),$

где L — эйконал луча от облучателя до выхода из системы в точке решетки 2 с координатами x, y. Подставляя это выражение в формулу (38) и интегрируя по всей поверхности решетки 2, находим диаграмму направленности бифокальной системы в приближении Кирхгофа. На рис. 7 приведены результаты расчета диаграммы направленности бифокальной антенны с облучателем диаметром 25 мм, габаритами решетки 2, равными 1×0.52 м, f₁ = f₂ = 0.9862 м, d = 1 м на частоте 24 ГГц при перемещении облучателя по фокальной кривой.

На рис. 8а и 8б показаны зависимости соответственно коэффициента усиления (КУ) и апертурного коэффициента использования поверхности (КИП) бифокальной антенны от угла зрения на семи частотах.

Как видно из рис. 8, в угловом секторе 40° уровень боковых лепестков диаграммы направленности лучей ниже — 15.8 дБ, а величина КИП выше уровня 0.84 в полосе частот от 18 до 30 ГГц.

Заключение

На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы.

1. Разработанная методика позволяет синтезировать и оптимизировать бифокальные системы двух отражательных решеток по минимуму СКА.
2. Синтезированные и оптимизированные бифокальные системы двух отражательных решеток для углов зрения 40° и 65° имеют среднеквадратическую аберрацию менее 3.2×10^–4и 6.5×10^–4соответственно.
3. Модель антенны в приближении Кирхгофа на основе синтезированной и оптимизированной бифокальных систем двух отражательных решеток в полосе частот от 18 до 30 ГГц обеспечивает КУ более 42 дБ и апертурный КИП больше 0.84 в угловом секторе 40°.

Финансирование работы

Работа выполнена за счет бюджетного финансирования в рамках государственного задания.

About the authors

V. A. Kaloshin

Kotelnikov Institute of Radioengineering and Electronics RAS

Author for correspondence.
Email: vak@cplire.ru
Russian Federation, st. Mokhovaya, 11, build. 7, Moscow, 125007

Trinh Van Tuan

Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University)

Email: vak@cplire.ru
Russian Federation, Institutsky per., 9, Dolgoprudny, Moscow region, 141700

References

Supplementary files