Эванесцентные акустические волны

Полный текст

1. Введение

1.1. Типы эванесцентных волн. Первоначально эванесцентные волны в акустике связывали с волнами, которые в настоящее время известны, как истекающие волны, энергия которых затухает с расстоянием (r) от источника волны быстрее, чем $r^{-\gamma }$, где $\gamma$ – безразмерная постоянная, зависящая от рассматриваемой задачи [1]. Например, если в упругом полупространстве параметр затухания $\gamma >1$ то такая волна считалась эванесцентной [1]; отметим, что $\gamma =1$ соответствует затуханию объемных волн в 3d-среде [2]. В более поздних работах термин “эванесцентная” волна чаще применяется к акустическим волнам, которые ранее именовались головными волнами; например [3–5].

Первое экспериментальное наблюдение преломленной эванесцентной волны принадлежит Мохоровичу [6], который обнаружил, что при определенных условиях отраженный от интерфейсной поверхности акустический сигнал может распространяться вдоль интерфейсной границы раздела двух слоев большой толщины. В дальнейшем это наблюдение было подтверждено теоретически на основе теории Zoeppritz–Knott в [1, 7–19].

Чаще всего рассматриваются следующие три типа эванесцентных волн (соответствующая номенклатура в основном соответствует [20]):

1. Отраженные геометрические SP-эвансцентные волны, возникают при критическом падении объемных S-волн на свободную границу полупространства, когда падающие S-волны порождают отраженные P-волны, распространяющиеся вдоль свободной поверхности [21–25] (см. рис. 1,a). В теоретических исследованиях этот тип эванесцентных волн возникает при решении внутренних задач Лэмба о динамическом силовом воздействии, приложенном внутри упругой полуплоскости или полупространства [26–29].
2. Преломленные геометрические SP-эванесцентные волны, известные также как конические волны, возникают при критическом падении объемных S-волн на плоскую границу раздела двух сред, когда падающие S-волны порождают преломленные P-волны, распространяющиеся в нижней среде вдоль общей границы раздела [30–33] (см. рис. 1,б); для изучения межфазных высокочастотных волн в слоистых средах используются как асимптотические, так и волновые методы [34–36].
3. Более редкая, чем предыдущие геометрические типы, “негеометрическая” PS-эванесцентная волна возникает в полупространстве и распространяется назад под некоторым углом к свободной поверхности со скоростью S-волны; эта волна соответствует решениям внешней задачи Лэмба [37–39] (см. рис. 1,в) отметим, что рассмотрение внутренней задачи Лэмба не приводит к этому типу эванесцентных волн [2, 40].

Рис. 1. a) Тип (I): отраженная SP-волна в полупространстве при критическом угле падения; б) Тип (II): преломленная SP-волна в верхнем полупространстве при критическом падении S-волны; в) Тип (III): “негеометрическая” PS-волна, возникающая при решении внешней задачи Лэмба; сплошные линии соответствуют падающим волнам; пунктирные линии соответствуют отраженным или преломленным волнам

Первые два типа “геометрических” эванесцентных волн опираются на уравнение Zoeppritz–Knott для коэффициентов отражения-преломления [30, 31] и закон Снелла для углов отражения-преломления [31]. Отметим также, что типы I–III не исчерпывают всех типов эванесцентных волн см. [41], где были обнаружены еще два типа эванесцентных волн. Еще одно замечание касается некоторых экстраполяций этих результатов на стратифицированные анизотропные и функционально-градиентные среды [42–45].

1.2. Постановка проблемы. Ниже показано, что первый тип SP-волн несовместим с однородными граничными условиями на свободной поверхности упругого изотропного полупространства или полуплоскости при любых допустимых значениях параметра Ламе $\lambda \ne 0$, что делает этот тип эванесцентных волн, практически, не имеющим права на существование. Можно ожидать, что этот результат может найти применение в теоретической геофизике при исследовании сейсмических волновых полей в окрестности эпицентров землетрясений, а также в неразрушающих акустических методах диагностики.

2. Основные уравнения. Используемые в этом разделе основные уравнения в основном следуют [31, 46, 47].

2.1. Закон Гука. Предполагая инфинитезимальность поля деформаций, уравнения Коши можно представить в виде

$\epsilon (x,t)=\frac{1}{2}\left({\nabla }_{x}u(x,t)+{\nabla }_{x}u{(x,t)}^T\right)$, (2.1)

где $\epsilon$ – тензор деформации; u – поле перемещений; x – пространственная координата; t – время.

С введением объемной деформации

$\theta \equiv tr\left(\epsilon \right)=di{v}_{x}u$ (2.2)

и девиатора деформаций e

$e=\epsilon -\frac{1}{3}\theta I$, (2.3)

где I – единичный тензор, закон Гука для изотропной однородной среды может быть представлен в виде [46]

$p=-k\theta ,s=2\mu e$ (2.4)

Здесь p – давление, определяемое соответствующим тензором напряжений $\sigma$, как

$p=-\frac{1}{3}tr\left(\sigma \right)$, (2.5)

s – девиатор напряжений,

$s=\sigma +pI$, (2.6)

k – объемный модуль, связанный с соответствующими параметрами Ламе $\lambda$ и $\mu$, соотношением

$k=\frac{2}{3}\mu +\lambda$ (2.7)

2.2. Уравнение движения. Уравнение движения для однородной изотропной среды можно представить в виде [31]

$\left(c_P^2{\nabla }_{}{\text{div}}_{}-c_S^2{\text{rot}}_{}{\text{rot}}_{}-{\partial }_{tt}^2\right)(,t)=0$, (2.8)

где $c_P,c_S$ – скорости соответственно продольной и сдвиговой объемных волн:

$c_P=\sqrt{\frac{\lambda +2\mu }{\rho }},c_s=\sqrt{\frac{\mu }{\rho }}$ (2.9)

В выражениях $\rho$ – плотность материала.

Для последующего анализа требуется представление Гельмгольца для векторного поля u [47]

$u(x,t)={\nabla }_x\phi (x,t)+ro{t}_x\psi (x,t)$, (2.10)

где $\phi$ и $\psi$ – скалярный и векторный потенциалы, соответственно. Подстановка представления (2.10) в уравнение движения, позволяет разбить уравнение (2.8) на два уравнения [46]

$\left(c_P^2{\Delta }_x-I{\partial }_{tt}^2\right){\nabla }_x\phi (x,t)=\mathrm{0,}\left(c_S^2{\Delta }_x-I{\partial }_{tt}^2\right)ro{t}_x\psi (x,t)=0$, (2.11)

откуда следует, что если поле перемещений определяется только скалярным потенциалом, что соответствует распространению P-волны:

$u(x,t)={\nabla }_x\phi (x,t)$, (2.12)

то уравнение движения сводится к первому уравнению в (2.11).

Принимая во внимание уравнения (2.12) и (2.2), получаем

$\theta ={\Delta }_x\phi ,e=\left({\nabla }_x{\nabla }_x-\frac{1}{3}I{\Delta }_x\right)\phi$ (2.13)

Последние уравнения с учетом (2.4) принимают вид

$p=-k{\Delta }_x\phi ,s=2\mu \left({\nabla }_x{\nabla }_x-\frac{1}{3}I{\Delta }_x\right)\phi$ (2.14)

Анализ уравнений (2.14) показывает, что любая P-волна наряду со сферическим тензором деформаций и сферическим тензором напряжений, сопровождается так же соответствующими девиаторными тензорами деформаций и напряжений. Заметим также, что девиаторные компоненты в уравнениях (2.13), (2.14), удовлетворяют следующим соотношениям [46]

$ro{t}_{x}e=\mathrm{0,}ro{t}_{x}s=0$ (2.15)

2.3. Граничные условия на свободной поверхности. Рассмотрим плоскую задачу (обобщенную плоскую деформацию) для полуплоскости со свободной границей, рис. 2.

Рис. 2. Полуплоскость; n – единичная нормаль к границе плоскости, m – единичный касательный вектор

Свободное от усилий граничное условие имеет вид [46]

$t_n=n\cdot \sigma =0$ (2.16)

Подставляя выражения (2.14) в уравнение (2.16) и учитывая выражение (2.7), получаем

$t_n=\left(\lambda {\Delta }_x\phi +2\mu {\partial }_{nn}^2\phi \right)n+\left(2\mu {\partial }_{nm}^2\phi \right)m=0$, (2.17)

где ${\partial }_n=n\cdot {\nabla }_x$, ${\partial }_m=m\cdot {\nabla }_x$ и ${\Delta }_{}={\partial }_{nn}^2+{\partial }_{mm}^2$.

Для рассматриваемой SP-эвансцентной волны скалярный потенциал $\phi$ локализован на граничной плоскости [14]

$\phi (,t)=\phi (x,t)$, (2.18)

где $x=m\cdot x$. Учитывая (2.18), видно, что части уравнения (2.17), содержащие производные ${\partial }_n$, пропадают. Таким образом, из уравнения (2.17) следует

$\left(\lambda {\partial }_{mm}^2\phi \right)n=0$ (2.19)

Последнее уравнение означает, что либо (I) $\lambda =0$ и потенциал  произволен; либо (II) $\lambda \ne 0$ и $\phi (x,t)$ – линейная функция переменной x: $\phi (x,t)=a\left(t\right)x+b\left(t\right)$. Второй вариант, ввиду уравнений (2.13) и (2.14), дает одинаково нулевые поля деформаций и напряжений и должен быть исключен из рассмотрения. Таким образом, первый вариант является единственно возможным для существования SP-волн, удовлетворяющих однородным граничным условиям в напряжениях.

Выводы. Проведенный анализ, основанный на представлении Гельмгольца для поля перемещений (2.10) в виде суммы скалярного и объемного потенциалов и разложении полей деформаций и напряжений по сферическим и девиаторным тензорам (2.13), (2.14), показывает, что геометрическая SP-эвансцентная волна типа (I) может удовлетворять однородным граничным условиям в напряжениях, если только параметр Ламе $\lambda \ne 0$.

Следует отметить, что условие $\lambda \ne 0$ с учетом соотношения Ламе [46]

$\lambda =\frac{E\nu }{(1-2\nu )(1+\nu )}$,

где E – модуль Юнга; v – коэффициент Пуассона, влечет

$\nu =0$

Таким образом, SP-эвансцентные волны первого типа могут существовать тогда и только тогда, когда коэффициент Пуассона равен нулю, что с практической точки зрения означает невозможность существования SP-волн первого типа.

Полученный результат о несуществовании геометрических SP-волн первого типа в упругом изотропном полупространстве может иметь многочисленные приложения в геофизике, сейсмологии и сейсмологии, акустических неразрушающих методах диагностики и т. д. Одним из примеров, где результат о несуществовании SP-волн первого типа, может играть положительную роль, являются сейсмические барьеры [48, 49], предназначенные, в том числе и для защиты от головных SP-волн. Однако, как показывают настоящие исследования, рассматриваемые головные волны при проектировании систем сейсмической защиты, могут быть исключены.

Благодарность. Работа финансировалась Министерством науки и высшего образования РФ, проект № FSWG-2023-0004 “Система территориальной сейсмической защиты критически важных объектов инфраструктуры на основе гранулированных метаматериалов, обладающих свойствами широкодиапазонных фононных кристаллов”.

Об авторах

А. И. Каракозова

Автор, ответственный за переписку.
Email: karioca@mail.ru
Россия, Москва

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. a) Тип (I): отраженная SP-волна в полупространстве при критическом угле падения; б) Тип (II): преломленная SP-волна в верхнем полупространстве при критическом падении S-волны; в) Тип (III): “негеометрическая” PS-волна, возникающая при решении внешней задачи Лэмба; сплошные линии соответствуют падающим волнам; пунктирные линии соответствуют отраженным или преломленным волнам

Скачать (17KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Полуплоскость; – единичная нормаль к границе плоскости, – единичный касательный вектор

Скачать (3KB)

Метаданные