Kinetic viscous shock layer near a rotating sharp cone

Texto integral

1. Введение

Предлагаемый анализ имеет дело с категорией высокоскоростных течений разреженного вязкого газа. Череда публикаций по теме вязкого гиперзвука только за последний период [1$–$6] определенным образом свидетельствует о важности и одновременно неисчерпаемости непростых проблем данного раздела высотной аэродинамики больших скоростей.

Течение вязкого газа вблизи вращающихся тел является одной из актуальных проблем такого рода [7, 8].

Исследования по теме преимущественно фокусировались, как в [7, 8], на обтекании гладких затупленных тел, при этом в анализе преобладал континуальный навье-стоксовский подход к проблеме.

Ниже предлагается анализ течения занавье-стоксовского диапазона режимов по указанной проблеме (высокоскоростного обтекания вращающихся тел), целиком базирующийся на кинетической теории газов (приближение кинетического тонкого вязкого ударного слоя $–$ кинетический ТВУС) и рассматривающий объект обтекания из разряда заостренных тел (острый круговой конус).

Кинетическая модель ТВУС, построенная на основе полных 13-моментных уравнений кинетической теории газов, была сформулирована в [9] (см. также [10, 11]) для многоатомных (молекулярных) газов (неравновесность по внутренним и поступательным степеням свободы); позднее, для случая одноатомного газа (поступательная неравновесность), $–$ на основе кинетических, так называемых, 13-моментных уравнений Грэда $–$ в [12, 13].

Побудительным мотивом к использованию моментной модели в качестве газокинетической основы анализа гиперзвуковых течений разреженного газа в ТВУС можно полагать наличие у данной модели такого рода привлекательных качеств, как: модель допускает высокую степень неравновесности течения; имеет навье-стоксовский тип допустимых краевых условий на стенке; потенциально опирается на развитое макроскопическое матобеспечение. Оправдательным соображением применения кинетической моментной модели для описания изучаемого типа течений в ТВУС является позитивный итог сопоставления моментных данных с результатами эксперимента и данными прямого статистического моделирования (DSMC), как в тестовых так и в практических исследованиях ТВУС [13$–$15].

Уравнения гиперзвукового кинетического ТВУС около нетонких осесимметричных тел, вращающихся вокруг оси, для случая многоатомного газа, согласно [3], имеют следующий вид:

$\frac{\partial r\rho u}{\partial x}+\frac{\partial r\rho v}{\partial y}=0$, $\rho u\frac{\partial u}{\partial x}+\rho v\frac{\partial u}{\partial y}-\rho w^2\frac{1}{r}\frac{dr}{dx}+\frac{\partial p_{12}}{\partial y}=0$

$-p_{12}=\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{P_{22}}{p}\mu \frac{\partial u}{\partial y}$, $\frac{\partial P_{22}}{\partial y}-\frac{\rho u^2}{R_1}-\frac{\rho w^2}{R_2}=0$

$\rho u\frac{\partial w}{\partial x}+\rho v\frac{\partial w}{\partial y}+\rho uw\frac{1}{r}\frac{dr}{dx}+\frac{\partial p_{32}}{\partial y}=0$ (1.1)

$-p_{32}=\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{P_{22}}{p}\mu \frac{\partial w}{\partial y}$, $\rho u\frac{\partial H}{\partial x}+\rho v\frac{\partial H}{\partial y}+\frac{\partial }{\partial y}\left(q_2+u{p}_{12}+w{p}_{32}\right)=0$

$-q_2=\frac{1}{\mathrm{Re}\mathrm{Pr}}\frac{P_{22}}{p}\mu \frac{\partial h}{\partial y}$

$p=2\epsilon \rho h$, $\mu =\mu \left(h\right)$, $H=h+\frac{u^2+w^2}{2}$

$\frac{p}{P_{22}}=1+\frac{2}{3\alpha }{\left(\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{\mu }{p}\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2+\frac{2}{3\alpha }{\left(\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{\mu }{p}\frac{\partial w}{\partial y}\right)}^2$

Условия на внешней границе ударного слоя $y_e$ (т.е. при $y=y_e\left(x\right)$, где $y_e$ $–$ неизвестная, подлежащая определению):

$\rho v={\rho }_{\infty }{v}_{\infty }$, ${\rho }_{\infty }{v}_{\infty }\left(u-u_{\infty }\right)+p_{12}=0$

$P_{22}={\rho }_{\infty }{v}_{\infty }^2$, ${\rho }_{\infty }{v}_{\infty }w+p_{32}=0$ (1.2)

${\rho }_{\infty }{v}_{\infty }\left(H-H_{\infty }\right)+q_2+u{p}_{12}+w{p}_{32}=0$

Условия на поверхности тела (т.е. при $y=0$ ):

$u=0$, $w=\omega r$, $H=H_w$ (1.3)

Обезразмеривание переменных задачи:

$u=\frac{u^{*}}{U_{\infty }^{*}}$, $v=\frac{v^{*}}{U_{\infty }^{*}}$, $w=\frac{w^{*}}{U_{\infty }^{*}}$, $H=\frac{H^{*}}{U_{\infty }^{*}{}^{{}^2}}$, $p=\frac{p^{*}}{{\rho }_{\infty }^{*}{U}_{\infty }^{*}{}^{{}^2}}$, $h=\frac{h^{*}}{U_{\infty }^{*}{}^{{}^2}}$, $T=\frac{T^{*}}{\left(U_{\infty }^{*}{}^{{}^2}\text{}/c_p^{*}\right)}$, $x=\frac{x^{*}}{L^{*}}$, $y=\frac{y^{*}}{L^{*}}$, $\rho =\frac{{\rho }^{*}}{{\rho }_{\infty }^{*}}$, $\mu =\frac{{\mu }^{*}}{{\mu }_0^{*}}$, $r=\frac{r^{*}}{L^{*}}$, $P_{22}=\frac{P_{22}^{*}}{{\rho }_{\infty }^{*}{U}_{\infty }^{*}{}^{{}^2}}$, $R_1=\frac{R_1^{*}}{L^{*}}$, $R_2=\frac{R_2^{*}}{L^{*}}$.

Для представления задачи ТВУС в (1.1) $–$ (1.3) используется связанная с обтекаемой поверхностью ортогональная система координат, обычно применяемая в теории пограничного слоя, т.е. продольная координата x здесь отсчитывается вдоль прямолинейной образующей поверхности (конуса) от острого носка, поперечная координата y отсчитывается вдоль нормали к поверхности тела.

Список основных обозначений:

$u$, $v$, $w$ $–$ компоненты скорости течения в продольном $–$ $x$, поперечном $–$ $y$ и азимутальном направлениях соответственно;

$\omega$ $–$ угловая скорость вращения конуса;

$h$, $H$$–$ статическая и полная энтальпии соответственно;

$\mathrm{Re}=U_{\infty }^{*}{L}^{*}{\rho }_{\infty }^{*}/{\mu }_0^{*}$ $–$ число Рейнольдса; $\mathrm{Pr}={\mu }^{*}{c}_p^{*}/{\lambda }^{*}$ $–$ число Прандтля;

$L^{*}$ $–$ характерный линейный размер; $U_{\infty }^{*},{\rho }_{\infty }^{*}$ $–$ скорость и плотность в набегающем невозмущенном потоке; $M_{\infty }$ $–$ число Маха набегающего потока;

$p$ $–$ давление; $\rho$ $–$ плотность; $T$ $–$ температура; $T_0^{*}$ $–$ температура торможения; $\gamma$ $–$ отношение удельных теплоемкостей, т.е. $\gamma =c_p^{*}/c_v^{*}$, где $c_p^{*}$ и $c_v^{*}$ $–$ удельные теплоемкости газа при постоянном давлении и при постоянном объеме соответственно; $\epsilon =\left(\gamma -1\right)/2\gamma$;

${\mu }^{*}$ $–$ коэффициента вязкости; ${\mu }_0^{*}$ $–$ значение коэффициента вязкости ${\mu }^{*}$ при температуре торможения $T_0^{*}$; ${\lambda }^{*}$ $–$ коэффициент теплопроводности;

$\alpha$ $–$ отношение времен релаксации при упругих ( ${\tau }_{el}$ ) и неупругих ( ${\tau }_{in}$ ) столкновениях молекул газа, $\alpha ={\tau }_{el}/{\tau }_{in}=\alpha \left(T\right)$;

$R_1$, $R_2$ $–$ радиусы кривизны поверхности конуса в продольном и азимутальном направлениях соответственно ( $R_1^{-1}=0$ );

$r{L}^{*}$ $–$ расстояние от оси симметрии конуса до его поверхности;

$P_{22}=p+p_{22}$, где $p_{22}{\rho }_{\infty }^{*}{U}_{\infty }^{*}{}^{{}^2}$ $–$ компонента девиаторной части тензора напряжений $p_{ij}{\rho }_{\infty }^{*}{U}_{\infty }^{*}{}^{{}^2}(i,j,k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3)$ при индексах 1, 2 и 3, ассоциируемых с продольным, поперечным и азимутальным направлениями соответственно; $q_i{\rho }_{\infty }^{*}{U}_{\infty }^{*}{}^{{}^3}$ $–$ вектор теплового потока.

Индексы описывают: « $e$ » $–$ внешнюю границу ТВУС, « $w$ » $–$ стенку, « $\infty$ » $–$ набегающий (невозмущенный) поток; верхний индекс $\ast$ относится к размерным величинам.

Анализ течения в задаче кинетического ТВУС около вращающегося конуса строится на использовании переменных Мизеса ( $x$, $\psi$ ), где $\psi$ $–$ функция тока ( $\psi ={\psi }^{*}/L^{*}{\rho }_{\infty }^{*}{U}_{\infty }^{*}$ ), которая вводится соотношениями:

$r\rho u=\frac{\partial \psi }{\partial y}$, $r\rho v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}$ (1.4)

2. Регуляризующее преобразование

Течение в ТВУС около заостренных тел имеет существенную особенность (в окрестности острого носка) и является в высокой степени нерегулярным (причина: головной скачок непосредственно присоединен к носку). Вследствие чего применяемый на практике аппарат исследования ТВУС-течений, ориентированный на изучение обтекания затупленных тел, (прежде всего из-за свойств используемых там переменных) непригоден в случае тел с головным заострением.

Для преодоления указанной существенной особенности предлагается регуляризующее преобразование переменных следующего вида:

$\xi =x^{1/2}$, $\eta ={\psi }^{1/2}$

$\tilde{u}=\frac{u}{r^{1/2}}$, $\tilde{H}=\frac{H-H_{w0}}{r^{1/2}}$, $\tilde{w}=\frac{w-w_{w0}}{r^{1/2}}$, (2.1)

где (см. (1.4). о величине $\psi$ ):

$\tilde{\psi }=\psi /\left(r^2\text{}/2\right)$,

$H_{w0}$ $–$ значение величины $H$ при $x=0$ на стенке $\eta =0$, $w_{w0}$ $–$ значение $w$ при $x=0$ на стенке $\eta =0$;

$\xi$, $\eta$ $–$ новые независимые переменные задачи (соответственно продольная переменная $\xi$ и поперечная $\eta$ ); областью изменения ( $\xi$, $\eta$ ) является: $\xi \ge 0$, $0\le \eta \le 1$.

Задача ТВУС около острого конуса, представленная в переменных (2.1), является регулярной.

3. Корреляция

( $x$, $\eta$ )-интерпретация кинетического ТВУС позволяет в рамках структуры последнего сформулировать следующего вида замкнутую краевую задачу для вычисления величин ${\left(\tilde{u},\tilde{w},\tilde{H},P_{22}\right)}_k$, ${\left(p_{12}\right)}_k$, ${\left(p_{32}\right)}_k$, ${\left(q_2\right)}_k$:

уравнения:

$\frac{\partial u}{\partial x}-2\frac{1}{r}\frac{dr}{dx}\eta \frac{\partial u}{\partial \eta }-\frac{1}{u}{w}^2\frac{1}{r}\frac{dr}{dx}+\frac{\partial p_{12}}{\partial \eta }=0$

$-p_{12}=\frac{1}{\mathrm{Re}}{P}_{22}\mu \frac{\rho }{p}u\frac{\partial u}{\partial \eta }\frac{2}{r^3}$

$2^{-1}\frac{u^2}{R_1}+2^{-1}\frac{w^2}{R_2}=\frac{u}{r}\frac{\partial P_{22}}{\partial \eta }$

$\frac{\partial w}{\partial x}-2\frac{1}{r}\frac{dr}{dx}\eta \frac{\partial w}{\partial \eta }+w\frac{1}{r}\frac{dr}{dx}+\frac{\partial p_{32}}{\partial \eta }=0$

$-p_{32}=\frac{1}{\mathrm{Re}}{P}_{22}\mu \frac{\rho }{p}u\frac{\partial w}{\partial \eta }\frac{2}{r^3}$

$r\frac{\partial H}{\partial x}-2\frac{dr}{dx}\eta \frac{\partial H}{\partial \eta }+\frac{\partial }{\partial \eta }\left(q_2+u{p}_{12}+w{p}_{32}\right)=0$ (3.1)

$-q_2=\frac{1}{\mathrm{Re}\mathrm{Pr}}{P}_{22}\mu \frac{\rho }{p}u\frac{\partial h}{\partial \eta }\frac{2}{r^3}$

$p=2\epsilon \rho h;$ $\mu =\mu \left(h\right);$ $H=h+\frac{u^2+w^2}{2}$

$u=\tilde{u}{r}^{1/2}$; $w=\stackrel{⌢}{w}{r}^{1/2}+w_{w0}$; $H=\tilde{H}{r}^{1/2}+H_{w0}$

условия при $\eta =0$:

$u=0,w=\omega r,H=H_w$ (3.2)

условия при $\eta =1$:

${\rho }_{\infty }{v}_{\infty }\left(u-u_{\infty }\right)+p_{{}_{12}}=0$

$P_{22}={\rho }_{\infty }{v}_{\infty }^2$ (3.3)

${\rho }_{\infty }{v}_{\infty }w+p_{32}=0$

${\rho }_{\infty }{v}_{\infty }\left(H-H_{\infty }\right)+\text{}{q}_2+u{p}_{12}+w{p}_{32}=0$

Точно такой же вид, в таких же ( $x$, $\eta$ )-независимых переменных, имеет краевая задача, описывающая величины ${\left(\tilde{u},\tilde{w},\tilde{H},p\right)}_n$, ${\left(p_{12}\right)}_n$, ${\left(p_{32}\right)}_n$, ${\left(q_2\right)}_n$ ТВУС в рамках модели Навье$–$Стокса.

Выше, в разд. 3, и далее индекс k относится к кинетическому ТВУС, индекс n относится к ТВУС Навье$–$Стокса.

Комплексы функций ${\left(\tilde{u},\tilde{w},\tilde{H},P_{22}\right)}_k$, ${\left(p_{12}\right)}_k$, ${\left(p_{32}\right)}_k$, ${\left(q_2\right)}_k$ и ${\left(\tilde{u},\tilde{w},\tilde{H},p\right)}_n$, ${\left(p_{12}\right)}_n$, ${\left(p_{32}\right)}_n$, ${\left(q_2\right)}_n$ являются решением одной и той же замкнутой краевой задачи в независимых переменных ( $x$, $\eta$ ), связанных с потоком.

Отсюда следует (в условной записи):

${\left(u,w,H,P_{22}\right)}_k$ = ${\left(u,w,H,p\right)}_n$ (3.4)

${\left(P_{22}\right)}_k={\left(p\right)}_n$ (3.5)

${\left(p_{12}\right)}_k={\left(p_{12}\right)}_n$, ${\left(p_{32}\right)}_k={\left(p_{32}\right)}_n$, ${\left(q_2\right)}_k={\left(q_2\right)}_n$ (3.6)

Равенства (3.6) позволяют заключить, что локальные величины напряжения трения на поверхности и нормальный тепловой поток к стенке в обоих (кинетическом и Навье$–$Стокса) ТВУС-течениях повсеместно совпадают, т.е. и трение и теплообмен на стенке соответственно одинаковы в том и другом случае.

Эта корреляция (подобие, соотнесение) ТВУС-решений очевидным образом (см. (3.4)$–$(3.6)) позволяет выстраивать решение кинетической задачи ТВУС на базе решения ТВУС-решения Навье$–$Стокса. Для установления связи кинетического ТВУС-решения, полученного в переменных Мизеса ( $x$, $\tilde{\psi }$ ), с физическими координатами ( $x$, $y$ ) следует привлечь обращенное уравнение, вводящие поперечную переменную Мизеса (см. (1.4)), т.е. уравнение вида:

$\frac{\partial y}{\partial \eta }={\left(2{\rho }_k\tilde{u}\right)}^{-1}$, $y\left(\eta =0\right)=0$

4. Острый носок

Использование преобразования (2.1) кинетической задачи ТВУС дает возможность получить ее предельную ( $\xi \to 0$ ) форму, описывающую течение вблизи острого носка конуса.

Это будут:

система уравнений:

$\frac{\partial }{\partial \eta }\frac{1}{\mathrm{Re}}\mu P_{22}\left[\frac{\rho }{p}\right]\tilde{u}\frac{\partial \tilde{u}}{\partial \eta }=0$

$\frac{\partial P_{22}}{\partial \eta }=0$ (4.1)

$\frac{\partial }{\partial \eta }\frac{1}{\mathrm{Re}}\mu P_{22}\left[\frac{\rho }{p}\right]\tilde{u}\frac{\partial \tilde{w}}{\partial \eta }=0$

$\frac{\partial }{\partial \eta }\frac{1}{\mathrm{Re}\mathrm{Pr}}\mu P_{22}\left[\frac{\rho }{p}\right]\tilde{u}\frac{\partial \tilde{H}}{\partial \eta }=0$

$1=2\epsilon \left[\frac{\rho }{p}\right]h$; $\mu =\mu \left(h\right)$; $h=H_{w0}$

условия на внешней границе ТВУС, т.е. при $\eta =1$:

${\rho }_{\infty }{v}_{\infty }{u}_{\infty }=\frac{1}{\mathrm{Re}}\mu P_{22}\left[\frac{\rho }{p}\right]\tilde{u}\frac{\partial \tilde{u}}{\partial \eta }$

$P_{22}={\rho }_{\infty }{v}_{\infty }^2$ (4.2)

${\rho }_{\infty }{v}_{\infty }{w}_{w0}=\frac{1}{\mathrm{Re}}\mu P_{22}\left[\frac{\rho }{p}\right]\tilde{u}\frac{\partial \tilde{w}}{\partial \eta }$

${\rho }_{\infty }{v}_{\infty }\left(H_{w0}-H_{\infty }\right)=\frac{1}{\mathrm{Re}\mathrm{Pr}}\mu P_{22}\left[\frac{\rho }{p}\right]\tilde{u}\frac{\partial \tilde{H}}{\partial \eta }$

условия на стенке, т.е. при $\eta =0$:

$\tilde{u}=0$, $\tilde{w}=0$, $\tilde{H}=0$ (4.3)

Предельная форма рассмотренного кинетического ТВУС (4.1) $–$ (4.3) представляет собой интегрируемую замкнутую краевую задачу на конечном отрезке (поперечной переменной $\eta$ ) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений; для полноты картины система должна быть доукомплектована записанным в переменных (2.1) последним уравнением из (1.1).

Заключение

Рассмотрено неравновесное (по внутренним и поступательным степеням ссвободы) течение однородного многоатомного газа в кинетическом ТВУС около острого вращающегося конуса.

Регуляризована задача кинетического ТВУС, описывающего нерегулярное неравновесное течение многоатомного газа около острого вращающегося конуса.

Сформулирован принцип подобия нерегулярного неравновесного течения молекулярного газа в кинетическом ТВУС около острого вращающегося конуса с аналогом Навье$–$Стокса ТВУС-течения.

Показано: локальные трение и теплообмен на стенке в обоих течениях (кинетическом и нерегулярном ТВУС Навье$–$Стокса около вращающегося острого конуса) на всей обтекаемой поверхности соответственно совпадают.

Показано, что решение кинетической задачи нерегулярного ТВУС около острого вращающегося конуса может быть полностью построено на базе решения соответствующей ТВУС-задачи.

Работа поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований (проект 20-08-00790А).

Sobre autores

A. Ankudinov

Autor responsável pela correspondência
Email: ankudin2@yandex.ru
Rússia, Zhukovsky

Bibliografia

Arquivos suplementares